全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义.

1、全等三角形及三角形全等的条件1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。 教学目的2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容一、课前检测1.如图（1）, ABC 中，AB=AC , AD 平分/ BAC，则也.2 斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是 ，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是.3. 已知 ABC DEF , DEF 的周长为 32 cm, DE=9 cm ,EF=12 cm 贝U AB=, BC=AC=.图（3）图（1）图（2）4 .如图（2） , AC=BD，要使 ABC DCB还需知道的一个条件

2、是 5 .如图（3）,若/ 1 = / 2,/ C= / D，则 ADB 也，理由6 不能确定两个三角形全等的条件是（）A 三边对应相等B 两边及其夹角相等C .两角和任一边对应相等D.三个角对应相等7 ABC 和厶 DEF 中，AB=DE，/ A= / D，若 ABC DEF 还需要 （）A . / B=/ E B . / C=/ F C . AC=DFD .前三种情况都可以在厶 ABC 和厶 A B C 中 AB=A B BC = B C/ C=/ C,则下列哪组条件不能保证 ABCA A B CA .具备B .具备C.具备AC=A C / A= / A / B= / B( )D .具备参

3、考答案：1 . ADB ADC 2 .ASA(或 AAS)5 . ACB AAS 6 D 7 D 8 ASSS 3. 9 cm12 cm 11 cm 4. / ACB= / DBC 或 AB=CD二、知识梳理知识要点：要点1:全等三角形的概念及其性质（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形（2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等要点2 :全等三角形的判定（1）两边及夹角对应相等 SAS（ 2）两角及夹边对应相等 ASA（3）两角及其中一角的对边对应相等AAS（ 4）三边对就应相等 SSS要点3:找全等三角形的对应边，对应角的方法（1）若给出对应顶点

4、即可找出对应边和对应角。（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。要点4:寻找两个三角形全等的途径（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点夹边相等7购 有两组对应角相等时；找|任一组对边相等（AAS）夹甬相等他1 有两组对应边相等时；找q第三边根等网聊有一个对角是直HL）L（夹等角的另一组边相等（SAS） 有一边，一邻角相等时

5、；找| 有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS（2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图（一）中的 AD,图（二）中的BC都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有 BF=CE利用公有的线段 FC就可推出BC=EF三、例题讲解：例 1.如图， A,F,E,B 四点共线， AC_CE , BD _ DF , AE = BF , AC = BD。求证：.ACF 三.BDE 。D.思路分析：从结论 AC. BDE入手，全等条件只有 AC二BD ；由AE = BF两边同时减去 EF得到AF = BE , 又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF =DE，也可以

6、是 A=/B。由条件 AC _CE， BD _DF 可得.ACE =/BDF = 90：，再加上 AE = BF， AC = BD，可以证明 AACE 二 BDF，从而得到.A = . B。解答过程：AC _CE， BD _ DF .ACE =. BDF =90；在 Rt. ACE 与 Rt. BDF 中AE =BFAC 二 BD Rt. ACE 二 Rt. BDF (HL)ZA ZB/ AE =BF.AE -EF =BF -EF，即 AF =BE 在ACF与BDE中AF =BE Z/BAC 二 BDACF 三 BDE (SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面

7、从问题或结论入手，看还需要什么条 件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的 联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路例2.如图，在 ABC中，BE是/ ABC 的平分线，AD_BE ,垂足为D。求证：.2= V . C。思路分析：直接证明.2二小 . C比较困难，我们可以间接证明，即找到.：，证明.2 - .且C。也可以看成将 2 “转移”至U : o那么 ：在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了 FBD ,可以通过证明三角形全等来

8、证明/ 2=Z DFB，可以由三角形外角定理得/DFB= / 1 + Z C。解答过程：延长 AD交BC于F在ABD与FBD中J?ABD =/FBD It ?BD =BD. ABD 二：FBD (ASA 乙2 ZDFBJ /ADB - . FDB =901 又.DFB C解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3.如图，在JABC中，AB =BC，乙ABC =90； F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE,EF C和 CF。求证：AE =：CF 二思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。 以线段AE为

9、边的：ABE绕点B顺时针旋转90；至L CBF的位置，而线段 CF正好是 CBF的边，故只要证明它们全等即可。解答过程： EABC =90： , F为AB延长线上一点ZABC ZCBF =90；在ABE与CBF中AB =BC/ABC ZCBFBE =BFABE = CBF (SAS).AE 二CF 解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以 根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4.如图，D是ABC的边BC上的点，且

10、CD =AB , ADB/BAD , AE是ABD的中线。求证：AC =2AE 使的线段，然后证其等于使 EF =AE。解答过程：延长AE至点F ,AC。因此，延长AE至F，EF =AE，连接 DF在ABE与FDE中Iafe.AEB = . FEDBE =DE.ABE = FDE (SAS)B = EDF/ADF ZADB MEDF , ADC “BAD . B 又,/ADB ZBADZADF ZADC AB =DF，AB 二CD .DF 二DC 在.ADF与ADC中AD =AD /ADF - . ADCtDF =DC.ADF = ADC (SAS).AF =AC又.一 AF =2AE.AC

11、=2AE。解题后的思考 线平行。三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直四、课堂练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是(A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等2.根据下列条件，能画出唯一 厶ABC的是(A AB =3 BC =4 CA=8B. 一锐角对应相等D.斜边相等)B. AB =4，BC =3, A = 30；D. C =90，AB =6C. C =60；，B =45；，AB =43.如图，已知.1. 2 , AC = AD，增加下列条件：AB二AE ，BC二ED ；.C = D ；.B = E。其中能使6ABC二：AED的条件有（）

12、（第3题）4.如图，已知AB =CD，A. 67；（第4题）（第5题）（第6题）BC =AD，. B = 23，则.D 等于（B. 46C. 23；）D.无法确定二、填空题：5.如图，在 ABC 中，.C =90；， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，且 CD : AD = 2:3，AC = 10cm， 则点D到AB的距离等于 cm ；6将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC, BD为折痕，则N CBD的大小为三、解答题：7.如图，厶ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM二CN，AM与BN交于Q点。求.AQN 的度数。8.如图， ACB二90，AC = BC，D为AB

13、上一点，AE CD，BF CD，交CD延长线于F点。求证: BF 二CE 。9.如图，已知 AE 丄AD , AF 丄AB , AF=AB , AE=AD=BC , AD/BC.求证：(1) AC=EF ,( 2) AC 丄EF10.已知：如图，在 Rt ABC 中，AB=AC，/ BAC=90，/ 1 = Z 2, CE丄BD 的延长线于 E.求证：BD=2CE.A参考答案一、选择题:1. A2. C3. B4. C二、填空题：5. 46. 90T三、解答题：7. 解：T AABC为等边三角形.AB =BC，ABC V 60；在ABM与BCN中AB =BCv NABC =NCBM =CNAB

14、M 二 BCN (SAS)NBC = BAMAQN =/ABQBAM ABQ NBC =60；。8. 证明：T AE CD，BF CDF AEC =90， ACE CAE = 90；v ACB =90；二 SCE +NBCF =90”CAE BCF 在ACE与:CBF中.F =. AECI.fAE 二/BCFAC =BCACE . CBF (AAS)BF =CE。9.证明:(1) v AD/BC ,/ B + Z DAB=180又K DAB +Z 4+Z EAF + Z 3=360 , Z 3= Z 4=90.Z DAB +Z EAF=180 Z B= Z EAF在厶ABC和厶FAE中fAB=

15、AF彳 AB = EAFBC = AEL ABCFAE (SAS) AC=EF(2) v ABCFAE Z 1 = Z F 又tZ 1 +Z 3= Z 2+Z F Z 2= Z 3又 tZ 3=90.Z 2=90 AG 丄 EF，即 AC 丄 EF证明：延长BA、CE交于点F.vZ 3=90 上 5+Z F=90又 BE 丄 CE,.Z 4=90, Z 7=90/-Z 1 +Z F=90 , Z 6=180 90=90 Z 1 = Z 5Z3 = Z6 = 90 AB = AC在厶 ABD 和厶 ACF 中= Wabd ACF (ASA ) BD=FC21 = Z2 BE = BE在厶 BEF

16、 和厶 BEC 中Z4=Z7=?0/， BEFBEC (ASA) EF=EC FC=2EC BD=2EC五、课堂小结(1) 全等三角形的概念及其性质(2) 全等三角形的判定(3) 找全等三角形的对应边，对应角的方法(4) 寻找两个三角形全等的途径六、课后作业一、填空题1 如图(1),Z C=Z E,Z 1 = Z 2, AC=AE，则 ABD按边分是 =_=才三角形.2 如图（2） , AB=AC, BD 丄 AC 于 D, CE丄 AB 于 E,交 BD 于 P,贝U PD3.如图（3）, ABC 中, 则图中所添加的辅助线应是AB=AC,现想利用证三角形全等证明ZB=Z C,图（1）4.一

17、个三角形的三边为5.如图（4） , AD=AE,8._PE （填“”或“”或“=”）.若证三角形全等所用的公理是SSS公理,图（2）2、5、X,另一个三角形的三边为（4）y、图（3）6,若这两个三角形全等，则x+y=若厶AEC ADB，则需增加的条件是、选择题如图（8）,图中有两个三角形全等，且ZA=Z D,A. ABC DEFB.C. BAC DEFD.如图（9） , AC=AB, AD 平分 Z CAB ,E在AD上,A.1B . 2C.6.7.D则图中能全等的三角形有3D. 4如图A.（至少三个）AB与DF是对应边，则下列书写最规范的是（ ABC DFE ACBDEFCEC F图（8）（

18、10）, ABC 中，D、E 是 BC边上两点，AD=AE, BE=CD, Z 仁Z 2=110 70B. 60C. 50如图A.（11）, AB / CD，且 AB=CD , 只能用ASAB .只能用则厶ABE CDE的根据是SASC.只能用AAS一对,ZBAE=60,贝UZCAD 等于 （）110）D . 用 ASA 或 AAS10 .如图（12） , ABCAEF , ABA . Z ACBB . Z BAF和AE,AC和AF是对应边，那么/C.Z FEAC等于（）D. Z CAF11 .如图（13） , ABC 中，/ C=90, AC=BC, AD 平分/ CAB 交 BC 于 D,

19、 DE 丄AB 于 E 且 AB=6 cm，则 DEB的周长为（A. 40 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 10 cm图(13)Z C= Z D , AC, BD 相交于点 E,A . Z DAE = / CBEC. CE=CDF面结论不正确的是（B. DEA与厶CEB不全等D. AEB是等腰三角形三、解答题13 .已知 EF 是 AB 上的两点，AE=BF , AC / BD，且 AC=DB，求证：CF = DE .图（15）14 . 一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由.图（16）15 .如图（17）,在厶ABC中，AM是中线，AD是高线.图(17)(1 )若AB比AC长5 cm，则 ABM的周长比厶ACM的周长多 cm.(2)