-用差分法和变分法解平面问题

1、1,26.01.2021,第五章 用差分法和变分法解,土木工程与力学学院 蒋一萱,2,26.01.2021,5.1 差分公式的推导 5.2 应力函数的差分解 5.3 应力函数差分解的实例 5.4 弹性体的形变势能和外力势能 5.5 位移变分方程 5.6 位移变分法 5.7 位移变分法的例题,主要内容,土木工程与力学学院 蒋一萱,3,26.01.2021,弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受力情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。因此，各种数值解法便具有重要的实际意义,工程中常用的数值解法： 有限差分法和有限单元法,土木工程与力学学院 蒋一萱,4,26.0

2、1.2021,有限单元法 是以有限个单元的集合体来代替连续弹性体，利用变分原理中的虚功方程建立相应的求解代数方程组。 这种近似方法属于物理上的近似,土木工程与力学学院 蒋一萱,5,26.01.2021,差分法是沿用已久的一种数值解法。随着计算机的普及和相应的软件发展，此法成为解弹性力学问题的一种有效的方法,差分法把基本方程和边界条件(微分方程)近似的改用差分方程(代数方程)来表示，把求解微分方程的问题改换为求解代数方程的问题,差分法的数学基础：泰勒公式 这种近似方法属于数学上的近似,土木工程与力学学院 蒋一萱,6,26.01.2021,图51,设： 为弹性体的某一连续函数,在平行与 轴的一根网

3、线上函数只随 坐标的变化而变化,在节点0 的近处将函数 展成泰勒级数,a,土木工程与力学学院 蒋一萱,7,26.01.2021,节点3的坐标 ，节点1的坐标 ，带入（a,假定网格间距 充分小，二次项以后的项可以忽略，（b），（c）可变为,把（d）和（e）看成关于 和 的二元一次方程组,a,土木工程与力学学院 蒋一萱,8,26.01.2021,把（d）和（e）看成关于 和 的二元一次方程组,同理可以得到 方向的上的差分公式,注（51）（54）是最基本的差分公式,土木工程与力学学院 蒋一萱,9,26.01.2021,55,土木工程与力学学院 蒋一萱,10,26.01.2021,四阶导数差分公式,课

4、 堂 练 习,土木工程与力学学院 蒋一萱,11,26.01.2021,讨论,1）差分公式是微分方程在数学上的近似,2）在推导（51）（54）时，略去了三次项及更高阶项,3）由于 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（51） 至（54）成为抛物线差分公式,4）要想求差分解，前提是要有微分方程,土木工程与力学学院 蒋一萱,12,26.01.2021,注意：用周围点的函数表示0点的偏导数，有规律可循,土木工程与力学学院 蒋一萱,13,26.01.2021,当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解之

5、,土木工程与力学学院 蒋一萱,14,26.01.2021,不计体力时，平面问题的应力分量可以用应力函数表示为,求解一个应力函数 ，使其满足相容方程,同时要满足用应力函数表示的应力边界条件,求出应力函数后，可以利用应力分量和应力函数之间的关系,求出相应的应力分量,故求解平面问题的基本过程为,土木工程与力学学院 蒋一萱,15,26.01.2021,1、应力分量（不计体力,一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力,图51,59,如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量,土木工程与力学学院 蒋一萱,16,26.01.2021,双调和方程,对于弹性

6、体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。 应力函数在域内应该满足上式,整理即得,2、差分方程（相容方程,相容方程的差分公式,图51,510,问题：边界上的点（边界附近的点）怎么办,土木工程与力学学院 蒋一萱,17,26.01.2021,联立求解这些线性代数方程，就能求得各内结点处的数值,为了求得边界上各结点处的值，须要应用应力边界条件，即,一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。但是，当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及边界上各结点处的值，并包含边界外一行的虚结点处的值,3、边界条件,在 上,代入上式，即得,b,a,土木工程与力学学院 蒋一萱,18

7、,26.01.2021,由图（52）可见,图5-2,因此，式（b）可以改写成,b,土木工程与力学学院 蒋一萱,19,26.01.2021,约去 dy、dx 得,c,关于边界上任一点处 、 的值，可将上式从基点 a 到 任意点b ，对 s 积分得到,d,土木工程与力学学院 蒋一萱,20,26.01.2021,由高等数学可知,将此式亦从 a 点到 b 点沿 s 进 行积分，就得到边界上任一点 b 处的 值。为此利用分部积分法，得,图5-2,土木工程与力学学院 蒋一萱,21,26.01.2021,c,将式(c),(d)代入，整理得,d,e,土木工程与力学学院 蒋一萱,22,26.01.2021,由前

8、知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得,由式(d)及式(c)可见，设 已知，则可根据面力分量求得边界s上任一点b的,e,土木工程与力学学院 蒋一萱,23,26.01.2021,于是式(d)，式(e) 简化为,讨论,1）（511）右边积分式表示ab之间， 方向的面力之和,2）（512）右边积分式表示ab之间， 方向的面力之和改号,3）（513）右边积分式表示ab之间， 面力对b的力矩之和,4）以上结果不能用于多连体的情况,土木工程与力学学院 蒋一萱,24,26.01.2021,至此，我们解决了怎样计算边界上各结点,

9、边界外一行的虚节点的 值,514,图51,土木工程与力学学院 蒋一萱,25,26.01.2021,用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行,2）应用公式（514），将边界外一行虚结点处的 值用边界内的相 应结点处的 值来表示,514,土木工程与力学学院 蒋一萱,26,26.01.2021,3）对边界内的各结点建立差分方程（510），联立求解这些结点处的 值,用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行（续,510,4）按照公式（514），算出边界外一行的各虚结点处的 值,514,土木工程与力学学院 蒋一萱,27,26.01.2021,5）按照公式（59）计算应力的分量,说明： 如果一部分边界是

10、曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（510）必须加以修正,用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行（续,59,土木工程与力学学院 蒋一萱,28,26.01.2021,曲线边界问题或边界不与坐标轴正交的问题,则边界点b附近的结点可以近似为,消去b点的二阶导数值，可以将结点9和结点1用结点0和结点b表示为,土木工程与力学学院 蒋一萱,29,26.01.2021,现以如图所示的混凝土深梁为例，应用应力函数的差分解求出应力分量。已知混凝土深梁上边受有均布向下的铅直荷载q，并由下角点处的反力维持平衡,土木工程与力学学院 蒋一萱,30,26.01.202

11、1,1）计算边界上各结点的 、 和 值。 取a为基点，且,由上面公式所得的计算结果见下表,土木工程与力学学院 蒋一萱,31,26.01.2021,2）计算边界外一行各虚结点处的值。上下两边,514,土木工程与力学学院 蒋一萱,32,26.01.2021,3）边界内各结点的差分方程,由式（5-10）可知,510,土木工程与力学学院 蒋一萱,33,26.01.2021,联立求解上式，可得（以qh2为单位,4）计算结点外一行各结点处的值。由前两式,5）计算应力。对于结点m,土木工程与力学学院 蒋一萱,34,26.01.2021,同理可得,沿着梁的中线ma，的变化如下图和右图所示,土木工程与力学学院

12、蒋一萱,35,26.01.2021,真实的位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法,基于能量原理的变分法为数值计算提供了理论基础。其中基于最小势能原理的里滋方法等可用于数值计算,土木工程与力学学院 蒋一萱,36,26.01.2021,泛函：以函数为自变量的一类函数,变分法：主要研究泛函及其极值的求解方法,弹性力学中所研究的泛函主要是弹性体的能量，例如 形变势能、外力势能等,弹性力学中的变分法又称作能量法,形变势能与弹性体的受力次序无关，也与受力的历史无关完全由

13、应力 和变形的最终大小确定保守场,土木工程与力学学院 蒋一萱,37,26.01.2021,设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为形变势能，储存在弹性体内，单元体内的全部形变势能密度为,或,整个弹性体内的形变势能,形变势能密度（单位体积中具有的形变势能,土木工程与力学学院 蒋一萱,38,26.01.2021,对应于平面问题，微元的应变能（应变比能,整个弹性体内的变形能,把物理方程代入微元的应变能，分别得到用应力应变表示方程,对 求导,515,弹

14、性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量,土木工程与力学学院 蒋一萱,39,26.01.2021,把几何方程代入，得到用位移分量表示的微元变形势能,位移分量表示的弹性体变形势能,516,土木工程与力学学院 蒋一萱,40,26.01.2021,讨论,1）变形势能是变形分量或位移分量的二次泛函，叠加原理不再适用,2）变形或位移发生时，变形势能总是正的,土木工程与力学学院 蒋一萱,41,26.01.2021,外力的功： 弹性体受面力和体力作用，在平面区域a内的体力分量 ， 边界上的面力分量为 ，则外力（体力和面力）在实际 位移上所做的功，用公式表示如下,在静态或准静态

15、时，外力的势能转化成外力的功，因此弹性体的外力势能,518,517,土木工程与力学学院 蒋一萱,42,26.01.2021,设有任一弹性体，在一定外力作用下处于平衡状态。命 为该弹性体中实际存在的位移分量，它们满足位移分量表示的平衡微分方程，并满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件,假想，位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即虚位移，或位移变分,对于三维时,注：变分和微分都是微量，运算方法相同,一、位移变分方程（拉格朗日变分方程,土木工程与力学学院 蒋一萱,43,26.01.2021,根据能量守恒定律，形变势能的增加等于外力势能的减少，也就等于 外力所做的功，即,由于位移的变分

16、引起的外力功的变分为,外力虚功,外力势能,土木工程与力学学院 蒋一萱,44,26.01.2021,给出弹性体的限制条件： （1）没有温度改变（热能没变）； （2）没有速度改变（动能没变,根据能量守恒，变形势能的增加等于外力势能的减少（外力的虚功,三维,上式：位移变分方程（拉格朗日变分方程） 表示： 在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分,土木工程与力学学院 蒋一萱,45,26.01.2021,二、推论-虚功方程,按照变分原理，变分运算与定积分的运算可以交换次序,利用（515,代入位移变分方程,524,土木工程与力学学院 蒋一萱,46,26.01.2021,对应

17、于二维情况,524,524）就是虚功方程，表示：如果在虚位移发生前，弹性体是处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功,注：可以利用虚功原理来推导有限元的一般方程,土木工程与力学学院 蒋一萱,47,26.01.2021,三、推论-极小势能原理,令在虚位移过程中，外力的大小和方向保持不变，只是作用点发生了改变,将变分与定积分交换次序，移项,令,极小势能原理： （523,在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值。对于稳定平衡状态，这个极值是极小值,土木工程与力学学院 蒋一萱,48,26.01.20

18、21,最小势能原理的意义,弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形。位移可以是各种各样的，但必须满足位移的边界条件。满足位移边界条件的位移称为容许位移，容许位移也有无穷多组，其中只有一组是真实的，真实位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程,土木工程与力学学院 蒋一萱,49,26.01.2021,位移变分方程、虚功方程和极小势能原理虽然表达式不一样，但是 可以代替平衡微分方程和应力边界条件。三者的本质是一样的，他 们都是弹性体从实际平衡状态发生虚位移时，能量守恒定理的具体应用,注：位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件,在无穷多组的容许位移中找到

19、这一组，就必须求解微分方程的边值问题，很可惜，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法,变分方法从能量角度分析，提供了解决问题的另一种思路，为数值计算奠定了理论基础,土木工程与力学学院 蒋一萱,50,26.01.2021,例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最小,最小势能原理的简单例子,再以最简单的轴向受压的杆件为例，总势能包括外力势能和弹性体的变形势能，这两个势能都以杆件顶部的位移为参数，随位移增大，弹性体的应变能增大，而外力势能减小，其变化曲线如图所示,其中c为杆的刚度,f,土木工程与力学学院 蒋一萱,51,26.

20、01.2021,外力势能随位移成直线下降，弹性体势能成抛物线上升，总势能为,开始，总势能呈下降趋势，到达某一位置，总势能为最小，过了这一点，弹性体的势能的增加超过了外力势能的减少，总势能又开始增加。在总势能最小点，弹性体在该外力作用下达到平衡。这时的位移是真实的位移,f,土木工程与力学学院 蒋一萱,52,26.01.2021,位移变分法： （1）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式； （2）使它们满足位移边界条件； （3）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程和应力边界条件）并求 出待定系数，就同样地能得出实际位移解答,1）位移分量表达式,525,其中： 和 是坐标的函数， 为2m个互不依

21、赖的待定系数,土木工程与力学学院 蒋一萱,53,26.01.2021,2）考察是否满足边界条件,令 等于给定约束位移值,在边界 上,令 等于零,边界条件满足,3）怎样满足变分方程（522）,土木工程与力学学院 蒋一萱,54,26.01.2021,注：位移分量的变分是由系数 的变分来实现的,a），（b）代入变分方程（522,土木工程与力学学院 蒋一萱,55,26.01.2021,移项，整理,变分 是任意的，互不依赖的，所以系数必须为零,526,注：1.用位移法求得位移分量后，可以利用弹性方程得到应力分量，利 用几何方程得到应变分量。 2.取不多的系数可以得到比较精确的位移分量，但是求出的应力分

22、量误差较大，需要取更多的系数才得到比较精确的应力解答,土木工程与力学学院 蒋一萱,56,26.01.2021,例1：如图（59）所示薄板，不计体力， 约束和外力如图,图：59,1）取位移分量表达式如下,2）考察是否满足边界条件？满足,516,3）由（526）求出待定常数，得到位移分量的解答,首先，由（516）求出形变势能,b,526,土木工程与力学学院 蒋一萱,57,26.01.2021,形变势能的表达式,进行积分,由于不计体力，项数为1，（526）简化为,c,代入边界条件积分,d），（e）式就变为,f,土木工程与力学学院 蒋一萱,58,26.01.2021,再把形变势能（c）代入上式,解得,g,位移分量的解答,h,4）由几何方程求出应变分量,5）由物理方程求出应力分量,土木工程与力学学院 蒋一萱,59,26.01.2021,例2,图510,问题描述：如图510，不计体力，自由边 给定位移,求：薄板位移,1）取位移分量表达式如下,i,土木工程与力学学院 蒋一萱,60,26.01.2021,2）考察是否满足边界条件,3）由（526）求出待定常数，得到位移分量的解答,满足,注：对称性也满足,由于不计体力，也没有面力，式（526）简化为,l,526,土木工程与力学学院 蒋一萱,61,26.01.2021,