高三数学一轮复习 第7篇 第7节 立体几何中的向量方法 理

1、第7节立体几何中的向量方法,编写意图 向量法是解决空间几何问题的一种常用解法,可将空间图形位置关系的判断证明问题转化为计算问题.体现了转化思想的应用.本节重点是利用空间向量解决平行垂直问题的证明及空间角(尤其是线面角、二面角)的计算问题,这部分内容是高考重点内容,为强化解题规范性特设置规范答题供学生参阅,考点突破,规范答题,夯基固本,夯基固本 抓主干 固双基,知识梳理,1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量.直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量,显然一条直线的方向向量有 个. (2)平面的法向量.如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面

2、,记作n,此时向量n叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有 个,且它们是 向量,无数,无数,共线,质疑探究:在求平面法向量时,所列方程组中有三个变量,但只有两个方程,如何处理? (提示:给其中某一变量恰当赋值,求出该方程组的一组非零解,即可以作为平面法向量的坐标,2)线面垂直 laa=ka1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行 v=va2=a3,b2=b3,c2=c3. (4)面面垂直 vv=0a2a3+b2b3+c2c3=0,3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解,基础自测,1.若直线l平面,直线l的方向向量为s、平面的法向量为n,则下列结论正确的是()

3、(A)s=(-1,0,2),n=(1,0,-1) (B)s=(-1,0,1),n=(1,2,-1) (C)s=(-1,1,1),n=(1,2,-1) (D)s=(-1,1,1),n=(-2,2,2) 解析:直线与平面平行,直线的方向向量和平面的法向量垂直,经检验只有选项C中sn=0,故选C,C,2.(2014平顶山一摸)若平面、的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则() (A) (B) (C)、相交但不垂直 (D)以上均不正确,C,解析:n1n20且n1与n2不共线,故平面、相交但不垂直,C,4.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1

4、),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于() (A)4(B)2(C)3(D)1,B,考点突破 剖典例 找规律,利用向量证明平行、垂直,考点一,反思归纳 (1)向量方法证明空间平行关系的基本途径是: 线线平行:直线与直线平行,只要证明它们的方向向量平行. 线面平行: a.用线面平行的判定定理,证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行; b.证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 面面平行:平面与平面的平行,除了用面面平行的判定定理转化为线面平行外,只要证明两平面的法向量平行即可,2)向量方法证明空间垂直关系的基本途径是: 线线垂直:直线与直线的垂直,只要证明两直线的方

5、向向量垂直. 线面垂直: a.用线面垂直的定义,证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直; b.用线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直; c.证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 面面垂直:平面与平面的垂直,除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外,只要证明两平面的法向量垂直即可,考点二 向量法求线线角、线面角,例2】 如图,四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,AB=BC=BD=4,E、F分别为棱BC,AD的中点. (1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值; (2)求EF与平面ACD所成角的正弦值,反思归纳 (1)向量法求异面直线所

6、成角时应注意 利用方向向量的夹角来求异面直线的夹角时,注意:当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,那么这个锐角或直角就是该异面直线所成的角 ;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,那么这个钝角的补角才是异面直线所成的角. (2)利用向量法求线面角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时); 通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线与平面所成的角,利用向量求二面角,考点三,例3】 (2014高考广东卷)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC=30,

7、AFPC于点F,FECD,交PD于点E. (1)证明:CF平面ADF; (2)求二面角D-AF-E的余弦值,反思归纳 利用向量法求二面角的方法: (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. (2)分别在二面角的两个面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小,1.利用向量解决立体几何问题,多利用直线的方向向量和平面的法向量,准确求出直线的方向向量和平面的法向量是解决问题的前提,但在具体解题过程中应灵活处理,助学微博,规范答题 得高分 有依据,向量法求空间角,典例】

8、 (12分)(2014高考陕西卷)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H. (1)证明:四边形EFGH是矩形; (2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值,满分展示】 (1)证明:由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC, BD=DC=2,AD=1.由题设,BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG, 平面EFGH平面ABC=EH, BCFG,BCEH,2分 FGEH. 同理EFAD,HGAD, EFHG, 四边形EFGH是平行四边形.3分 又ADDC,ADBD,AD平面BDC, ADBC, EFFG,5分 四边形EFGH是矩形.6分,答题模板】 利