频域稳定性判据

1、4.4 频域稳定性判据,4.4.1 奈氏判据(1),奈氏稳定判据 奈氏曲线逆时针包围(-1，jO)点的圈数N等于开环传递函数在右半s平面的极点数PR，则系统稳定。 如果开环系统稳定，即PR=0，则闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围(-1，j0)点，即N=0。如果N不等于0，则闭环系统不稳定。右半s平面不稳定闭环极点数ZR可由下式求出，即 ZR=PR-N 为简单起见，使用奈氏判据时，一般只画出频率从0变化到时的开环幅相频率特性曲线即可，这时奈氏判据表达式可改写为 ZR=PR-2N,4.4.1 奈氏判据(2),应用奈氏稳定判据注意事项 要仔细确定开环右极点的数目PR，特别注意，虚轴上的开环极点

2、要按左极点处理。 要仔细确定开环奈氏曲线围绕点(-l，j0)的圈数N。 当开环传递函数含有积分环节1/s(即含有落在原点的极点)时，其开环奈氏曲线不和实轴封闭，难于说明在零附近变化时的奈氏曲线的变化，以及它们是否包围了临界点(-1，j0)，如图中实线所示。为此，可以作辅助圆(如图中虚线所示)，这就很容易看出图中曲线是否包围临界点(-1，j0)。辅助圆的作法是以无穷大为半径，从G(j0)H(j0)端实轴起顺时针补画无穷大半径90圆弧至G(0+)H(0+)。,4.4.1 奈氏判据(3),“穿越”概念 确定开环奈氏曲线围绕点(-l，j0)的圈数N在频率特性曲线比较复杂时，不易清晰地看出，为此引出“穿

3、越”的概念。 “穿越”，即奈氏曲线G(j)H(j)穿过点(-1，jO)左边的实轴(-1，-)。若奈氏曲线由上而下穿过点(-1，j0)左边的实轴时，称“正穿越”(相角增大)，用N+表示；若奈氏曲线由下而上穿越时，称“负穿越”(相角减小)，用N-表示。穿过点(-l，j0)左边实轴一次，则穿越数为1，若奈氏曲线始于(图5，5a)或止于(图5 5b)点(-1，jO)以左的实轴(-1，-)上，则穿越数为l/2。 正穿越一次，对应着奈氏曲线G(j)H(j)绕点(-1，jO)转动+2角度；负穿越一次，对应着奈氏曲线G(j)H(j)绕点(-1，jO)转动-2角度。 据此，奈氏判据可改写成：当从0变化到时，若开

4、环幅相频率特性曲线G(j)H(j)，在点(-1，j0)以左实轴上的正穿越次数减去负穿越次数等于PR/2(N+-N-= PR/2)，则闭环稳定，否则不稳定。,开环奈氏图不和实轴封闭,例题4.4,四个单位负反馈系统的开环幅相频率特性如图ad所示。并已知各系统开环不稳定特征根的个数PR，试判别各闭环系统的稳定性。 解：图a、b两个系统的开环幅相特性曲线不包围(-1，j0)点，且又知两个系统的PR=0。故由奈氏判据判定(ZR =O)，图a、b系统的闭环稳定。 图c系统N=-1，PR=0，ZR=PR-2N=2，故由奈氏判据可判定(ZR0)，其闭环系统不稳定。 图d系统N=1，PR=2，ZR=PR-2N=

5、2-2=0，故由奈氏判据可知，闭环稳定。 由此例可见，系统开环稳定，但各部件以及受控对象的参数匹配不当，很可能保证不了闭环的稳定性；而开环不稳定，只要合理地选择控制装置，完全能调试出稳定的闻环系统。,例题4.4,若系统的开环传递函数为 ，试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。 解：画出开环系统幅相频率特性图，如图所示。 由图可知，N=-1。 而由G(s)H(s)表达式可知，PR=0。根据奈氏判据有 ZR=PR-2N=0-2(-1)=2 所以系统不稳定。,4.4.2 对数判据(1),概念 幅值穿越频率：对数幅频特性曲线L()和横轴相交的交点处的频率称为幅值穿越频率。 相位穿越频率：对数相频特性曲线

6、()和-180线交点处的频率称为相位穿越频率。,4.4.2 对数判据(2),对数稳定判据 对开环稳定的系统，在从0变化到+时，在L()0的区间，若相角()不穿越-180线，则系统稳定，如图所示，否则，系统不稳定。 对开环不稳定的系统(PR0)，在从0变化到+时，在L()0的区间，若相频特性曲线()在-180线上正负穿越次数之差为PR/2(N+-N-= PR/2)，则系统稳定，否则系统不稳定。,例题4.5,图a所描述的系统，开环不稳定(PR=2)，在L()0时，()曲线 N+-N-=1-2=-lPR/2，故知闭环不稳定。 图b所示系统，开环不稳定(PR=2)，在L()0时，()曲线 N+-N-=

7、2-1=l=PR/2，故知闭环稳定。 图c所示系统，开环稳定(PR=0)，在L(m)0的区间，()曲线 N+-N-=l-1=0=PR/2 ，故知闭环稳定。,4.4.3 稳定性裕量(1),在设计一个控制系统时，不仅要求系统是稳定的，而且要求系统距临界点有一定的稳定性储备，即具备适当的相对稳定性。 事实上线性系统的临界稳定是不存在的，非但如此，即使系统处于稳定区域的临界点附近，实际系统也可能是不稳定的，其原因在于： 建立数学模型时，忽略了次要因素。 列写元件运动方程时，采用了线性化的方法。 系统参数如质量、惯量、阻力、放大系数、时间常数、容积模数等难于精确获得。 若用实验方法建立数学模型，因仪器精

8、度、数据处理、实验方法等方面的原因造成的误差。 在控制系统工作中有些参数如液体容积模数、温度等发生了变化。 由此可见，使系统工作在距离临界稳定有一定程度的稳定储备是必要的，这样才能保证系统实际上的稳定性是可靠的。 从奈氏判据可知，当PR=0，开环奈氏曲线离临界点(-1，j0)越远，则闭环稳定性越好，稳定储备越大，反之越差。它通过开环奈氏曲线对临界点的靠近程度来表征，定量表示为相角储备和幅值储备。,4.4.3 稳定性裕量(2),相角储备 如图a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲线与单位圆的交点C与原点O的连线与负实轴的夹角称为相角储备。 相角储备表明在幅值穿越频率c上，使系统达到不稳定边缘所需的附

9、加相位滞后量。 =180+(c) 若0(图a、b)，则系统稳定；若0(图c、d)，则系统不稳定。 越小，稳定性越差，一般取=3060为宜。若过大，则系统灵敏度降低。,4.4.3 稳定性裕量(3),幅值储备Kg 如图a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值储备。 幅值储备表明在相角穿越频率g上，使系统达到不稳定边缘所需的附加幅值量,即 以分贝表示时， 若|G(j)H(j)|0dB，则系统稳定；否则Kg(dB)6dB，即Kg2。,4.4.3 稳定性裕量(4),采用稳定储备作为设计准则的注意事项 稳定储备在奈氏图上，是开环奈氏曲线G(j)H(j)对临界点(-l，j0)靠近

10、程度的度量，因此仅用相角储备或幅值储备皆不足以说明系统的相对稳定性，必须两者同时给出。 对开环稳定的系统而言，当G(j)H(j)曲线不包围临界点(-1，j0)，亦即其相角储备和幅值储备Kg(dB)为正值，系统稳定。 对开环不稳定的系统而言，只有当G(j)H(j)曲线包围临界点(-1，j0)时系统才有可能稳定，故这类系统，若闭环稳定，其幅值储备和相角储备可能为正值，也可能为负值，这要选取离(-1，j0)点最近的储备值。 对最小相位系统而言，其开环相角和幅值有一定的对应关系，要求相角储备=3060，即意味着在幅值穿越频率c处，对数幅值曲线L()的斜率应大于-40dB/dec，通常要求为-20dB/

11、dec，如果此处斜率为-40dB/dec，则即使系统能够稳定，相角储备也偏小。如果在c处的对数幅值曲线斜率降至-60dB/dec，系统就不稳定了。由此可见，一般I型系统稳定性好，型系统稳定性较差，型及其以上系统就难于稳定了。,4.4.3 稳定性裕量(5),影响系统稳定性的主要因素 系统开环增益（放大系数） 由奈氏判据或对数判据可知，降低系统开环增益，可增加系统的幅值储备和相角储备，从而提高系统的相对稳定性。这是提高相对稳定性的煨简便方法。 积分环节 由系统的相对稳定性要求可知，型系统(1个积分环节)的稳定性好，型系统稳定性较差，型以上系统就难于稳定。因此，开环系统含有积分环节的数目一般不能超过

12、2。 系统固有频率和阻尼比 在开环增益确定的条件下，系统固有频率越高、阻尼比越大，则系统稳定性储备便可能越大，系统的相对稳定性会越好。 延时环节和非最小相位环节 延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后，从而减小相角储备，降低稳定性，因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量最小，尽量避免非最小相位环节出现。,例题4.6,设控制系统的开环传递函数为 ，试求当k=10和k=100时的相角储备和幅值储备Kg(dB)，并判断系统的稳定性。 解：根据开环传递函数的特征方程可知，该系统开环稳定（PR=0），将开环传递函数化为标准环节组成形式，即 式中开环放大系数K=k/5 当k=10时，K=2；当k=100时，K=20。 作系统开环伯德图，当=1时， 若K=2时，则20lgK=20lg26dB；若K=20时，则20lgK=20lg2026dB，即系统开环放大系数K变化10倍，L()上移20dB。分别作K=2、20的系统开环伯德图，如下图所示。,