插值法与最小二乘法

1、3.3 分段插值法,从上节可知,如果插值多项式的次数过高，可能产生 Runge现象，因此，在构造插值多项式时常采用分段 插值的方法,一、分段线性Lagrange插值,构造Lagrange线性插值,1. 分段线性插值的构造,显然,(1,(2,我们称由(1)(2)式构成的插值多项式 为 分段线性Lagrange插值多项式,内插,外插,外插,也称折线插值,如右图,曲线的光滑性较差,在节点处有尖点,但如果增加节点的数量,减小步长,会改善插值效果,因此,则,由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为,2. 分段线性插值的误差估计,其中,二、分段二次Lagrange插值,分段线性插值的光滑

2、性较差,且精度不高,因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值,构造Lagrange二次插值,1. 分段二次插值的构造,上式称为分段二次Lagrange插值,显然,插值区间,还是,一般,外插,内 插,外插,2. 分段二次插值的误差估计,由于,例,解,1). 分段线性Lagrange插值的公式为,同理,2). 分段二次Lagrange插值的公式为,三、分段低次插值的算法设计(略,分段低次Lagrange插值的特点,计算较容易,可以解决Runge现象,但插值多项式分段,插值曲线在节点处会出现尖点,插值多项式在节点处不可导,3.4 Newton插值法,我们知道,Lagrange插值多项式的插值基

3、函数为,形式上太复杂,计算量很大, 新增一个节点时, 每个基函数必须重新计算, 人们希望增加一个节点时, 前面的计算结果对于后来的计算仍有用. 为此, 下面介绍一种具有结果继承性的插值法- Newton插值法,考虑多项式组,显然线性无关,因此，可以作为插值基函数,有,再继续下去待定系数的形式将更复杂,为此引入差商和差分的概念,一、差商(均差,定义1,称,依此类推,称,差商具有如下性质(请同学们自证,称,2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变,如,用余项的 相等证明,差商的计算方法(表格法,规定函数值为零阶差商,差商表,如果用Matlab计算均差, 可用下面的主句: n=len

4、gth(x); d=f; %x, f为节点及函数值向量 for j=2:n for i=n:-1:j d(i)=(d(i)-d(i-1)/(x(i)-x(i-j+1); end end,二、差分,定义2,依此类推,可以证明,如,差分表,在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,依此类推,三、Newton基本插值公式,设插值多项式,满足插值条件,则待定系数为,因此可得,事实上,记,为k次多项式,则,由插值多项式的唯一性,Newton插值公式的余项为,一般地,当k阶差商接近一个常数时, k+1阶差商会接近于零,这时,取,Newton插值 估计误差的 重要公式,另外从误差式,得到,推广到一般情形, 有,位于这些节点之间,当节点等距时,位于这些节点之间,解 作差商表,1 0 2 2 2 3 6 4 1 5 20 7 1 0 6 90 70 21 5 1,例 已知下列函数表, 求 4次newton插值多项式,四、等距节点Newton插值公式,由差商与向前差分的关系,Newton插值基本公式为,如果假设,1.Newton向前(差分)插值公式,则插值公式,化为,其余项,化为,称,为Ne