管理运筹学整数规划

1、第八章 整数规划,1 整数规划的图解法,例1. 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种仪器设备的生产，已知生产仪器设备 需要A、B两种材 料的消耗以及资 源的限制，如右 表。 问题：工厂应分 别生产多少件甲、乙种仪器设备才 能使工厂获利最多,解、 目标函数： Max z = x1 + x2 约束条件： s.t. 3 x1 + 2 x2 10 2 x2 5 x1，x2 0 为整数 不考虑整数约束得到最优解： x1 =1.667， x2 = 2.5；z = 4.167,考虑整数约束得到最优解： x1 = 2， x2 = 2； z = 4 整数规划的最优目标值小于相应 线性规划的最优目标值(相当于附加一个

2、约束,2整数规划的计算机求解,例2： Max z = 15x1 + 10 x2 + 7x3 s.t. 5x1 - 10 x2 + 7x3 8 6x1 + 4x2 + 8x3 12 -3x1 + 2x2 + 2x3 10 x1,x2,x3 0 为整数,例2： Max z = 15x1 + 10 x2 + 7x3 s.t. 5x1 - 10 x2 + 7x3 8 6x1 + 4x2 + 8x3 12 -3x1 + 2x2 + 2x3 10 x1,x2,x3 0 x3 为整数 x1 为0-1变量,用管理运筹学软件求解得： x1 = 0 x2 = 3 x3 = 0 z = 30,用管理运筹学软件求解得

3、： x1 = 1 x2 = 1.5 x3 = 0 z = 30,3整数规划的应用(1,一、投资场所的选择 例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j1，2，3，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定： 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。 Aj 各点的设备投资及每 年可获利润由于地点不同都是 不一样的，预测情况见右表所 示 (单位：万元)。但投资总额不

4、能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大,解：设：0-1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z =36x1+40 x2+50 x3+22x4+20 x5+30 x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100 x1+120 x2+150 x3+80 x4+70 x5+90 x6+80 x7+140 x8+160 x9+180 x10 720 x1 + x2 + x3 2 x4 + x5 1 x6 + x7 1 x8 + x9 + x10 2 xj 0 xj 为0-1变量，i = 1,2,3

5、,10,二、固定成本问题 例5高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机 器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如右 表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得 的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金 属板有500吨，劳动力有300人月，机器有100台月， 此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大,解：这是一个整数规划的问题。 设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。 各种容器的固定费用只有在生产该种容器

6、时才投入，为了说明固定费用的这种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi 0 时) 或0（当不生产第 i种容器即 xi = 0 时） 引入约束 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 500 2x1 + 3x2 + 4x3 300 x1 + 2x2 + 3x3 100 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj 0 yj 为0-1变量，i = 1,2,3

7、,3整数规划的应用(2,例6有四个工人，要分别指派他们完 成四项不同的工作，每人做各项工作所消 耗的时间如右表所示，问应如何指派工作， 才能使总的消耗时间为最少,解：引入01变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0（当不指派第 i人去完成第j项工作时) 这可以表示为一个0-1整数规划问题： Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44 s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项

8、工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4 * * * 求解可用管理运筹学软件中整数规划方法,3整数规划的应用(3,

9、三、指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题,四、分布系统设计 例7某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再 选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固 定成本分别为175千元、300千元、375千元、500千元，另 外， A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地 的销量以及产地到销地的单位

10、运价(每千箱运费)如右表所示。 a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小? b) 如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂,解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yi = 1(当Ai 被选中时)或0（当Ai 没被选中时) 这可以表示为一个整数规划问题： Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+ 8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10 x51 +4x52+2x53 其中前4项为固定投资额

11、，后面的项为运输费用。 s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制) b）增加约束：y2+y3=1 x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 =

12、 20 ( B3 销地的限制) xij 0 yi为0-1变量，i = 1,2,3,4,5；j = 1,2,3 * * * 求解可用管理运筹学软件中整数规划方法,3整数规划的应用(4,3整数规划的应用(5,五、投资问题 例8某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4万元，第二、三、四年不限； 项目B：第三年初需要投资，到第五年未能回收本利128，但规定最低投资金额为3万元，最高金额为5万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年未能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元

13、或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大,解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i 1，2，3，4，5)分别表示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额； 设yiA， yiB，是01变量，并规定取 1 时分别表示第 i 年给A、B投资，否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。 设yiC 是非负整数变量，并规定：2年投资C项目8万元时，取值为4； 2年投资C项目6万元时，取值为3； 2年投资C项目4万元时，取值为2； 2

14、年投资C项目2万元时，取值为1； 2年不投资C项目时， 取值为0； 这样我们建立如下的决策变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x3B C x2C (=20000y2C) D x1D x2D x3D x4D x5D,3整数规划的应用(6,2）约束条件： 第一年：年初有100000元，D项目在年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x1A+ x1D = 100000； 第二年：A次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.06x1D，于是x2A+x2C+x2D = 1.06x1D； 第三年：年初的资金为 1.15x1A+1.06x2D

15、，于是 x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D； 第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D； 第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D； 关于项目A的投资额规定: x1A 40000y1A ，x1A 200000y1A ，200000是足够大的数； 保证当 y1A = 0时， x1A = 0 ；当y1A = 1时，x1A 40000 。 关于项目B的投资额规定: x3B 30000y3B ，x3B 50000y3B ； 保证当 y3B

16、 = 0时， x3B = 0 ；当y3B = 1时，50000 x3B 30000 。 关于项目C的投资额规定: x2C = 20000y2C ，y2C = 0，1，2，3，4。 3）目标函数及模型： Max z = 1.15x4A+ 1.40 x2C+ 1.28x3B + 1.06x5D s.t. x1A+ x1D = 100000； x2A+x2C+x2D = 1.06x1D； x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D； x4A+x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D； x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D； x1A 40000y1A ， x1A 2000

17、00y1A ， x3B 30000y3B ， x3B 50000y3B ； x2C = 20000y2C ， yiA， yiB = 0 或 1，i = 1,2,3,4,5 y2C = 0，1，2，3，4 xiA ，xiB ，xiC ，xiD 0 ( i = 1、2、3、4、5,4整数规划的分枝定界法(1,问题（A） Min z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 记 问题（B）为去掉整数约束的问题（A） s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + +

18、 amn xn = bm x1 ，x2 ， ，xn 0 为整数 在分枝定界法过程中求解问题(B)，应有以下情况之一： (B)无可行解，则(A)亦无可行解，停止对此问题 的计算； (B)有最优解，并满足整数约束，即同时为(A)的最优解，那么z*同时是当前问题(A)最优目标值的上界 和下界。停止对这个问题的计算； (B)有最优解 x 及最优值 z 但不符合整数条件。这时得到当前问题(A)最优目标值的一个下界 z z ,于是通过以下判断可对此问题进一步计算。 分枝定界法的计算过程： 1、对原问题(A)，求解松弛问题(B)。根据上面分析，若出现情况，则停机。若情况发生，得到(A)问题最优值的一个下界。

19、我们任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函数值是(A)最优值的一个上界 z 。即得到 z z* z。(注：找(A)问题的可行解往往需要较大的计算量，这时可简单记 z+，而先不必费很大力量去求较好的上界。从以下分析可以看到，找到一个好的最优目标值上界，将对算法的快速求得目标非常有效。)，转2，进行以下一般步的迭代,4整数规划的分枝定界法(2,2、对当前问题进行分枝和定界： 分技：无妨设当前问题为(A)，其松弛问题(B)的最优解不符合整数约束，任取非整数的分量 xr 。构造两个附加约束： xr xr 和 xr xr+1 ，对(A)分别加入这两个约束，可得到两个子问题(A1)和(A2)，显然这

20、两个子问题的可行解集的并是(A)的可行解集； 定界：根据前面分析，对每个当前问题(A)可以通过求解松弛问题(B)，以及找(A)的可行解得到当前问题的上、下界 z和 z 。 对一般迭代步，设根据分枝定界方法得到了原问题(A)的一个同层子问题(AI )，i1，2，.，n 之和的分解。这里的同层子问题是指每个子问题(AI)都是(A)经过相同分枝次数得到的。 3、比较与剪枝： 对当前子问题进行考察，若不需再进行计算，则称之为剪枝。一般遇到下列情况就需剪枝： (B)无可行解； (B)的最优解符合整数约束； (B)的最优值 z z 。 通过比较，若子问题不剪枝则返回 2 。 分枝定界法当所有子问题都剪枝了

21、，即没有需要处理的子问题时，达到当前上界 z 的可行解即原问题的最优解， 算法结束,4整数规划的分枝定界法(3,分枝定界法是求整数规划的一种常用的有效的方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决混合整数规划的问题。 例： Min f = -5x1-4x2 s.t. 3x1+4x2 24 9x1+5x2 45 x1,x2 0 整数,4整数规划的分枝定界法(4,隐枚举法是求解01规划最常用的方法之一 对于 n 个决策变量的完全 01 规划，其可行点最多有 2n 个，当 n 较大时其计算量大得惊人。隐枚举法的基本思想是根据01规划的特点，进行分技逐步求解。 1、用于隐枚举法的01规划标准形式： 为了计

22、算的方便，需要把一般的 01规划问题等价地化成下列标准形式 Min f = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn cj 0 j = 1,2,n s.t. ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn bi i = 1,2,m x1 ，x2 ， ，xn = 0 或 1 下面说明一个完全的01规划问题可以化为等价的标准形式： (1)若目标函数求最大：Max z，可令 f = - z，变为求最小 Min f ； (2)若目标函数的系数有负值时，如 cj 0。那么，可以令相应的 yj = 1- xj ； (3)当某个约束不等式是“”时，只需两端同乘以 -1，即变为“” ； (4)当某

23、个约束是等式约束时，可得到两个方向相反的不等式,4整数规划的分枝定界法(5,隐枚举法的基本过程： 1、将01规划问题化为标准形式，设其最优解为 x*，最优目标值为 f* 。显然 x = 0 时，目标值 f 0 是不考虑线性不等式约束的最小解，于是 f* 0。若 x = 0 是可行解，那末 f 0是该问题的最优解，结束计算。否则，置所有分量为自由变量。转2； 2、任选一自由变量 xk ，令 xk 为固定变量，分别固定为 xk = 0 与 xk 1，令所有自由变量取零值，则得到两个分枝。对每个分枝的试探解进行检验（把自由变量逐次定为固定变量的顺序可以是任意的，在不进行先验考察时，常按指标变量从小到

24、大的顺序进行）。转3； 3、检验当前试探解时，遇到下列4种情况就剪枝，即不必再向下分枝，在剪枝的子问题下方标记“”： 情况一：若子问题的试探解可行，即满足所有线性不等式约束，则此问题的目标值是原问题最优目标值的一个上界记为 f 即 f* f 。把 f 的值记在子问题框的旁边，并在下方标记上“,4整数规划的分枝定界法(6,情况二：若试探解不可行，且存在一个线性不等式约束，将所有固定变量值代入后，所得到的不等式中所有负系数之和大于右端项或若无负系数时，最小的系数大于右端项，那么此问题的任何分枝都是不可行的问题。于是在此问题框的下方标记“”； 情况三：若试探解不可行，且它的目标值与目标函数中对应当前

25、自由变量的任一个系数之和大于所有已得到的上界中最小者时，说明在当前问题的基础上，固定任何自由变量都不可能对目标函数有改善，于是在该问题框的下方标记“”； 情况四：若试探解不可行，但所有变量已被置为固定变量，也应剪枝，于是在该问题框的下方标记“”。 把已标记“”的子问题，称为已探明的枝。转4。 4、进一步考察。如果所有的枝均为已探明的枝，则停机结束计算。找出所有子问题框边标记 f 值的问题，比较得到其中最小者，其对应的试探解即原问题的最优解，相应值即原问题的最优目标值 f*；若没有标记 f 值的框，则说明原问题无最优解，实际上原问题无可行解。 如果仍存在尚未探明的分枝，则可任选一个未探明的分枝。转2,4整数规划的分枝定界法(7,0-1规划的隐枚举法 例： Max z=100 x1