高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 向量在几何中的应用 新人教B版必修4

1、第二章,平面向量,学习目标,1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其他一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具. 3.培养运算、分析和解决实际问题的能力,2.4向量的应用 2.4.1向量在几何中的应用,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,1.向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等几何问题. (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题,知识链接,2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示

2、问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系,1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)ab. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：abab0,x1y2x2y10,预习导引,x1x2y1y20,3)求夹角问题，常常利用向量的夹角公式 cos . (4)求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式|a,2.向量在解析几何中的应用 设直线l的倾斜角为，斜率为k，A(x1，y1)l，P

3、(x，y)l，向量a(a1，a2)平行于l，由直线斜率和正切函数的定义，可得,平行,方向,法,1，k,k,1,B，A,A，B,例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F 分别是AB，BC的中点，求证：AFDE,要点一平面几何中的垂直问题,即AFDE,规律方法对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式,例2如图所示，四边形ABCD是正方 形，BEAC，ACCE，EC的延长线 交BA的延长线于F.求证：AFAE,证明如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(1,1)，B(0,1,要点二平面几何中的长

4、度问题,xy10,AFAE,规律方法向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a(x，y)，则|a,跟踪演练2如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长,A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,4,1,2,3,4,答案B,2.如图，在圆O中，若弦AB3，弦AC5，则 的值是(,1,2,3,4,A.8 B.1 C.1 D.8,1,2,3,4,1,2,3,4,答案D,3.正方形OABC的边长为1，点D

5、、E分别为AB，BC的中点，试求cosDOE的值,解以OA，OC所在直线为坐标轴建立直 角坐标系，如图所示，由题意知,1,2,3,4,1,2,3,4,证明建立如图所示的平面直角坐标系. 设A(0，b)，B(a,0)，C(a,0,1,2,3,4,4.在ABC中，ABAC，D为AB的中点，E为ACD的重心，F为ABC的外心，证明：EFCD,易知ABC的外心F在y轴上，可设为(0，y,1,2,3,4,1,2,3,4,1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明,课堂小结,2.在直线l：AxByC0(A2B20)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 (R且0)也是直线l的方向向量.所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线.同理，与直线l：AxByC0(A2B20)垂直的向量都叫直线l的法向量.一条直线的法向量也有无数多个.熟