12-4中点及中心对称类全等问题(1).讲义学生版

1、中点及中心对称类全等问题t雌 中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三 角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质； 会应用三角形全等的性质和判定解决 简单问题会利用全等三角形 的知识解释或证明 经过图形变换后得 到的图形与原图形 对应元素间的关系目归 例题精讲三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一 （底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合 ）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且

2、等于它的一半.中位线判定定理： 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式 ），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.【例 1 】 如图，AC / DE , BC / EF , AC =DE .求证： AF =BD .【巩固】如图所示：AB / CD , AB =CD .求证：AD / BC .【例2】 如图，已知AB =DC , AD=BC , O是BD中点，过O点的直线分别交 DA、BC的延长线于E ,F .求证：ZE ZF【例3】 如图

3、，AB , CD相交于点 O , OA =OB , E、F为CD上两点，AE II BF , CE =DF .求证：AC / BD .【巩固】如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , E为CD中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F .求 证：FC AD.F【例4】 已知：如图，梯形 ABCD中，AD / BC,点E是CD的中点, 点F .求证：iBCE也AFDE .BE的延长线与AD的延长线相交于【例5】 如图，在 UBC中，D是BC边的中点，F , E分别是AD及其延长线上的点，CF / BE .求证:：BDECDF .【例6】 已知ACB , B=. ACB , D , E分别是

4、AB及AC延长线上的一点，且BD二CE，连接DE交底BC 于G，求证GD =GE .A【例7】 如左下图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且 AC =CE , F为AE的中点.求证：BF _ FD .【例8】 如右下图，在JABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点, 证：FM EM .DM _ EF 于 M .求1【例9】 已知：lABC中，AM是中线.求证： AM ：:-(AB - AC). 2【例10】在厶ABC中，AB =5,AC =9，则BC边上的中线 AD的长的取值范围是什么?A【例11】如图，.ABC中，ABAC , AD是中线.求证：.DAC. DAB 【

5、例12】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线, 求证：AC=BE .E是AD上一点，延长 BE交AC于F , AF=EF ,【例13】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线,E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么?【例14】如图所示，已知 厶ABC中，AD平分.BAC，E、F分别在BD、AD 上. DE二CD，EF二AC .求 证：EF / AB【例15】 ABC中,AB AC , AD、AE分别是BC边上的中线和A的平分线，则AD和AE的大小关系是ADAE .（填 ”、或经”）AA【例16】已知AM为 ABC的中线，.AMB , . AMC的

6、平分线分别交AB于E、交AC于F .求证:BE CF EF .【巩固】在 Rt ABC中，/A =90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED _ FD .以 线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例17】如图所示，在 ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM 2 CNDM 2 DN 2，求证 2 1 2 2AD AB AC .【巩固】在 Rt ABC中，F是斜边 AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足.DFE =90 .若AD = 3 , BE =4，则线段DE的长度为 .【例18】如图所示，在AB

7、C中，AB =AC，延长AB到D，使BD =AB , E为AB的中点，连接CE、CD , 求证 CD =2EC .【例19】已知AABC中，AB =AC , BD为AB的延长线，且 BD =AB , CE为 ABC的AB边上的中线.求 证 CD =2CE； i也课后作业1. 如图，AC、BD 相交于 0 点，且 AC =BD , AB =CD，求证：OA =0D .C2. 如图所示： AF =CD , BC =EF , AB 二 DE , A=D .求证：BC / EF .3. 如图所示，在 ABC和 ABC中，AD、AD 分别是BC、BC 上的中线，且 A AB , AC二AC , AD=Ab :求证 4ABC 也 AABC :4.如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II