5-1-3含绝对值的一次方程.题库教师版

1、含绝对值的一次方程中考要求黑体小四板块考试要求A级要求B级要求C级要求方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列岀方程能运用方程解决有关问 题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的解一兀一次方程了解一元一次方程的有关概 念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算 对多项式进行变形，进一 步解决有关问题一兀一次方程 的解法理解一元一次方程解法中的 各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题黑体小四知识点睛黑体小四一、含绝对值的一次方程黑体小四1 .含绝对值

2、的一次方程(1) 形如ax b二c(a=O)型的绝对值方程的解法： 当c ：0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； 当c=0时，原方程变为 ax b =0，即ax 0，解得x二-；ac bc b 当c 0时，原方程变为ax b二c或ax -c，解得x或x =.aa(2) 形如ax b =cx d(a-O)型的绝对值方程的解法： 根据绝对值的非负性可知cx d -0，求出x的取值范围； 根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax cx d和ax-(cx - d)； 分别解方程ax cx d和ax -(cx d)； 将求得的解代入cx d -0检验，舍去不合条件的解.(3) 形如ax cx d

3、 (ac=0)型的绝对值方程的解法： 根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax cx d或ax-(cx - d)； 分别解方程ax cx d和ax-(cx d).(4) 形如x-ai|x -b =c(a :b)型的绝对值方程的解法： 根据绝对值的几何意义可知x-a x -b |a -b ； 当c ： a -b时，此时方程无解；当 c二a -b时，此时方程的解为 a 空b ；当c a-b时，分两 种情况：当x : a时，原方程的解为x =a bY ；当x b时，原方程的解为x= 心 .2 2(5) 形如ax b :|cx d二ex f(ac=0)型的绝对值方程的解法： 找绝对值零点：令 ax b

4、 =0，得x = Xi，令cx d =0得心他； 零点分段讨论：不妨设 Xi ： X2，将数轴分为三个区段，即 X ： Xi ；Xi _ X ： X2 ；x _ X2 ； 分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解.(6) 形如|ax+b| +cx+d| =ex +f (a式0)型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解.解法二：由外而内去绝对值符号： 根据绝对值的非负性可知 ex f _0,求出x的取值范围； 根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程ax b =

5、ex f -(cx - d)和ax b = -(ex f) _(cx d); 解中的两个绝对值方程.黑体小四例题精讲黑体小四一、含绝对值的一次方程黑体小四1 .含绝对值的一次方程楷体五号【例1】解方程：2x 3 =5【考点】含绝对值的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据绝对值的意义，原方程可化为2x 3=5或者2x-5，解得x =1或x二-4【答案】X =1或X - 4”、 x112 x1【例2】解万程1 =2 3【考点】含绝对值的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年，人大附中，期中练习题131313818【解析】原方程整理得：X亠1二一，即X亠1二一或者X亠

6、1 - 一，所以原方程的解为 X-或X -一55555【答案】x=8或X=-1855|2x 1|【例3】方程3=0的解为2【考点】含绝对值的一次方程【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】7十5x =或 x =22【例4】解方程 x _2005 -.-|2005 _x =2006【考点】含绝对值的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】略x =1002 或 3008【例5】2 2 2已知：当m ：n时，代数式（m -n +3）和m+n -5的值互为相反数，求关于 x的方程m1-x= n 的解.【考点】含绝对值的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】2因

7、为代数式 (m2 -n2 +3 j和m22 -5的值互为相反数，2 2 2 2 2 所以(m n +3 j + m +n 5=0,2所以(m2 _n2 +3 ) =0 , m2 + n2 _5 =0 ,m2 _n2 = -3m2 =1进而22，解得2，所以m=1,n=2 ,m +n =5=4因为 m,当 m =1 时，n =-2 ；当 m =-1 时，n =-2 ；当m-1, n-2时，方程为1-x_-2，该方程无解；当 m = 1 , n = 2 时，方程为 一1 X =-2，解得 x=1 或 x =3 .【答案】x =或x =3【例6】解方程4x=2x【考点】含绝对值的一次方程【难度】4星

8、【题型】解答【关键词】南昌市，中考题，零点分段讨论【解析】解法一：3令4x 3 =0得x，将数分成两段进行讨论：43 3 当x乞-3时，原方程可化简为：-4x-3=2x，9，x=2在x _的范围内，是方程的解.4 43 3 当x -3时，原方程可化简为：4x 2x 9 , x =3在x -空的范围内，是方程的解.4 4综上所述X = 2和x = 3是方程的解.解法二：9依据绝对值的非负性可知 2x 9 _0，即x 原绝对值方程可以转化为 4x 2x 9，解得2x =3，经检验符合题意. 4x 3 = _(2x 9)，解得x = _2，经检验符合题意.综合 可知x = _2 和x=3是方程的解.

9、【答案】x - _2或x =3【例7】解方程4x七=2x【考点】含绝对值的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】零点分段讨论【解析】略【答案】x =3或x - -2【例8】解方程x _52-5【考点】含绝对值的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由x -5 = -52x，得x5 = -52x或x 5二_(-52x)，所以x = 0或x = -10 .经检验知x = 0方程 左右两边不等，故舍去从而原方程的解为x - -10 .【答案】-10【例9】a为有理数，a = 2a -3，求a的值.【考点】含绝对值的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】解法一：要想求出a的

10、值，我们必须先化简 a =2a -3 采用零点分段讨论的方法.3令 a=0 , 2a-3=0 得 a = .233 当a -时，由原式可得a =2a -3，求得a =3，在a 的范围内；2233 当0 _a时，由原式可得a=3-2a，求得a =1，在0_a的范围内；22 当a ：0，由原式可得 -a =2a 3，求得a =3，不在a ： 0的范围内.综上可得a的值为3或1.解法二：a =2a -3或依题意，a的绝对值和2a-3的绝对值相等，可以得出两者相等或互为相反数，即 a = -(2a - 3)解得 a =3 或 a = 1.【答案】a =3或a =1【例10】解方程2x _1 = 3x

11、1【考点】含绝对值的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据两数的绝对值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以由原方程可以得到2x -1 =3x 1 或 2x -1 =-3x -1，解得 x =-2, x =0 .【答案】x = _2或x =0【例11】解方程x -1 x_3 =4【考点】含绝对值的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】零点分段讨论【解析】令x_1=0, x_3=0得x =1 , x=3，它们可以将数轴分成 3段： 当x 1时，原方程可化简为：-(x -1)-(x-3) =4 , x=0在x 1的范围内是原方程的解; 当 仁x：:3时，原方程可化简为：

12、x-1-(x-3)=4，此方程无解； 当x _3时，原方程可化简为：x-1，x-3=4 , x=4在x_3的范围内是原方程的解；综上所述，原方程的解为：x =0或x =4 .【答案】x =0或x =4【例12】解方程x -1 x_5 =：4【考点】含绝对值的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由绝对值的几何意义可知1x乞5 .【答案】1乞x乞5【例13】解方程x -2| jx 1=6【考点】含绝对值的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】零点分段讨论【解析】本题应当分为三种情况来讨论：x - 2 ： 05 当，即x ：-1时，原方程化为 -x27-1 =6，解得X - -5

13、;/ +1 02x-2 0x - 2 07 当，即x 2时，原方程化为 x -2亠x亠1 = 6，解得x =.Jx 1 .02【答案】 x=_5或x =-2 2【例14】解方程：2x1 _2 _x =3【考点】含绝对值的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】零点分段讨论1【解析】零点为：x =-，x =2，它们可将数轴分成三段：21 1 当x时，原方程变形为：(2x，1)-(2 -x) =3，x二6在x的范围内，是方程的解；2 21 41 当x ：2时，原方程变形为：(2x，1)-(2 -x) =3，x 在 x：2的范围内，是方程的解;2 32 当x 2时，原方程变形为：(2x 1)_(x

14、-2) =3，x = 0不在x 2的范围内，不是方程的解.4综上所述原方程的解为：x = _6或x二-.34【答案】x - 6或x = -3【例15】解方程：2x 一1 _x 3 =4【考点】含绝对值的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】零点分段讨论1【解析】零点为：x =丄，x二-3，可将数轴分成3段进行讨论：2 当x ：-3时，原方程可化简为：-(2x-1)，(x 34 , x=0不在x：-3的范围内，不是原方程的解；1 1 当 3乞x ：?时，原方程可化简为：-(2x-1)-(x 3)=4 , x = -2在-3乞x：?的范围内，是原方程的解；1 1 当x_ 时，原方程可化简为：2

15、x-1 -(x 34 , x=8在x_-的范围内，是原方程的解；2 2综上所得原方程的解为：x - -2或x = 8 .【答案】x=-2或x=8【例16】解方程：2x p |x-1 =4x-3【题型】解答【关键词】零点分类讨论3【解析】2x+3与x1的零点分别是x=-3和x=1 由 零点分段法”，可分以下几种情况讨论：313 若x ：-，则原方程可化为 -(2x - 3) - l-(x _1) | - 4x _3，解得x = -，故不合题意;2 523, 若x _1，则原方程可化为(2x 3) - l-(x _1)丨-4x 一3，解得x = 5 . 1，也不合题意；2 若x .1，则原方程可化

16、为(2x V) -(x_1) =4x3，解得x = 7 1，满足题意，故x=：73 3【答案】73【例17】解方程：方程x 3x =5【考点】含绝对值的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】第14届，希望杯”，竞赛题，零点分段讨论【解析】对x的值分4段讨论：g 若x -3，则原方程化为-x-3，3-x-x 5，解得x = 2，与x ：: -3矛盾；2g2 若-3 _x ：: 0 ,则原方程化为x，3,3x二- x 5，解得x =-；2gg2 若0二x ：:3，则原方程化为x 3 3 -xx 5，解得x二一；2gg 若x _3，则原方程化为x 3 3 x 5，解得x - -2，与x_3矛盾.

17、22综上所述方程的解为 x = _2 g【答案】_2g【例18】解绝对值方程:3x 521 =6【考点】含绝对值的一次方程 【难度】5星 【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】x -3x - 52-1 =6 或-6，即3x523x 5当 x7 0 时(即 x 7 ), 02当x+5 0时(x -5 ),若还有当x 5 0时(x -5 ),若还有再来检验这三个解 x = -g (舍去)、3x - 523x - 52x =15、3x523x52(即：0(即3x 5=x _ 7 化为=x _ 7，解得 x = -9 ；23x - 5=x 5，解得 x = 15 ；215 = -X _5，解得 x

18、 = _1 .2x -),35、x_ ),3【答案】x =15或x = _1【例19】解方程：|3x _5| +4 =8【考点】含绝对值的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】1 【解析】3x -5=8或七（舍），即3x5 =4，所以3x 一5 = 4或_4，即3x =9或3x =1，故x =3或x=.31【答案】x =3或X二丄3【例20】解方程:| 2x 1 1 = 2【考点】含绝对值的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】去掉外层绝对值可得：2x-1 -1二2，移项可得：2x-1 =3，或2x-1 = -1 （舍去）；由2x-1 =3可得2x -1二3，所以原方程的解为：

19、x = 2或x = -1 .【答案】x =2或x = -1【例21】解方程：卜2+1 =2x+1【考点】含绝对值的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】先将内层的绝对值符号去掉，再对外层的绝对值进行研究.2 当x ：2时，原方程可化为：3-x=2x1，进而可得：3-x =2x，1 , x 在x ： 2的范围内，3所以是原方程的解； 当x -2时，原方程可化为：x -1 =2x 1，进而可得：x -1 =2x 1 , x = -2不在x 一2的范围内,所以不是原方程的解；2综上可得原方程的解为 x二2 .32【答案】-3【例22】求方程x-3xM| =4的解.【题型】解答

20、【关键词】分类讨论思想【解析】解法一：1113x 1 -0, x =_丄;x 一 3x 1 =0 , x二-丄，一丄，这3个零点将数轴分成 4段，我们分段讨论研究3 243 5可以得到结果为：X二3或X，但其实这么做是没必要的我们来看看解法二24解法二：151 当时，方程可化为：4x1-_4 , X二-，在x 范围内，是方程的解；3 4315515 当x .一丄时，方程可化为 _2x_1 =4 :当_2x_1=4时，得x-一5 , - - - , x-一5不是解,32232舍去；当-2x -4时，得x, T31,3 X二一是方程的一个解2232综上可得，原方程的解为X = 3 或 X =524

21、【答案】x=3或24【例23】当0 x 0 , x -1 w 0 ,因此x =x, x -1 =1 - x，按从内到外的顺序逐个去除方 程中的绝对值符号，原方程可顺次化为：|1X1 1 =0,即卩1x = 0，所以x=1.【答案】1【例24】解方程：|x -1 -1 _1 _1 =0【考点】含绝对值的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】五羊杯”竞赛题【解析】从外到内逐渐去掉绝对值.| x -1 一1 一1 =1，所以| X -1 一1 一1 =1，所以有：x -1 一1 = 2或者x -1 T =0 ,进而可得：x -1 =3或者 |x-1 =1 ,当 x-1 =3 时有，x -1 二

22、3，即 x = 4 或者 x - -2 ;当 x -1 =1 时有，x -1 二 1，即 x = 0 或者 x =2 .【答案】x=2, 0, 2, 4黑体小四2 .含绝对值的一次方程楷体五号【例25】不解方程直接判断方程 2x -4 3 =0 :3x 2:x -3 =3 -x :x-2 - x =0无解的有（ ）A . 1个B . 2个C. 3个D . 4个【考点】含绝对值的一次方程【难度】3星【题型】选择【关键词】【解析】根据绝对值的非负性可知选B 【答案】B【例26】证明：方程 x|= x _2 x -3只有一个解.【考点】含绝对值的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【

23、答案】这一命题既是要证明：在数轴上，到原点和1的两个对应点距离之和，与到 2和3的两个对应点距离之和相等的点只有一个，显然，x=3是这样一个点，如图，对任何小于-的一个数，它在数轴上的2 23对应点位于点x =-的左侧，这时，它到原点的距离比到3的对应点的距离小，即 x ：x_3，同理3可得：x_1 .；：|x_2，所以x| |x-1 :： x-2 x-3，它不是方程的解，同样可以证明，任意大于一2 的数也不是这个方程的解，所以，方程只有一个解.1【例27】求关于x的方程x2 3=a的解.2【考点】含绝对值的一次方程【难度】6星【题型】解答【关键词】分类讨论思想1【解析】原方程化为 x-2 =

24、a+3，需根据a的取值范围进行分类讨论： 当a ：-3时，原方程无解；1 当a =时，方程可化为一2 = 0，解得x=4 ；11 当a -3时，方程化为 2a 3或x-2=-a-3，解得x=2a 10或x = 2a-2 .22【答案】当a ： -3时，原方程无解；当a - -3时，原方程的解为x =4 ;当a -3时，原方程的解为 x =2a 10或x =-2a -2 .【例28】解关于x的方程x -1 x a .【考点】含绝对值的一次方程【难度】6星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据绝对值的定义可知，若a , 0 ,则原方程无解；若a =0，则x_1 x 5 =0 ,此时必有x_

25、1 =0 ,且x5=0，显然不可能，此时也无解；若a 0，则分别令x_1=0, x5=0可得，x=1，x=-5，根据绝对值的几何意义可知当 x 1或x：-5时，x_1x5 6 ;当-5空x空1时，x1x5=6，a 4故0：a；：6时方程无解；a=6时，方程的解为：-5乞x乞1 ； a 6时，方程有两根x二2a 4X=a 4 综上，a 6时，原方程无解；a =6时，方程的解为：-5乞x1 ； a 6时，方程有两根2x=a 4、x=a 4 如果学生的能力比较强，可直接根据绝对值的几何意义来分类讨论，分成2 2a ：6、a = 6、a 6 来讨论.【答案】当a ：6时，原方程无解；当a =6时，方程

26、的解为：乃乞x叮；当a 6时，方程有两根x-a 4、x =-.2 2【例29】解方程|x+3 2 =k【考点】含绝对值的一次方程【难度】6星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】当k ：0时，原方程无解； 当k =0时，原方程有两解 x = -1或x = -5 ； 当0 :：:k ：2时，原方程化为 x 3 =k，此时原方程有四解：x = -3_(2_k)； 当k =2时，原方程化为 x=2_2，此时原方程有三解：x=1或x=7或x=-3 ； 当k 2时，原方程有两解 x = -3_(k，2).【答案】当k 0时，原方程无解；当k =0时，原方程有两解x - -1或x - -5 ；当0 :

27、k 2时，原方程有四解：x =-3_(2 一k)；当k =2时，原方程有三解：x =1或x = -7或x = -3 ；当k 2时，原方程有两解 x=3_(k，2).【例30】求| x _2 _1 _a =0(0 ca c1)的所有解的和.【考点】含绝对值的一次方程【难度】6星【题型】解答【关键词】【解析】x 2 =1 _a(0 :a ：1), x 2 = (1 _a), x = 2 _(1 _a)，得 x2 (1 a) , x? =2 (1 a),X3 =2 -(1 a) , & =2 -(1 a).故为 x? X3 X4 =8 .【答案】8、含绝对值的一次方程【例31】若关于x的方程2x3 m =0无解，3x-4 n=0只有一个解，4x5 k =0有两个解，则m , n , k的大小关系为（）A . m .n .kB. n .k . mC. k . m .nD. m . k .n【考