大学物理期末复习题及答案

1、大学物理期末复习题力学部分一、填空题：1. 已知质点的运动方程，则质点的速度为 ，加速度为 。 2.一质点作直线运动，其运动方程为，则从到时间间隔内质点的位移大小 质点的路程 。3. 设质点沿轴作直线运动，加速度，在时刻，质点的位置坐标且，则在时刻，质点的速度 ，和位置 。4一物体在外力作用下由静止沿直线开始运动。第一阶段中速度从零增至v,第二阶段中速度从v增至2v，在这两个阶段中外力做功之比为 。5一质点作斜上抛运动（忽略空气阻力）。质点在运动过程中，切向加速度是 ，法向加速度是 ，合加速度是 。（填变化的或不变的）6质量m=40 kg的箱子放在卡车的车厢底板上，已知箱子与底板之间的静摩擦系

2、数为ms0.40，滑动摩擦系数为mk0.25，试分别写出在下列情况下，作用在箱子上的摩擦力的大小和方向 (1)卡车以a = 2 m/s2的加速度行驶，f =_，方向_ (2)卡车以a = -5 m/s2的加速度急刹车，f =_，方向_7有一单摆，在小球摆动过程中，小球的动量 ；小球与地球组成的系统机械能 ；小球对细绳悬点的角动量 （不计空气阻力）（填守恒或不守恒）二、单选题：1.下列说法中哪一个是正确的（ ） （A）加速度恒定不变时，质点运动方向也不变 （B）平均速率等于平均速度的大小 （C）当物体的速度为零时，其加速度必为零 （D）质点作曲线运动时，质点速度大小的变化产生切向加速度，速度方向

3、的变化产生法向加速度。2. 质点沿轴运动方程是，则前内它的（ ） （A）位移和路程都是 （B）位移和路程都是- （C）位移为-，路程为 （D）位移为-，路程为3. 下列哪一种说法是正确的（ ） （A）运动物体加速度越大，速度越快（B）作直线运动的物体，加速度越来越小，速度也越来越小 （C）切向加速度为正值时，质点运动加快 （D）法向加速度越大，质点运动的法向速度变化越快4.一质点在平面上运动，已知质点的位置矢量的表示式为（其中a、b为常量），则该质点作（ ） （A）匀速直线运动 （B）变速直线运动 （C）抛物线运动 （D）一般曲线运动5. 用细绳系一小球，使之在竖直平面内作圆周运动，当小球运动

4、到最高点时，它（ ）（A）将受到重力，绳的拉力和向心力的作用（B）将受到重力，绳的拉力和离心力的作用（C）绳子的拉力可能为零（D）小球可能处于受力平衡状态6功的概念有以下几种说法（1）保守力作功时，系统内相应的势能增加（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零（3）作用力和反作用力大小相等，方向相反，所以两者作功的代数和必为零以上论述中，哪些是正确的（ ） （A）（1）（2） （B）（2）（3） （C）只有（2） （D）只有（3）7质量为的宇宙飞船返回地球时，将发动机关闭，可以认为它仅在地球引力场中运动，当它从与地球中心距离为下降到距离地球中心时，它的动能的增量为（ ）（A） （B）

5、（C） （D）8下列说法中哪个或哪些是正确的（ ）（1）作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度应越大。（2）作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度越大（3）作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度为零（4）作用在定轴转动刚体上合力矩越大，刚体转动的角加速度越大（5） 作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角加速度为零9一质点作匀速率圆周运动时（ ）（A）它的动量不变，对圆心的角动量也不变（B）它的动量不变，对圆心的角动量不断改变（C）它的动量不断改变，对圆心的角动量不变（D）它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变10. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动

6、，地球在椭圆轨道上的一个焦点上，则卫星（ ）（A）动量守恒，动能守恒 （B）对地球中心的角动量守恒，动能不守恒（C）动量守恒，动能不守恒 （D）对地球中心的角动量不守恒，动能守恒11花样滑冰者，开始自转时，其动能为，然后将手臂收回，转动惯量减少到原来的，此时的角速度变为，动能变为，则有关系（ ）（A）（B） （C） （D）12一个气球以速度由地面匀速上升，经过30s后从气球上自行脱离一个重物，该物体从脱落到落回地面的所需时间为（ ）（A）6s （B） （C）5. 5s（D）8s13 以初速度将一物体斜向上抛出，抛射角为，不计空气阻力，在初始时刻该物体的（ ）（A）法向加速度为 （B）法向加速度

7、为（C）切向加速度为 （D）切向加速度为14如图，用水平力F把木块压在竖直墙面上并保持静止，当F逐渐增大时，木块所受的摩擦力（ ）（A）恒为零； （B）不为零，但保持不变； F（C）随F成正比地增大；（D）开始时随F增大，达到某一最大值后，就保持不变。15质量分别为和4的两个质点分别以和4的动能沿一直线相向运动，它们的总动量的大小为（ ）（A） （B） （C） （D）16 气球正在上升，气球下系有一重物，当气球上升到离地面100m高处，系绳突然断裂，重物下落，这重物下落到地面的运动与另一个物体从100m高处自由落到地面的运动相比，下列哪一个结论是正确的（ ）（A）下落的时间相同 （B）下落的路

8、程相同（C）下落的位移相同 （D）落地时的速度相同17抛物体运动中，下列各量中不随时间变化的是（ ） （A） （B） （C） （D）18一滑块沿着一置于光滑水平面上的圆弧形槽体无摩擦地由静止释放下滑，若不计空气阻力，在这下滑过程中，分析讨论以下哪种观点正确：（ ）（A）由和组成的系统动量守恒 （B）由和组成的系统机械能守恒 （C）和之间的正压力恒不作功 （D）由、和地球组成的系统机械能守恒三判断题1质点作曲线运动时，不一定有加速度；（ ）2质点作匀速率圆周运动时动量有变化；（ ）3质点系的总动量为零，总角动量一定为零 ；（ ）4作用力的功与反作用力的功必定等值异号，所以它们作的总功为零。（ ）

9、5对一质点系，如果外力不做功，则质点系的机械能守恒；（ ）热学部分一、填空题：3热力学第一定律的实质是涉及热现象的 4某种理想气体分子的平动自由度t=3,转动自由度r=2,振动自由度s=1.当气体的温度为时，一个分子的平均总能量等于 ，一摩尔该种气体的内能等于 。5热力学概率是指 。6熵的微观意义是分子运动 性的量度。71mol氧气（视为理想气体）储于一氧气瓶中，温度为27oC，气体分子的平动自由度t=3,转动自由度r=2,振动自由度s=0.则氧分子的平均平动能为 J；氧分子的平均总动能为 J；该瓶氧气的内能为 J。8某温度为T，摩尔质量为的气体的最概然速率vp ，物理意义为 。9密闭容器内的

10、理想气体，如果它的热力学温度提高二倍，那么气体分子的平均平动能提高倍，气体的压强 倍（填提高或降低）。二、单项选择题1在下列理想气体各种过程中，那些过程可能发生？（ ）(A) 等体加热，内能减少，压强升高 (B) 等温压缩，吸收热量，压强升高（C）等压压缩，吸收热量，内能增加 (D) 绝热压缩，内能增加，压强升高2下列说法那一个是正确的（ ）(A) 热量不能从低温物体传到高温物体(B) 热量不能全部转变为功（C）功不能全部转化为热量(D) 气体在真空中的自由膨胀过程是不可逆过程3 在绝热容器中，气体分子向真空中自由膨胀，在这过程中（ ）(A)气体膨胀对外作功，系统内能减小 (B)气体膨胀对外作

11、功，系统内能不变（C）系统不吸收热量，气体温度不变 (D)系统不吸收热量，气体温度降低41mol的单原子理想气体从A状态变为B状态，如果不知道是什么气体，变化过程也不清楚，但是可以确定A、B两态的宏观参量，则可以求出（ ） (A) 气体所作的功 (B) 气体内能的变化（C） 气体传给外界的热量(D) 气体的质量5. 热力学第二定律表明（ ） (A)不可能从单一热源吸收热量使之全部变为有用功而不产生其他影响 (B) 热不能全部转变为功 (C) 热量不可能从温度低的物体传到温度高的物体 (D) 以上说法均不对。6在标准条件下，将1mol单原子气体等温压缩到16.8升，外力所作的功为（ ） (A)

12、285 J (B) -652 J （C） 1570 J (D) 652 J7关于热功转换和热量传递有下面一些叙述(1)功可以完全变为热量，而热量不能完全变为功；（2）一切热机的效率都小于1 ；（3）热量不能从低温物体传到高温物体；（4）热量从高温物体传到低温物体是不可逆的。8以上这些叙述( )(A) 只有（2）、（4）正确 (B) 只有（2）、（3）、（4）正确（C）只有（1）、（3）、（4）正确 (D) 全部正确9速率分布函数f(v)的物理意义为（ ） （A） 具有速率v的分子占总分子数的百分比（B） 速率分布在v附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比（C） 具有速率v的分子数（D）

13、 速率分布在v附近的单位速率间隔中的分子数101mol刚性双原子理想气体分子在温度为T时，其内能为（ ） （A） （B） （C） ；（D） 。11压强为p、体积为V的氢气的内能为（ ） （A） （B） （C） （D）12质量为m的氢气，分子的摩尔质量为M，温度为T的气体平均平动动能为（ ） （A） （B） （C） ； （D） 电学部分一、填空题：1电荷最基本的性质是与其他电荷有 ，库仑定律直接给出了 之间相互作用的规律； 7两个电荷量均为q的粒子，以相同的速率在均匀磁场中运动，所受的磁场力 相同（填一定或不一定）。 11麦克斯韦感生电场假设的物理意义为：变化的 _ 能够在空间激发涡旋的电场；位

14、移电流假设的物理意义为变化的 _ 能够在空间激发磁场。9自感系数L =0.3 H的 螺 线 管 中 通 以I =8 A的电流时，螺线管存储的磁场能量W =_二、选择题：1点电荷，两者相距，试验电荷，则处于连线的正中位置处受到的电场力为（ ） （A） （B） （C） （D）2一半径的均匀带电圆环，电荷总量为,环心处的电场强度为（ ）（A） （B）0 （C） （D）3一半径为的均匀带电半圆环，带电为半径为，环心处的电场强度大小为 （ ）（A） （B） （C）0 （D）4长的均匀带电细棒，带电为，在棒的延长线上距棒中心处的电场强度的量值为（A） （B） （C） （D） （ ）5孤立金属导体球带有电荷

15、，由于它不受外电场作用，所以它具有（ ）所述的性质（A）孤立导体电荷均匀分布，导体内电场强度不为零（B）电荷只分布于导体球表面，导体内电场强度不为零（C）导体内电荷均匀分布，导体内电场强度为零（D）电荷分布于导体表面，导体内电场强度为零6半径为的带电金属球，带电量为，为球外任一点到球心的距离，球内与球外的电势分别为（ ）（A） （B）（C） （D）7两长直导线载有同样的电流且平行放置，单位长度间的相互作用力为，若将它们的电流均加倍，相互距离减半，单位长度间的相互作用力变为，则大小之比为 （ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）88对于安培环路定理的正确理解是 ( )（A）若，则必定上处处为零

16、（B）若，则必定不包围电流（C）若，则必定包围的电流的代数和为零（D）若，则必定上各点的仅与内的电流有关9. 平行板电容器的电容为C0，两极板间电势差为U，若保持U不变而将两极板距离拉开一倍，则： （ ）（A）电容器电容减少一半； （B）电容器电容增加一倍；（C）电容器储能增加一倍； （D）电容器储能不变。10对于毕奥萨伐尔定律的理解： （ ）（A）它是磁场产生电流的基本规律； （B）它是电流产生磁场的基本规律；（C）它是描述运动电荷在磁场中受力的规律；（D）以上说法都对。11通以稳恒电流的长直导线，在其周围空间： （ ）A只产生电场。 B只产生磁场。C既不产生电场，也不产生磁场。 D既产生电

17、场，也产生磁场。12有一无限长载流直导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以载流导线为轴线的同轴圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量：（ ）A. 等于零； B. 不一定等于零； C. 为 ； D. 为.13有一由匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为，通有电流，置于均匀磁场中，当线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受的磁力矩值为 ( )（A）（B） （C）（D）014位移电流有下述四种说法，请指出哪种说法是正确的 （ ）（A）位移电流是由变化电场产生的；（B）位移电流是由变化磁场产生的；（C）位移电流的热效应服从焦耳一愣次定律；（D）位移电流的磁效应不服从安培环路定律。15麦克斯韦方程

18、组的全电流安培环路定理 （ ） A； B.； C. 0； D.16热力学第二定律表明（ ） (A)不可能从单一热源吸收热量使之全部变为有用功而不产生其他影响 (B) 热不能全部转变为功 (C) 热量不可能从温度低的物体传到温度高的物体 (D) 以上说法均不对。17.一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为po，右边为真空，今将隔板抽去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是（ ） (A)po (B)po/2 (C)2po (D)无法确定。18判断下列有关角动量的说法的正误： （ ）（A）质点系的总动量为零，总的角动量一定为零；（B）一质点作直线运动，质点

19、的角动量不一定为零；（C）一质点作匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以质点对圆心的角动量方向也随之不断改变；（D）以上说法均不对。19以下说法哪个正确： （ ）（A）高斯定理反映出静电场是有源场；（B）环路定理反映出静电场是有源场；（C）高斯定理反映出静电场是无旋场；（D）高斯定理可表述为：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒为零。20平行板电容器的电容为C0，两极板间电势差为U，若保持U不变而将两极板距离拉开一倍，则： （ ）（A）电容器电容减少一半； （B）电容器电容增加一倍；（C）电容器储能增加一倍； （D）电容器储能不变。21对于毕奥萨伐尔定律的理解： （ ）（A） 它是磁场产生

20、电流的基本规律； （B） 它是电流产生磁场的基本规律；（C） 它是描述运动电荷在磁场中受力的规律；（D） 以上说法都对。22通以稳恒电流的长直导线，在其周围空间：（ ）（A）只产生电场； （B）既不产生电场，又不产生磁场； （C）只产生磁场； （D）既产生电场，又产生磁场。 6两瓶不同种类的气体，它们的温度和压强相同，但体积不同，则单位体积内的分子数相同（ ）7从气体动理论的观点说明：当气体的温度升高时，只要适当地增大容器的容积，就可使气体的压强保持不变（）8热力学第二定律的实质在于指出：一切与热现象有关的宏观过程都是可逆的。（ ）9随时间变化的磁场会激发涡旋电场，随时间变化的电场会激发涡旋磁

21、场。（ ）带电粒子在均匀磁场中，当初速度vB时，它因不受力而作匀速直线运动。（ ） 1作用力的功与反作用力的功必定等值异号，所以它们作的总功为零。（ ）2不受外力作用的系统，它的动量和机械能必然同时都守恒（）3在弹簧被拉伸长的过程中，弹力作正功。 （ ） 4物体的温度越高，则热量越多（）5对一热力学系统，可以在对外做功的同时还放出热量（）6可以使一系统在一定压力下膨胀而保持其温度不变（）7带电粒子在均匀磁场中，当初速度vB时，它因不受力而作匀速直线运动。（ ） 8随时间变化的磁场会激发涡旋电场，随时间变化的电场会激发涡旋磁场。（ ）9动生电动势是因磁场随时间变化引起的，感生电动势是因导线在磁场

22、中运动引起的。（ ）10电磁波是横波，它能在空间传播是由于随时间变化的电场与磁场互相激发所至。（ ）四计算题1.已知质点运动方程为式中R、为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。2. 一质点的运动方程为（SI），试求：（1）第3秒内的位移及平均速度；（2）1秒末及2秒末的瞬时速度；（3）第2秒内的平均加速度及0.5秒末的瞬时加速度。3.质点沿半径为R做圆周运动，其按规律运动，式中S为路程，b、c为常数，求（1）时刻质点的角速度和角加速度（2）当切向加速度等于法向加速度时，质点运动经历的时间。（1）解 质点作圆周运动，有，所以 角速度 角加速度 （2）在圆周运动中，有 当 即 得 4一质

23、点的运动方程为。 （1）画出质点的运动轨迹。 （2）求时的位矢 （3）求末的速度 （4）求出加速度5在光滑水平面上放置一静止的木块，木块质量为m2.一质量为m1的子弹以速度v1沿水平方向射入木块，然后与木块一起运动，如图所示。（1） 求子弹与木块间的相互作用力分别对子弹和木块所做的功； （2）碰撞过程所损耗的机械能。 m1 V m2 1 一电容器的电容C=200F，求当极板间电势差U=200V时，电容器所储存的电能。2 如图所示，在长直导线AB内通有电流I1=10A,在矩形线圈CDEF中通有电流I2=15A，AB与线圈在同一平面内，且CD、EF与AB平行 。已知a=2.0cm,b=5.0cm,

24、d=1.0cm。求：（1）导线AB中的电流I1的磁场对矩形线圈CD、DE边的安培力的大小和方向；（2）矩形线圈所受到的磁力矩。2两球质量m1=2.0g,m2=5.0g,在光滑的桌面上运动，速度分别为v1=10icms-1,v2=(3.0i+5.0j)cms-1，碰撞后合为一体，求碰后的速度（含大小和方向）。3.我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心为椭圆的一个焦点。已知人造地球卫星近地点高度h1=439km，远地点高度h2=2384km。卫星经过近地点时速率为v1=8.10kms-1，试求卫星在远地点的速率。取地球半径R=6378km，空气阻力不计。E2EE1q2ACq1B图1

25、3.1131如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1 = 1.810-9C，B点处有点电荷q2 = -4.810-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强解答根据点电荷的场强大小的公式，其中1/(40) = k = 9.0109Nm2C-2点电荷q1在C点产生的场强大小为，方向向下点电荷q2在C点产生的场强大小为，方向向右C处的总场强大小为 ，总场强与分场强E2的夹角为 3均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为 = 310-8Cm-1，求：olxxdlyP1r-LLd1（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相

26、距d2 = 8cm处的场强解答（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为 场强的方向沿x轴正向因此P1点的总场强大小通过积分得 将数值代入公式得P1点的场强为olxxdlr-LLyP2dEydE2dExd2= 2.41103(NC-1)，方向沿着x轴正向（2）建立坐标系，y = d2在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为 ，由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为dEy = dE2s

27、in由图可知：r = d2/sin，l = d2cot，所以 dl = -d2d/sin2，因此 ，总场强大小为 将数值代入公式得P2点的场强为 = 5.27103(NC-1)方向沿着y轴正向讨论（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入式，化简得，保持d1不变，当a时，可得， 这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小（2）由式得，当a时，得 ， 这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E113一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为，如图所示试求：PbaQd图13.5（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强（2）通过薄

28、板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强解答（1）建立坐标系在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为 d = d x，根据直线带电线的场强公式 PbaOxdxy，得带电直线在P点产生的场强为，其方向沿x轴正向由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为 场强方向沿x轴正向QbdOzdxxyrdE（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为d = d x，带电直线在Q点产生的场强为，沿z轴方向的分量为 ，设x = dtan，则dx = dd/cos2，因此积分得 场强方向沿z轴正向讨论（1）薄板单位长度上电荷为

29、= b，式的场强可化为 ，当b0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为， 这正是带电直线的场强公式（2）也可以化为 ，当b0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为， 这也是带电直线的场强公式当b时，可得， 这是无限大带电平面所产生的场强公式13 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为和-，求（1）r R1；（2） R1 r R2处各点的场强解答由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r R1）（2）在两

30、个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = l，穿过高斯面的电通量为 ，根据高斯定理e = q/0，所以， (R1 r R2）S2S1ES1S2EEd2rS0ES0139一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为，求板内外各点的场强解答方法一：高斯定理法（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为，高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为 q =V = 2rS，根据高斯定理 e = q/0，可得场

31、强为 E = r/0，(0rd/2)（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 e = 2ES，高斯面在板内的体积为V = Sd，包含的电量为 q =V = Sd，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = d/20，(rd/2) E2dyryoE1d方法二：场强叠加法（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为d = dy，产生的场强为 dE1 = d/20，ORaRO图13.10积分得，同理，上面板产生的场强为，r处的总场强为E = E1-E2 = r/0（

32、2）在公式和中，令r = d/2，得E2 = 0、E = E1 = d/20，E就是平板表面的场强平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出式ABP图13.1613 两块“无限大”平行带电板如图所示，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），设A和B两板相隔5.0cm，板上各带电荷=3.310-6Cm-2，求：（1）在两板之间离A板1.0cm处P点的电势；（2）A板的电势解答两板之间的电场强度为 E=/0，方向从A指向B以B板为原点建立坐标系，则rB = 0，rP = -0.04m，rA = -0.05mABPro

33、（1）P点和B板间的电势差为，由于UB = 0，所以P点的电势为=1.493104(V)（2）同理可得A板的电势为 =1.866104(V)AOR1BR2rArB图13.1813 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为，试计算：（1）A，B两点的电势；（2）利用电势梯度求A，B两点的场强解答（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O点的电势OR1R2rdr在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为dV = 4r2dr，包含的电量为 dq = dV = 4r2dr，在球心处产生的电势为 ，OR1R2rBB球心处的总电势为 ，这就是A点的电势UA过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势球壳在球面内的体积为， 包含的电量为