傅里叶级数课程及习题讲解

1、15.1傅里叶级数基本内容一、傅里叶级数f(x)anXn 在幕级数讨论中n 1，可视为f(X)经函数系1, X, X2, L , Xn, L线性表出而得.不妨称1，x，x2，L,xn丄为基，则不同的基就有不同的级数.今用三角函数系 作为基，就得到傅里叶级数.1三角函数系函数列 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, L , cosnx, sin nx, L 称为三角函数系.其有下面两 个重要性质.(1) 周期性 每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2) 正交性 任意两个不同函数的积在,上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零.对于一个在，可积的函数系Un(x):

2、x a, b, n sinnx 1 sin nxd x 1 cosnxdx 0,2丄，定义两个函数的内积为bUn(X),Um(X).a Un(x) Um (x)d X.ilO m n(Un(X),Um(X)X由于如果.0 m n，则称函数系Un(x):x a, b, n 1,2丄为正交系.m n sin mx, sin nx sin mx sin nxdx/0 m n .m n cosmx, cos nx cosmx cos nxdx0 m nsin mx, cos nxsin mx cosnxdx 0 ；71, 1.12dx 2所以三角函数系在上具有正交性，故称为正交系.利用三角函数系构成的

3、级数a0-an cosnx dsinnx2 n 1称为三角级数，其中弧耳力1丄，an,b n丄为常数2以2为周期的傅里叶级数定义1设函数f(x)在 ,上可积,ak 丄(f (x),coskx)1 f (x)coskxdx , n d o .k U,12,L ；1 1k 1,2L，bk 丨 f(x),sin kx f (x)sin kxdx称为函数f(x)的傅里叶系数，而三角级数a-2cosnx bn sin nx称为f (x)的傅里叶级数，记作a0f (x)2an cosnx bn sin nx这里之所以不用等号，是因为函数f(x)按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于f(x)二

4、、傅里叶级数收敛定理定理1若以2为周期的函数f(x)在,上按段光滑，则a。an cos nx bnsinnxn 1f(x 0) f(x 0)2其中Nb为f(X)的傅里叶系数.定义2如果f (,x (2k,2k, k 1, 2,L Ca, b，则称f(x)在a，b上光滑.若x a,b), f (x 0), f (x 0)存在;x (a,b, f(x 0) , f (x 0)存在且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称f (x)在a,b上按段光滑.几何解释如图.按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点.f(x)f(x 2k )推论 如果f(x)是以2为周期的连

5、续函数，且在，上按段光滑，则x Rf (x) 並ancosnx bnsin nx有2 n 1定义3设f(x)在(，上有定义，函数称f (x)为的周期延拓.习题解答1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1) f(x) x, (i)x , (ii) 0x2其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得a0f (x)dxxdx 0当n 1时,1 anxcos nxdx nxd(s in nx)丄 xsinnx| nsinn xdx 0bn -xsi nn xdx -nxd(cosnx)xcosnx| ncos nxdx (1)所以)为所求.n 1 sin nx f(x) 2( 1)n1n 1(i

6、i)、f(x)=x , x (0,2 )作周期延拓的图象如下.其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得1 2ao0 f(x)dx1 2 xdx 20当n 1时,1 2an 0 xcosnxdx12xsin nx|n01 2 xd(sin nx) n 01 2 sin nxd x 0 n 02xsin nxd x01 2 xd(cos nx) n 01 ,2 1 2 2 xcos nx|cos nxdx n0 n 0n所以f(x)2 sin nxn1 n ，x(0,2 )为所求.f(x)= x2,(i) - n x n (ii) 0 xxd(sin nx)-xsinnx|n2 2 nsin

7、 nxd xf(x)-1)n sin nx1丿 2n,）为所求.由系数公式得a。1 2 f (x)d x02x21时,x2 cos nxdx02sin nx|。2x d(sin nx)2xsin nxdxbn22 nxd(cos nx)2xcosnx| 02T ncos nxdx ；0n2x2sin nxdx2cos nx | o22n22n所以f(x)2 2o x d(cos nx)2xcos nxdx0xd(s in nx)xsi nnxf(x)axbx2I。cos nx2 n2 2 sin n xdx 0sinnx2n(ab, a（，2 ）为所求.0,b 0)函数f（x）,）作周期延拓的

8、图象如下.解:由系数公式得a。1 0 1f(x)dxaxdxbxd x(b a)2an10 2 . 1 ax cosnxdx bxcos nxdx01(1)n空 nbn10 1 axs inn xd x bxsin n xdx当n 1时,01 a b(1)n所以f（x）(b a)42(b a)12 cos(2 n (2n 1)1)x(ab)n(1)n11 sin nxn）为所求.2设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数 c ,有1 C21an c f (x)cos nxdx f (x)cos nxdx, n 0,1,2 ,L1 c 2 1 bn cf (x)sin nxdx (x)sin

9、nxdx,n 1,2,L证：因为f（x），sinnx，cosnx都是以2为周期的可积函数，所以令t x 2有f (x)cos nxdxf (t 2 )cosn(t 2 )d(t 2 )c+2f (t)cos ntdtc+2f (x)cos n xdx从而af (x)cosnxdxf (x)cos nxdxf (x)cos n xdx1f (x)cos nxdx c+2f (x)cos nxdxf (x)cos n xdx同理可得1 c 21bn 。f (x)si nn xd x f (x)s inn xdxf(x)4x0x3把函数4,11 11 一L435 711111一1 -L3571113

10、17乜1 1 1111(3)65 7111317L0展开成傅里叶级数，并由它解：函数f（x）, x （）作周期延拓的图象如下.L yo-J*iiaj3 2JftO23 x其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得a0 f (x)d x 丄0 dx 丄 dx 0040 4当n 1时,an0cosnxd x4cos nxdx0 4bnsin nxd x4sin n xd x41n 2k 1n 2kf(x)-sin(2n n 12n 11)x, x (，0)U()为所求.1111 ,L12391521 ,11L1317卄x取-逅13，则 4211111 所以657 111311111L57111

11、3171L171 1 1 ,.x _. 1_(1)取 2，则 435 71 1 11L 由4357 得_ _ _ -丄丄于是 341257114设函数f(x)满足条件f(x )f(x)，问此函数在,内的傅里叶级数具有什么特性.解：因为f(x)满足条件f(x )f(x)，所以f(x 2 ) f(x ) f(x)，即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得110上1上a0f(x)dx f(x)dxf (x)d x11f (t0 )dtf (x)dx01f (t0 2)dt1-0 f(x)d x1f(t0 )dt10 f(x)dx 0当n 1时,1 0f (x)cos n xdx(x)cos n

12、 xdxof(t)cos(nxn )d xo f (x)cos nxdx20 f(x)cosnxdxn 2k 10n 2k1 01bnf (x)sin nxdxo f (x)sin nxdx20 f (x)sin nxd xn 2k 10n 2k01 ( 1厂(x)cos nxdx故当f (x ) f(x)时，函数f(x)在内的傅里叶级数的特性是a2k 0 ,b2k05设函数f(x)满足条件：f(x么特性.)f(x)，问此函数在内的傅里叶级数具有什解:因为f(x)满足条件f(x ) f(x),所以f(x 2 ) f(x ) f(x)，即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得1f(x)d1

13、0上1f (x)d xa0x f(x)dx 01f (t0 )dt1f (x)dx01f (t0 2)dt10 f(x)d x1f (t0 )dt10 f (x)d x -0 f(x)dx当n 1时,1 0 1 f(x)cos nxdx (x)cos n xdx1f (t)cos(nx n )d xo f(x)cosnxdx1 ( 1)nf (x)cos nxdxf (x)cos nxdxn 2kn 2k 11 0 1bn f (x)s inn xdx o f (x)s inn xdxo f (x)sin nxd xn 2kn 2k 1故当f(X ) f(x)时，函数f(x)在 ，内的傅里叶级

14、数的特性是a2k 1 0 , b2k1 0 .6试证函数系cosnx, n 0,1,2丄和sinnx, n 1,2,L都是0,上的正交函数系，但他们 合起来的却不是0,上的正交函数系.证：就函数系1, cosx, cos2x, L , cosnx, L ,因为n ,.1,10dxI211)dx 2 ,cosnx,cosnx) cos nxdx (cos2nx ,1,cosnx cosnxdx 0又0；m, n , m n 时,cosmx,cos nxo cosmxcosnxdx1 1- 0 cos(m n)xdx 5 0 cos(m n)xdx上是正交系.所以1, cosx, cos2x, L

15、 , cosnx, L 在0,就函数系sin x, sin2x, L , sinnx, L因为n ,sin nx,sin nx2 10sin nxdx 2 0 (1cos2 nx)d x 2 ,又 m, n , mn时,sin mx,sin nxsin mxsin nxd x0- cos(m2 0n)xdx 1 0 cos(mn)xdx 0上的正交系.亠(1,si nx实因：0sin xdx 1 0所以sin x, sin2x, L , sinnx, L 在0,上是正交系.但1, sin x, cosx, sin 2x, cos2x, L , sin nx, cosnx, L 不是 0,7求下

16、列函数的傅里叶级数展开式(1)f (x),0x22 ；xf （x）- 0x2解：（）2，、，作周期延拓的图象如下.yx42由系数公式得12a。0当an1n1202n2nsin nxf(x)(0,2）为所求所以xx解y2其按段光滑，故可展开为傅里叶级数f (x).1 cosxbncosn x|2f(x) 1 cosxn 1时n 1 nx dx 021cos nxdx -n2si nn xdx 00x作周期延拓的图象如下321 : f(x)dx12 xcos nxdx 0 212 xd(sin nx) n 022 xd(cos nx)1 2 si nn xdx 0 2sinn x|2 2n02nO

17、2323 x其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.f(x)因为COSX2si n?2.2 s in?2所以由系数公式得1a0f (x)d x2 0 sindx2sinxd24.2n 1时,an2sin - cosnxd x22 si nxcosn xdx0 2bn所以f(x)故 f(x)sin - cosnxd x2sin si n n xdx2f(时,2.24.2 f(x)axbx解：(i)由系数公式得4.2(4n2 1)sin -si nn xdx0 212cosnxn 1 4n 10) f(20)f(1cos nxc, (i) 0x 2 , (ii)0,).)为所求.x ；a。, 2(axb

18、xc)dx 沁32b 2cn 1时,2 (ax2obxc)cos nxdx(ax2 nbx c)sin nx |。2(2ax b)sin nxdxbn4a2n(ax2bxc)sin nxdx(ax2bx2c)cos nx | o(2 axb)cos n xdx故 f(x) ax2 bx4 2a34acosnx1 n4 a 2bsinnx, x (0,2n）为所求.(ii)由系数公式得a。1 f (x)d x/ 2(axbxc)dn 1时,1 (ax2 bxc)cos nxd x1 2(ax bx c)si nnx| n(2 axb)sin nxd x(1)2nbn-(ax2bxc)sin nx

19、dx(ax2bxc)cos nx |(2axb)cos nxdx(1)n1 2b故f(x)2 axbx2 2a31)ncosnx ( 1)n2bsin nx, x (nn）为所求.f(x)chx,解：由系数公式得a。f(x)d x -ch xd x sh当n 1时,ch x cos nxdxch xsin nxshxsin nxd x1sh xd(cos nx)nshxcos nx(1)n2sh12 annch xcosnxdx所以an(1)n2sh(n2 1)bnchxsin nxdxchxd(cos nx)ch x cos nxshxcos nxdxshxd(sin nx)sh xs in

20、nx nchxs in n xdxsh xsin nx nchxs in n xdx1bn n所以bn0 ,1 n 1f (x) ch x sh( 1)二cos nx故2 n an 当n 1时， n 1x （，）为所求.f (x) shx,解：由系数公式得a0f (x)d xshxd x 0shxcos nxdx 0shxsin nxdxshxd(cos nx)shxcos nx|ch x cos nxdx1(1)n 1 shchxd(sin nx)nn(1)n12sh-chxsi nnx|shxs inn xdxnnin(1)n 1sh4 bnnn所以(1)n1 2nshx(n2 1)f (

21、x) shx 故1)nl2h s innx(n2 1)x (，)为所求.18求函数f(x)存3%2 2)的傅里叶级数展开式并应用它推出解：由f(x)2 axbx4a2 cos nxn 1 n4 a 2bsinnx, xn(0,2 )得1 2f(x) -(3x2)12 cosnx12cosnxn 1 n(0,2 )而 f(0 0)f(20)故由收敛定理得f(00)f(220)AcosO n,上光滑函数，f( 为f(x)的导函数f (x)的傅里叶系数.证明9设f (x)为3q证：因为f(x)为 ,上光滑函数，所以由系数公式得f(0,an6为f(X)的傅里叶系数，an ,bnnbn, bnnan (

22、n 1,2,L )且an，f (x)为,上的连续函数，故可积.1an 一 f (x)cos nxdx当n 1时，1f (x)cos nx|f(x)sin nxdx nbn1bn f (x)sin nxdx1f (x)sin nx|f (x)cos nxdx nan故结论成立.10a0若三角级数2(an cos nxn 1bnsin nx)中的系数Nb满足关系supnn3an , n3bnM为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.证：设Uo(x) 2 , Un(x) an cosnx bn sinnx , n 1,2, L则n 0 , un(x)在r上连续，且Uo (x) 0，

23、Un(x)n ansi nnx n bn cos nx 亦在 r 上连续又 x r un (x) n an sinnx n bn cosnxn a. n bn 2M2M而n2收敛,所以Un(X)nbn cosnxnan si nnx在r上一致收敛.故设s(x)a。2(ancos nx bns innx)n 1，则s (x)( nan cosnx nbn sinnx)Un(x)n 1n 1且 s(x) nnan cosnx nbn sinnx)在R上连续. 15. 2 以21为周期的函数的展开基本内容、以21为周期的函数的傅里叶级数x设f(x)是以2l为周期的函数，作替换F(t)是以2为周期的函

24、数，且f(x)在(1,1)上可积F(t)在(，)上可积.于是F(t)： a。an cos nt dsinntn 1其中1 an1F(t)cosntdt, bnF(t)sin ntdtF(t)左 f(x)sin ntsin ,cos ntn xcosl ,从而f(X)：号an cosn x ,. n xbn sinll其中f (x)cosn-Xdx,bn f (x)sin n xdxn I 1l上式就是以2I为周期的函数f(x)的傅里叶系数在按段光滑的条件下，亦有f(x 0) f(x 0) a0an cos Ibn sinX其只含余弦项，故称为余弦级数.同理，设f(x)是以2I为周期的奇函数，则

25、f (x)cos nx 奇， f (x)sin nx 偶于是an1 IIn xI f(x)cos i-dx 01 In x2 in xbnr 1f (x)sin1dxo f (x)sindx1f(x)：ao.n an sinxy从而2n 1I .、一 、其只含正弦项，故称为正弦级数.IIx由此可知，函数f(x),x (0,I)要展开为余弦级数必须作偶延拓.开为正弦级数必须作奇延拓.奇延拓f%x)f(x) x (0,1)f( x) x ( l,0)习题解答1求下列周期函数的傅里叶级数展开式(1) f(x) cosx(周期)；x ,解：函数f(x) cosx，l 因 2，所以由系数公式得 2延拓后

26、的函数如下图.y2 2 2 2cosx dxcosxdx由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数.当n 1时,an|cosx cos2nxdx02cosxcos2 nxdxcos(2 n 1)x cos(2n1)xd x(2n 1)si n(2n 1)x|：(2n 1)sin(2n 1)x|：(1)n 2(1)n ,i 1一xsin2n x|2n 14(2n1)(2n 1)(4nn0 n 1)2bn2 cosx sinnxdx 0牙f (x) cosx 故1)n1cos2nxx (，)为所求. f(x) x x(周期 1)；x解：函数 f(x) x

27、 x,1 122延拓后的函数如下图.由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数.1l 一因 2，所以由系数公式得aoX-2 1 -2X1 X dXO2 X dXO2i0xd(sin2n x)0sin2n xdx当n 1时，丄ian 21 x x cos2n xdx 2 0 x x cos2n xdx212 xcos2n xdx0bn12 21 x x sin2n xdx12 xsin2n xdx00xd(cos2 nX)1xcos2n x| 0cos2 n xd x0故 f(x)x x 2 si n2n n)为所求.f(x) si n4x(周期解:4 x函数 f (x) sin x，2延拓后

28、的函数如下图.3_23 x2由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数.2，所以由系数公式得a。2 sin4xd x 2 si n4xdx 20 021 cos2x ,d x1 cos2x2】cos4x dx 384 .当n 1时,an021 cos2x1cos4x cos2 nxdx1,nbncosxsinn xdx 0故f(x)311cos2xcos4 x/8 ，x (824 sin x)为所求.(4)f(x)sgn(cosx)(周期 2 ).)延拓后的函数如下图.解：函数 f(x) sgn(cosx) , x (32-ix: : 2由于f(x)

29、按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数.，所以由系数公式得ao2sgn(cosx)d x 0 sgn(cosx)d x 0bnn 1时,2 an2 02cosnxdx4sin(20 sgn(cosx)cos nxd x cos nxdx2k 41) (2 k 1)sgn(cosx)sin nxdx 04 . n sin - n 22k2k 1故 f(x)2n 1， x (sgn(cosx) ( 1)n cos(2nn 1f(x)2求函数123的傅里叶级数并讨论其收敛性.解：函数f(x),(0,3)延拓后的函数如下图.O 12345由于f(x)按段光滑，所以可

30、展开为傅里叶级数,又 f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数.32，所以由系数公式得ao30 f(x)dx1xdx032(3x)d1时,an1 2n xcos 0xdx31xd02n x sin1 sin2n30sin1 sin n4n33222n2ncos一32cos12312n x dx33 (32 x)cos 2n-dx3sin n2n丄n2n xdx332 2 cos2n23222n2n x32n2 232(3.2n x sin 31 4n sin nx)d31 2n sin n匸(32n xx)si n32n xsin dx332n2 24n cos一 31. 4nsin - n 3

31、2n x32n2 2曲 33 2n 32 C0S 22n3 n2bnf(x)si nn xdx 0f(x)31 12n22 2cosn 1 nn3232n x cos3, x (）为所求.3将函数2 x在0，上展开成余弦级数.解：函数f（x）2 x , x 0，作偶延拓后的函数如下图.由于f（x）按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f（x）是偶函数，故其展开式为余弦级数.由系数公式得aodx当n 1时,cos nxdxsin nxsin nxdx0 n 02 -cosnx n2k 12kf(X)-将函数f （x）2 cos(2n 1)x, x 0,n 1 (2 n 1)xcos2在0，上展开成

32、正弦级数.x解：函数f（x） cos2 , x 0，作偶延拓后的函数如下图.bn-sin1 COs1x 2_ 12cos121 n28n(4n2 1)故在o,上f(x)x cos2n- sin nxn 1 4n 1为所求.5把函数1x0x2x 3 2 x 4由于f（x）按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f（x）是奇函数，故其展开式为正弦级数.由系数公式得an 0, n 0,sin,2Lx cossin nxd x2在（0, 4）上展开成余弦级数.解：函数f（x）, x （0,4）延拓后的函数如下图.由于f（x）按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f（x）是偶函数,故其展开式为余弦级数.4，所

33、以由系数公式得ao40 f(x)d x20(1x)d x42(x3)d x当n 1时,anf(x)cosfxdx20(1x)cos42(x3)cosn-xd x42(1 nx)sin2sin0x dx2(x nn3)sin 蔦4sin2n x dx482f (x)所以n xcos42 2 cos2cosn1)n20162 2 n4k4k2cos(2n 1)2(2n1)2x为所求.解：函数f(x), x (0,1)延拓为以2为周期的函数如下图.y A.2 101234由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数.因I 4，所以由系数公式得a。i2 0f(

34、x)dx2 x 1)2dxo/(x1A 2 1) sin n x02当n 1 时，an 1(x 1)s inn xd x n 0 o(x 1)cosn xdx(x11)cos n x00cosnxd x1)2141所以(x22 cosnx, x 0,132 n 1 n2丄21n，即7求下列函数的傅里叶级数展开式 f (x) arcsin(sinx)；解：函数f(x)arcsin(sinx)是以2为周期的函数如下图.函数，故其展开式为正弦由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是级数.由系数公式得an 0, n 0,1,2,Lo arcsin(sinx)sin nxdx2 xsi

35、nnxdx 0(x)sin nxd x22xcos nx n02cosn xdxf (x) arcsin(sinx) 所以(1)n(2n 1)2sin(2 n1)x44n2cos nxdxsin -n0n20n2kk4(1)2 n2k1n(2) f (x) arcsin( cosx)由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数.由系数公式得a。arcsin(cosx)d x当n 1时,arcsin(cosx)cos nxdxx cos nxdxsin nx02sin nxdx n 00 n 2kn 2k 1bn0, n 1,2丄f (x) arcsin

36、(cosx) 所以1(2n 1)2cos(2 n1)x，x R .8试问如何把定义在0,2上的可积函数f(x)延拓到区间内，使他们的傅里叶级数为如下的形式a2n 1 cos(2 n 1)x(1) n1b2n tSin(2n 1)xn 1解：(1)先把f(x)延拓到,上，方法如下:f(x)0 x -2f(x)f(x)x2再把f(x)延拓到0,o2 f (x)cosnxdx上，方法如下：?(x)f(x)0 xf(2x)x 2其图象如下.I? y f(x)厂厂AO2為2 x7f(x)是偶函数，故其展开式为余弦由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又 级数.由系数公式得1 2 rf h f (

37、x)sin nxd x 0当n 1时，032a. o f (x)cos nxdxf (x)cos nxd x2f (x)cos nxcos(nnx)d xf (x)cos nxd xn 2k 1n 2kf (x) a2n icos(2n 1)x x0,所以 n 12(2)先把f(x)延拓到0,上，方法如下.f(x)0 x -2f(x)2f ( x) - x2 ；再把f(x)延拓到0,2 上，方法如下.?(x)珂x) 0 xf (2 x)x 2其图象如下.J2Ly y f(x)3t1f111x由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数.由系数公式得bn

38、1时,an2o f (x)cos nxdxo f (x)sin nxdx2 -2 f (x)sin nxdxf(x)sin nxdx-2 f (x)sin nxsin(nnx)d x:f(x)sin nxdx n 2k 1其中所以f(x)、贝塞尔b2n 1 si n(2n 1)x x 0,1 2(Bessel)不等式 15. 3收敛定理的证明定理1设f(x)在，上可积,anb为f(x)的傅里叶系数.推论推论定理Sn(x)基本内容2a。2an1b2f2(x)dx设f(x)在,上可积,lim f (x)cos nxdxn设f(x)在,上可积，则limnf (x)sin nxd x 0lim f (x)sinn 00lim f (x)sinnxd xxdx设以2为周期的函数f(x)在，上可积,ak coskx bksin kx1 + sin n t1 2 f(x t)1 dt2sin 2此称为f(x)的傅里叶级数的部分和的积分表达