条件概率全概公式

1、第四节 条件概率 全概率公式,条件概率 乘法公式 事件的相互独立性,1、条件概率的定义,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率,若事件B已发生，则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间 , 于是有(1)式,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B,于是P(A|B)= 1/3,B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中,容易看到,例1 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种

2、动物，问它能活到25岁以上的概率是多少,解 设A表示“能活到20岁以上”， B表示“能活到25岁以上,则,由已知,从而所求的概率为,由条件概率的定义,即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2,而 P(AB)=P(BA,2、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3,若P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A,2)和(3)式都称为乘法公式,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,例2 在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率,解：设

3、表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，则,3、 事件的相互独立性,对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的问题中事件B发生的概率与事件A发生的条件下事件B发生的概率是相等的，即,相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从而,此时称A与B是相互独立的,我们也称A ，B，C 是相互独立的事件,对三个事件A，B，C，如果成立,定理 若事件A与B是相互独立的，则,例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上

4、着红色，故,同理可知,对以上三事件A、B、C，成立,对于多个随机事件，若 是相互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的概率为,但,所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们是两两独立的,例4 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率,解 以 表示事件“第i个人带有感冒病毒”（i=1,2,，1500），假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的，则所求概率为,从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理,它们

5、下方的数是它们各自正常工作的概率。 求电路正常工作的概率,例5 下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件,解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有,代入得,二 、全概率公式 贝叶斯公式,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用,1、全概率公式,在一些教材中，常将全概率公式叙述为,设 为随机试验的样本空间,是两两互斥的事件，且,全概率公式,例6 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三

6、人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率,则对任一事件B，有,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3，则B=A1B+A2B+A3B,求解如下,由全概率公式,为求P(Ai ), 设 Hi=飞机被第i人击中i=1,2,3,可求得,依题意,将数据代入计算得,于是,即飞机被击落的概率为0.458,例7 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大,解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、

7、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品,从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到,则由已知,该球取自哪号箱的可能性最大,实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率,或者问,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的,贝叶斯公式,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率,P(Ai)(i=1,2

8、,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计,例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起,1）从中任取一件，求此产品为正品的概率,2）现取到一件产品为正品，问它是由甲,发生可能性大小的认识,乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大,由已知,1）由全概率公式得,由贝叶斯公式得,由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小,例9 假定具有症状 中一个或数个的疾病为其中 S1=食欲不振 S2=胸痛 S3=呼吸急促 S4=发热 现从20000份患有疾病 的病历卡中统计得到下列数字,试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的可资依据的诊断手段情况下，