数学分析第八章不定积分

1、第 八 章 不 定 积 分1 不定积分概念与基本积分公式 正如加法有其逆运算减法 , 乘法有其逆运算除法一样 , 微分法也有它的逆运 算积分法 .我们已经知道 , 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它 的导函数 , 那么与之相反的问题是 : 求一 个未 知函 数 , 使其导 函数 恰好是 某一 已 知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中 .例如 : 已知速 度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足 的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成 一元函数

2、积分学 .一 原函数与不定积分定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义 .若F( x ) =f ( x) , x I ,则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数 .- 1例如 , 13x3 是 x2 在 ( - , + ) 上的一个 原函数 , 因为 ( 13 1x3 )= x2 ; 又 如2 cos 2 x 与 -2 cos 2 x + 1 都是 sin 2 x 在 ( - , + ) 上的原函数 , 因为( - 1 cos 2 x )= ( - 1 cos 2 x + 1)= sin 2 x .22如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话 , 那么F( x ) =x

3、arctan x - 1 ln(1 + x2 )2是 f ( x) = arctan x 的一个原函数 , 就不那样明显了 .事实上 , 研究原 函数必须 解 决下面两个重要问题 :1 . 满足何种条件的函数必定存在原函数 ? 如果存在 , 是否唯一 ?2 . 若已知某个函数的原函数存在 , 又怎样把它求出来 ?关于第一个问题 , 我们用下面两 个定 理来回 答 ; 至于 第二 个问题 , 其 解答 则 是本章接着要介绍的各种积分方法 .178第八章 不 定 积 分定理 8 .1 若函数 f 在区间 I 上连续 , 则 f 在 I 上存在原函数 F , 即 F( x)= f ( x) , x

4、I .本定理要到第九章5 中才能获得证明 .由于初等函数为连续函数 , 因此每个初等函数都有原函数 ( 只是初等函数的 原函数不一定仍是初等函数 ) .当然 , 一个函数如果存在间断点 , 那么此函数在其 间断点所在的区间上就不一定存在原函数 ( 参见本节习题第 4 题 ) .定理 8 .2 设 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数 , 则( i)F + C 也是 f 在 I 上的原函数 , 其中 C 为任意常量函数 ; ( ii)f 在 I 上的任意两个原函数之间 , 只可能相差一个常数 . 证 ( i) 这是因为 F( x ) + C= F( x ) = f ( x ) , x I .(

5、 ii) 设 F 和 G 是 f 在 I 上的任意两个原函数 , 则有 F( x ) -G( x ) = F( x) - G( x)=f ( x ) -f ( x ) = 0 , x I .根据第六章拉格朗日中值定理的推论 , 知道F( x ) - G( x) C, x I . 定义 2 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的不定积分 , 记作f ( x ) d x ,( 1)其中称为积分号 , f ( x ) 为被积函数 , f ( x) d x 为被 积表达式 , x 为积 分变量 . 尽管记号 (1 ) 中各 个部 分都 有其 特定 的 名称 , 但 在使 用时 必

6、须 把它 们 看作 一 整 体 .由定义 2 可见 , 不定积分 与原 函数 是总 体 与个 体的 关系 , 即若 F 是 f 的 一 个原函数 , 则 f 的不定积分是一个函数族 F + C , 其中 C 是 任意常 数 .为方 便 起见 , 写作f ( x) d x = F( x ) + C .( 2)这时又称 C 为积分常数 , 它可取任一实数值 .于是又有f ( x) d x = F( x ) + C=f ( x ) ,( 3)df ( x ) d x = d F( x) + C =f ( x) d x .( 4)按照写法 (2 ) , 本节开头所举的几个例子可写作这里 既把 C 看

7、作常量 函数 , 又 把它作 为该 常量 函数 的 函数 值 .在 不 致混 淆 时 , 以 后 常 说“ C 为 任意常数”.不 久可看 到 , 被积 表达式 可认 同为 f 的原函 数 F 的微分 , 即 d F = F( x ) d x = f ( x ) d x .1 不定积分概念与基本积分公式179x2 d x = 13x3 + C,sin 2 x d x = - 1 cos 2 x + C,2arctan x d x =x arctan x - 1 ln( 1 + x2 ) + C .2此外 , 一个函数“ 存在不定积分”与“ 存在原函数”显然是等同的说法 .不定积分的几何意 义

8、若 F 是 f 的一 个原 函数 , 则称 y = F( x ) 的 图象 为 f 的 一条 积分 曲 线 .于 是 , f 的不 定积 分在 几何 上 表示 f 的某 一 积分曲线沿纵轴方 向任 意 平移 所得 一切 积分 曲 线组成的曲线族 ( 图 8 - 1 ) .显然 , 若在 每一 条积 分曲线上横坐标相同的点处作切线 , 则这些切线 互相平行 .在求原函数的具体问题中 , 往往先求出全体 原函数 , 然后 从 中 确 定一 个 满 足 条 件 F ( x0 ) =图 8 - 1y0 ( 称为初始条件 , 它由具体问题所规定 ) 的原函数 , 它就是积分曲线族中通过点 ( x0 ,

9、y0 ) 的那一条积分曲线 .例如 , 质点作匀加速直线运动时 , a( t ) = v( t) = a , 则v( t) =ad t = at + C .若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有v( t ) = a( t -t0 ) + v0 .又因 s( t) = v( t ) , 所以又有s( t) = a( t - t0 ) + v0 d t= 122 a( t - t0 )+ v0 t + C1 .若已知 s( t0 ) = s0 , 则 C1 = s0 - v0 t0 , 代入上式得到s( t) = 1 a( t -t0

10、)2 + v0 ( t -t0 ) + s0 .2二 基本积分表怎样求原函数 ? 读者很快就会发现 这要 比求 导数困 难得 多 .原因在 于原 函 数的定义不像导数定义那样具有构造性 , 即 它只 告诉 我们其 导数 恰好等 于某 个 已知函数 f , 而没有指出怎样由 f 求 出它 的原函 数的 具体 形式和 途径 .因 此 , 我180第八章 不 定 积 分们只能先按照微分法的已知结果去试探 .首先 , 我们把基本导数公式改写成基本积分公式 :1.2.0d x = C .1d x =d x =x + C .+ 13.xd x = x + 1+ C ( - 1 , x 0) .4.5. 1

11、 d x = ln | x | + C ( x 0) . xe x d x = ex + C .6.ax d x = a xln a+ C ( a 0 , a 1 ) .7.8.9.10 .11 .12 .cos ax d x = 1 sin ax + C ( a 0 ) .asin ax d x = - 1 cos ax + C ( a 0 ) .asec2 x d x = tan x + C .csc2 x d x = - cot x + C .sec x tan x d x = sec x + C .csc xcot x d x = - csc x + C .13 . d x1 -x2=

12、 arc sin x + C = - arccos x + C1 .14 . d x1 + x2= arctan x + C = - arccot x + C1 .上列基本积分公式 , 读者必须牢牢记住 , 因为其他函数的不定积分经运算变 形后 , 最后归为这些基本不定积分 .当然 , 仅有这些基本公式是不够用的 , 即使像 ln x , tan x , cot x , sec x , csc x , arcsin x , arctan x 这样一 些基 本初 等函数 , 现 在 还不知道怎样去求得它们的原函数 .所以我 们还 需要 从一些 求导 法则去 导出 相 应的不定积分法则 , 并逐步

13、扩充不定积分公式 .公 式 4 适 用于不 含坐 标原点 的任何 区间 , 读 者容 易验证( ln | x | + C)= 1 , x 0 .x1 不定积分概念与基本积分公式181最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则 :定理 8 .3 若函数 f 与 g 在 区 间 I 上 都存 在 原函 数 , k1 、k2 为 两 个任 意 常 数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且 k1 f ( x ) + k2 g( x) d x =k1 证 这是因为f ( x) d x + k2g( x ) d x .( 5)k1f ( x ) d x + k2g(

14、x) d x =k1f ( x ) d x + k2g( x) d x =k1 f ( x) + k2 g( x) . 线性法则 (5 ) 的一般形式为nn ki fi ( x )d x = kifi ( x) d x.( 6)i = 1i = 1 根据上述线性运算法则和基本积分公式 , 可求得一些简单函数的不定积分 .nn - 1例 1 p( x) = a0 x + a1 x+ an - 1 x + an .p ( x ) d x = a0xn + 1 + a1 xn + an - 1 x2 + ax + C .n + 1n2n4 例 2 x+ 1d x =( x2 - 1 + 2) d x

15、x2 + 1= 133 xx2 + 1-x + 2 arctan x + C .22=例 3d xcos2 x sin2 xcos x + sin x cos2 x sin2 x d x=( csc2 x + sec2 x ) d x = - cot x + tan x + C . 例 4 cos 3 x sin x d x = 1( sin 4 x - sin 2 x) d x2= 12 ( - 14 cos 4 x + 12 cos 2 x ) + C= - 1 8( cos 4 x - 2cos 2 x ) + C .例 5 ( 10 x - 10 - x ) 2 d x =(102 x

16、 + 10 - 2 x - 2 ) d x= (102 ) x + (10 - 2 ) x - 2 d x= 12 x2 ln10 ( 10- 10- 2 x) - 2 x + C .习 题1 . 验证下列等式 , 并与 ( 3) 、(4 )两式相比照 :182第八章 不 定 积 分 ( 1)f( x) d x = f ( x ) + C; ( 2)d f ( x) = f ( x) + C .2 . 求一曲线 y = f ( x ) , 使 得 在 曲 线 上 每 一 点 ( x , y ) 处 的 切 线 斜 率 为 2 x , 且 通 过 点(2 , 5) .23 . 验证 y = x

17、sgn x 是 | x | 在 ( - , + ) 上的一个原函数 .24 . 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数 ?5 . 求下列不定积分 : ( 1)(1 - x + x3 - 1) d x; (2 )( x - 1 )2 d x ;3x2x ( 3) d x 2 gx( g 为正常数 ) ;(4 )(2 x + 3 x )2 d x ;2 ( 5) 3d x;(6 ) xd x;4 - 4 x23(1 + x2 ) ( 7) ( 9)tan2 xd x ;(8 ) cos 2 xcos x - sin x d x ;(10)sin2 x d x ; cos 2 xco

18、s2 x sin2 x d x; ( 11)10 t 32 t d t ;(12)xxx d x ;1 - x + ( 13)1 + x1 - xd x ;(14)1 + x( cos x + sin x)2d x ; ( 15)cos x cos 2 xd x ;(16)( ex - e - x ) 3 d x .2 换元积分法与分部积分法一 换元积分法由复合函数求导法 , 可以导出换元积分法 .定理 8 .4 ( 换元积分法 ) 设 g( u ) 在 , 上有 定义 , u = ( x) 在 a , b 上 可导 , 且 ( x ) , x a , b , 并记f ( x ) = g( (

19、 x ) ) ( x ) , x a, b . ( i) 若 g( u) 在 , 上存在原函数 G( u ) , 则 f ( x ) 在 a , b 上 也存在原 函 数 F( x ) , F( x) = G( ( x) ) + C, 即f ( x) d x =g ( x) ) ( x) d x =g( u ) d u= G( u) + C =G( ( x) ) + C .( 1) ( ii) 又若 ( x ) 0 , x a , b , 则上述命题 ( i ) 可逆 , 即当 f ( x ) 在 a , b 上2 换元积分法与分部积分法183存在原函 数 F ( x ) 时 , g ( u

20、) 在 , 上 也 存 在 原 函 数 G ( u ) , 且 G ( u ) =F( - 1 ( u) ) + C, 即g( u) d u =g ( x) ) ( x) d x =f ( x ) d x= F( x) + C = F(- 1 ( u) ) + C .( 2) 证 ( i) 用复合函数求导法进行验证 : d d x G( x) ) =G( ( x ) ) ( x )= g( ( x ) ) ( x ) =f ( x) .所以 f ( x) 以 G( ( x) ) 为其原函数 , (1 ) 式成立 .( ii) 在 ( x ) 0 的条件下 , u = ( x ) 存在反函数 x

21、 = - 1 ( u ) , 且于是又能验证 (2 ) 式成立 :d xd u = 1( x )x =- 1.( u ) d- 1 1 1d u F( ( u) ) = F( x) ( x ) =f ( x ) ( x )= g( ( x ) ) ( x) 1( x)= g( ( x ) ) =g( u ) . 上述换元积分法中的公式 (1 ) 与 ( 2) 反映了正、逆两种换元方式 , 习惯上分别 称为第一换元积分法和第二换元积分法 ( 公式 ( 1) 与 ( 2) 分别 称为 第一换 元公 式 与第二换元公式 ) .下面的例 1 至例 5 采用第一换元 积分 法求 解 .在使用 公式 (

22、1 ) 时 , 也 可把 它 写成如下简便形式 :g( ( x ) ) ( x ) d x =g( ( x ) ) d( x) =G( ( x) ) + C .( 1) 例 1 求ta n x d x .解 由tan x d x =sin x d x = -cos x ( cos x)cos xd x ,可令 u = cos x , g ( u ) = 1u, 则得utan x d x = -1 d u = - ln | u | + C= - ln | cos x | + C .2 例求d x a2 + x2( a 0 ) .184第八章 不 定 积 分解 d xd x 1 axa2 + x2

23、 = a1 +2 ( 令 u =) xaa= 1a= 1 d u1 + u2 = x 1a arctan u + Ca arctan a + C .对换元积分法较熟练后 , 可以不写出换元变量 u , 而直接使用公式 (1) .例 3 求d xa2 -x2( a 0) .d x解 d x= 1 d x aa2a2 -x2=1 -x1 -a x2a= arcsin xa+ C .4例求d xx2 -a2( a 0 ) .解 d x1x2 -a2 = 2 a 1x -a - 1x + a d x= 1d( x -a)d( x + a)2 a x -a- x + a= 1 2 aln | x -a

24、| - ln | x + a |+ C= 1 2 a ln例 5 求sec x d x . x -ax + a+ C .解 解法一 利用例 4 的结果可得sec x d x =cos x d x =d( sin x)cos2 x1 - sin2 x= 11 + sin x 解法二 2 ln 1 - sin x+ C .sec x d x =sec x( sec x + tan x)sec x + tan xd x=d( sec x + tan x )sec x + tan x2 换元积分法与分部积分法185= ln | sec x + tan x | + C .这两种解法所得结果只是形式上的不

25、同 , 请读者将它们统一起来 .从以上几例看到 , 使用第一换 元积 分法的 关键 在于 把 被积 表达 式 f ( x) d x凑成 g( ( x ) ) ( x ) d x 的 形 式 , 以 便 选 取 变 换 u = ( x ) , 化 为 易 于 积 分 的g( u ) d u . 最终不要忘记把新引入的变量 ( u) 还原为起始变量 ( x) .第二换元公式 (2 ) 从形式上看是公 式 ( 1 ) 的逆 行 , 但目的 都是 为了化 为容 易 求得原函数的形式 ( 最终同样不要忘记 变量还 原 ) .以下例 6 至例 9 采用 第二 换 元积分法求解 .3例 6 求d u.u +

26、u解 为去掉被积函数中的根式 , 取根次数 2 与 3 的 最小公倍数 6 , 并 令 u =x6 , 则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分 :5d u 6 x2 13u +u=3x+ x32 d x = 6 ( x2-x + 1 -x + 1) d x= 6x 3- x 2+ x - ln | x + 1 |+ C366= 2u - 3u + 6u - 6ln |u + 1 | + C . 例 7 求 a2 -x2 d x ( a 0) .解 令 x = asin t , | t | 0) .解 令 x = asec t , 0 t 0) .解 令 x = a tan t , | t |

27、 0) ;( x + 1)3x2 + a25 ( 27)d x( a 0) ;( 28) xd x;( x2 + a2 )362/1 - x2 ( 29)xd x;( 30) x + 1 - 1d x .31 -xx + 1 + 12 . 应用分部积分法求下列不定积分: ( 1) ( 3) ( 5)arcsin xd x;( 2)x2 cos x d x;( 4)( ln x )2 d x;( 6)ln xd x ;ln x d x ; x3xarctan xd x; ( 7)ln( ln x) + 1 ln xd x;( 8)( arcsin x) 2 d x; ( 9)sec3 xd x;

28、( 10)x2 a2 d x ( a 0) .3 . 求下列不定积分 : ( 1) ( 3) f ( x ) f ( x)d x ( - 1) ; (2 ) f ( x ) f ( x) d x;1 + f ( x ) 2f ( x )f ( x) d x; (4 )ef ( x) d x .4 . 证明: ( 1) 若 In =tan n xd x , n = 2 , 3 , 则190第八章 不 定 积 分 In = 1n - 1 tann - 1x - In - 2 . ( 2) 若 I( m , n) =cos m xsin n x d x , 则当 m + n0 时 ,m - 1n+

29、1+I ( m , n) = cosxsinxm + n m - 1m + nI( m - 2 , n)m + 1n - 1+= - cosxsinxm + nn , m = 2 , 3 ,. 5 . 利用上题的递推公式计算 : n - 1m + n I( m , n - 2 ) , ( 1) ( 3)tan3 xd x ; (2)tan4 x d x;cos2 xsin4 x d x .6 . 导出下列不定积分对于正整数 n 的递推公式 : ( 1) In =xn ekx d x;(2) In =( ln x) n d x; ( 3) In =( arcsin x) n d x ;(4) I

30、n =ea x sin n x d x .7 . 利用上题所得递推公式计算 : ( 1) ( 3)x3 e2 x d x;(2)( ln x )3 d x;( arcsin x) 3 d x;(4)e x sin3 x d x .3 有理函数和可化为有理函数的不定积分至此我们已经学得了一些最基本的积分方法 .在此基础上 , 本节将讨论某些 特殊类型的不定积分 , 这些不定积分无论怎样复杂 , 原则上都可按一定的步骤把 它求出来 .一 有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数 , 其一般形式为nn - 1R( x) = P( x)0 x+ 1 x+ n m=,( 1)Q(

31、 x)0 x+ 1 xm - 1+ m其中 n , m 为非负整数 , 0 , 1 , , n 与0 , 1 , , m 都 是常数 , 且 0 0 , 0 0 .若 m n , 则称它为 真 分 式 ; 若 m n , 则 称 它为 假 分 式 .由 多项 式 的除 法 可 知 , 假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和 .由于多项式的不定积分是容 易求得的 , 因此只需研究真分式的不定积分 , 故设 (1 ) 为一有理真分式 .根据代数知识 , 有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和 ( 称为部分3 有理函数和可化为有理函数的不定积分191分式分解 ) .因而问题归结为求那些部分分式

32、的不定积分 .为此 , 先把怎样分解部 分分式的步骤简述如下 ( 可与后面的例 1 对照着做 ) :第一步 对分母 Q( x ) 在实系数内作标准分解 :22Q( x) = ( x -a1 )1( x -as ) s ( x+ p1 x + q1 ) 1( x+ pt x + qt ) t ,( 2)其中 0 = 1 , i , j ( i = 1 , 2 , s; j = 1 , 2 , t ) 均为自然数 , 而且st2i + 2 j =m ; pj - 4 qj 0 , j = 1 , 2 , t .i = 1j = 1 第二步 根据分母的各个因式分别 写出 与之 相应的 部分 分式 :

33、 对于 每个 形 如 ( x - a) k 的因式 , 它所对应的部分分式是 A1x -a + A2( x -a )2 + Ak( x -a) k ;对每个形如 ( x2 + px + q) k 的因式 , 它所对应的部分分式是 B1 x + C1x2 + px + q + B2 x + C2( x2 + px + q) 2 + Bk x + Ck( x2 + px + q) k .把所有部分分式加 起 来 , 使 之等 于 R ( x ) .( 至 此 , 部 分 分 式 中 的常 数 系 数 Ai , Bi , Ci 尚为待定的 .)第三步 确定待定系数 : 一般方法是将所有部分分式通分相加 , 所得分式的 分母即为原分母 Q( x) , 而其 分 子亦 应与 原分 子 P ( x ) 恒 等 .于是 , 按同 幂项 系 数必定相等 , 得到一