高等数学练习题附答案

1、高等数学专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将或填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（ ）1. 收敛的数列必有界.（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.（ ）3. 闭区间上的间断函数必无界.（ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ ）5. 若在点可导，则也在点可导.（ ）6. 若连续函数在点不可导，则曲线在点没有切线.（ ）7. 若在上可积，则在上连续.（ ）8. 若在（）处的两个一阶偏导数存在，则函数在（）处可微.（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（ ）10. 设偶函数在区间内具有二阶导数，且 , 则为的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1

2、. 设，则 .2. 若，则 .3. 设单调可微函数的反函数为, 则 .4. 设, 则 .5. 曲线在点切线的斜率为 .6. 设为可导函数,则 .7. 若则 .8. 在0,4上的最大值为 .9. 广义积分 .10. 设D为圆形区域 .三、计算题（每题5分，共40分）1. 计算.2. 求在（0，+）内的导数.3. 求不定积分.4. 计算定积分.5. 求函数的极值.6. 设平面区域D是由围成，计算.7. 计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积.8. 求微分方程的通解.四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明： .2. 设在闭区间上连续，且证明：方程在区间内有且仅有一个实根.高等数学参考答案一、

3、判断题. 将或填入相应的括号内（每题2分，共20分）1. ；2. ；3.； 4. ；5.； 6. ；7. ；8. ；9. ；10.二、 填空题.（每题2分，共20分）1.； 2. 1； 3. 1/2； 4.； 5. 2/3 ； 6. 1 ； 7. ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为 且 ，=0 由迫敛性定理知： =0 2.解：先求对数 3.解：原式= = =2 4.解：原式= = = = =4/5 5.解： 故 或 当 时， 且A= （0，0）为极大值点 且 当 时， ， 无法判断 6.解：D= = = = = = 7.解：令，；则，

4、8.解：令 ，知 由微分公式知： 四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设 =0 令 即：原式成立。 2.解： 上连续且 0故方程在上至少有一个实根. 又 即 在区间上单调递增 在区间上有且仅有一个实根. 高等数学专业 学号 姓名 一、判断题（对的打，错的打；每题分，共分）1.在点处有定义是在点处连续的必要条件.2. 若在点不可导，则曲线在处一定没有切线.3. 若在上可积，在上不可积，则在上必不可积.4. 方程和在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5. 设是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，是其所对应的齐次方程的通解，则为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题分，共分）1. 设

5、则 .2. 设，当 时，在点连续.3. 设，则 .4. 已知在处可导，且，则 . 5. 若，并且，则.6. 若在点左连续，且 ，则与大小比较为 7. 若，则；.8. 设，则.9. 设，则.10. 累次积分化为极坐标下的累次积分为 .三、计算题（前题每题分，后两题每题分，共分）1. ; 2. 设，求; 3. ;4. ; 5. 设, 求.6. 求由方程所确定的函数的微分.7. 设平面区域是由围成，计算. 8. 求方程在初始条件下的特解. 四、（分）已知在处有极值，试确定系数、，并求出所有的极大值与极小值.五、应用题（每题分，共分）1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为

6、时，燃料费为每小时元，而其它与速度无关的费用为每小时元. 问轮船的速度为多少时, 每航行所消耗的费用最小？2. 过点向曲线作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积. 六、证明题（分）设函数在上的二阶导数存在，且, . 证明在上单调增加.高等数学参考答案一、判断题 1.； 2.； 3. ； 4. ； 5.二、填空题1. 36 ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6.；7. ； 8. ； 9. ； 10.三、计算题1. 原式 2. 3原式= 4设 则 原式= 5 6两边同时微分得： 即 故 （本题求出导数后，用解出结果也可）7 8原方程可化为 通解为

7、 代入通解得 故所求特解为： 四、解： 因为在处有极值，所以必为驻点故 又 解得： 于是 由 得 ，从而 ， 在处有极小值 ，在处有极大值 五、1.解：设船速为，依题意每航行的耗费为 又 时， 故得， 所以有， 令 ， 得驻点 由极值第一充分条件检验得是极小值点.由于在上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为时，每航行的耗费最少，其值为（元） 2.解：（1）设切线与抛物线交点为，则切线的斜率为，又因为上的切线斜率满足，在上即有所以，即 又因为满足，解方程组 得 所以切线方程为 则所围成图形的面积为： （2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积为： 六、证： 在

8、上，对应用拉格朗日中值定理，则存在一点，使得 代入上式得 由假设知为增函数，又，则,于是,从而，故在内单调增加. 高等数学试卷专业 学号 姓名 一、填空题（每小题1分，共10分）1函数的定义域为_。 2函数 上点（ ， ）处的切线方程是_。 3设在可导且，则 _。 4设曲线过，且其上任意点的切线斜率为，则该曲线的方程是_。 5_。 _。 7设，则_。 8累次积分化为极坐标下的累次积分为_。 9微分方程的阶数为_。 10设级数 发散，则级数 _。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，（110每小题1分，1117每小题2分，共24分）1设函数 ，则

9、 （ ） 2 时， 是 （ ） 无穷大量 无穷小量 有界变量 无界变量 3下列说法正确的是 （ ） 若在 连续， 则在可导 若在不可导，则在不连续 若在 不可微，则在极限不存在 若在 不连续，则在不可导 4若在内恒有，则在内曲线弧为 （ ）. 上升的凸弧 下降的凸弧 上升的凹弧 下降的凹弧 5设，则 （ ） 为常数 为常数 6 （ ） 7方程在空间表示的图形是 （ ） 平行于面的平面 平行于轴的平面 过轴的平面 直线8设，则 （ ） 9设，且 ，则级数 （ ） 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散10方程是 （ ） 一阶线性非齐次微分方程 齐次微分方程 可分离

10、变量的微分方程 二阶微分方程11下列函数中为偶函数的是 （ ） 12设在可导，则至少有一点使 （ ） 13设在 的左右导数存在且相等是在 可导的 （ ） 充分必要的条件 必要非充分的条件 必要且充分的条件 既非必要又非充分的条件14设 ，则，则 （ ） 15过点（，）且切线斜率为 的曲线方程为 （ ） 4 4 4 16设幂级数 在（）收敛， 则 在 （ ） 绝对收敛 条件收敛 发散 收敛性与有关 17设域由所围成，则 （ ） ； ； ； . 三、计算题（13每小题5分，49每小题6分，共51分） 设 求 . 求 . 计算 . 设，求 . 求过点 （，），（，）的直线方程. 设 ，求 . 计算.

11、 求微分方程 的 通解 . 将 展成的幂级数. 四、应用和证明题（共15分） （分）设一质量为的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为 ）求速度与时间的关系。（分）借助于函数的单调性证明：当时， 。高等数学参考答案一、填空题（每小题1分，共10分） （，） 2 （） 三阶 发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，110每小题1分，1117每小题2分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17三、计算题（13每小题5分，49每小题6分，共51分） 解： 解： 原式 解： 原式 -

12、 解：因为 解：所求直线的方向数为， 所求直线方程为 解： 解：原积分 解：两边同除以 得 两边积分得 亦即所求通解为 解：分解，得 （ 且 ） （ ） 四、应用和证明题（共分） 解：设速度为，则满足 解方程得 由t=0定出，得 证：令 则在区间，连续 而且当时， 因此在，单调增加 从而当时， 即当时， 高等数学专业 学号 姓名 一、判断正误（每题2分，共20分）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量.2. 初等函数在其定义域内必定为连续函数.3. 在点连续，则在点必定可导.4. 若点为的极值点，则必有.5. 初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.6. 方程表示一个圆.7. 若在点可微，则在点

13、连续.8. 是二阶微分方程.9. .10. 若为连续函数，则必定可导.二、填空题（每题4分，共20分）. . . 设，且，则. ，则.三、计算题与证明题（共计60分）.，（5分）； ，（5分）。. 求函数的导数。（10分）. 若在上.证明：在区间和上单调增加.（10分）. 对物体长度进行了次测量，得到个数。现在要确定一个量，使之与测得的数值之差的平方和最小.应该是多少？（10分） . 计算.（5分） 6. 由曲线与两直线所围成的平面图形的面积是多少.（5分）. 求微分方程满足条件的特解。（5分）. 计算二重积分是由圆及围成的区域.（5分）高等数学参考答案一、判断正误（每题2分，共20分）1-5

14、 ， ， ， ， . 6-10. ， ， ， ， .二、填空题（每题4分，共20分） ； ； ； ； .三、计算题与证明题。（共计60分）.= = = = 2. 令 则 同理 3. = 令 则 则 当时 当时 故命题成立。 4.令 则 令 5. = = 6. 7. 方程变形为 而 = 初始条件： 8、 高等数学专业 学号 姓名 一、判断（每小题 2 分，共 20 分）1. f(x)在点x处有定义是f(x)在点x处连续的必要条件. ( )2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. ( )3. y=f(x)在x处可导,则y=|f(x)|在x处也可导. ( )4. 初等函数在其定义域内必连续. ( )

15、5. 可导函数f(x)的极值点一定是f(x) 的驻点. ( )6. 对任意常数k,有=k. ( )7. 若f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界. ( )8. 若f(x,y)在区域D上连续且区域D关于y轴对称,则当f(x,y) 为关于x的奇函数时,=0. ( )9. =-2x-e的通解中含有两个独立任意常数. ( )10. 若z=f(x,y)在P的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P连续. ( )二、填空（每空 2 分，共20 分）1. xsin+sinx+()= .2. 函数f(x)=x在0,3上满足罗尔定理的条件,定理中的数值= .3. 设f(x)= 当a= 时,f(x)在x

16、=0处连续.4. 设z=e ,则dz| (0,0)= .5. 函数f(x)=e-x-1在 内单调增加;在 内单调减少.6. 函数满足条件 时, 这函数没有极值.7.dx = 其中a,b为常数. 8. (x)=1且,则= .9.若I=dxdy交换积分次序后得 .三、计算（每小题 5 分,共 40 分）1. 求(-) ； 2. +=2,求dy；3. 求； 4. 求 ； 5. 求；6. 设z=ln(x+y) 求,；7. 计算 I=.其中D是由圆x+y=4围成的区域；8. 求微分方程-ydx+(x+y)dy=0的通解.四、应用题(每题7分,共14分)1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.2. 求由y=,x=1,x=2与x轴所围成的图形的面积及该图绕x轴旋转一周的旋转体的体积.五、证明(本题6分)证明:当x0时,不等式1+成立.高等数学参考答案一、判断正误（每题2