结构可靠度例题

1、 例题一 某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为均值 R= 2.34103kNm S= 1.16103kNm 方差 R= 0.281103kNm S= 0.255103kNm现假设R,S均服从正态分布,试求其可靠指标和对应的失效概率。解: 将已知数据代入 = R-SR2+S2=2.34103-1.16103(0.281103)2+(0.255103)2=3.109查标准正态分布表 (3.109)=0.99905，Pf=(-)=1-()=1-(3.109)=1-0.99905=0.00095。例题二 某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩

2、)的统计参数为均值 R= 2.34103kNm S= 1.16103kNm 方差 R= 0.281103kNm S= 0.255103kNm现假设R,S均服从对数正态分布,试求其可靠指标和对应的失效概率Pf。解： lnR-lnSR2+S2 R=RR=0.2812.34=0.12 S=SS=0.2551.16=0.22 lnR-lnSR2+S2= ln(2.34103)-ln(1.16103)0.122+0.222=2.80 Pf=(-)=1-()=1-(2.80)=1-0.99740=0.0026。例一和例二表明：随即变量分布类型，对失效概率或结构可靠指标计算是有影响的。分析结果表明：Pf10

3、-3(3.09)时，Fz(z)的分布类型对Pf的影响不敏感，即Z假设什么样的分布,计算出的Pf都在同一数量级上，其精度足够了。Pf大时，Z可以不考虑其实际分布形式，采用合理又方便的分布形式来计算Pf。这样计算简便，得到工程上接受的结果。但Pf10-5(4.26)时Fz(z)的分布类型对Pf的影响十分敏感，计算Pf时必须考虑起分布,否则得到误差大或得到错误结果。例题三 若钢梁承受的确定性弯矩M=210 kNm，钢梁的抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量，已知其分布类型和统计参数为抵抗矩W：正态分布，W= 692cm3 ，W=0.02屈服强度f：正态分布，f=390MPa ，f=0.07用中心点法和验

4、算点法计算该钢梁的可靠指标及f和W的验算点之值f和W。 解：1 中心点法(1) 采用抗力作为功能函数Z=fW-M= fW-210 kNm Z=fW-M=fW-210=59.88 kNmZ=(f W)2+(W f)2=f 2W 2(W2+f2) =(390)2(0.022+0.072) =19.65106 Nmm=ZZ=3.047(2) 采用应力作为功能函数Z=f-MWZf-MW=86.5MPaZ=(f)2+(MW2W)2=(ff)2+(MWW)2 =(3900.07)2+(2101030.02)2 =27.97MPa=ZZ=3.0932 验算点法验算点法计算步骤:(1) 列出极限状态方程g(X

5、1，X2，Xn)=0,并给出所有基本变量Xi的分布类型和统计参数xi和xi；(2) 假定Xi和的初始值，一般取Xi的初始值为Xi的均值xi，相当于初始值为0；(3)求极限状态方程对各基本变量Xi的偏导数，并用Xi的值代入，得到方向余弦 cosXi=-gxipxi1n(gxipxi)2 (4)按公式g(Xi+XicosXi)=0 求解；(5)计算新的Xi值 Xi=Xi+XicosXi重复第3步到第5步计算，直到前后两次计算的在容许误差范围内(0.001)。按抗力列功能函数极限状态方程 Z=g(f,W)= fW-210106(Nmm)f=ff=3900.07=27.30MPaw=ww=6920.0

6、2=13.84MPa由 g(X1，X2，Xn)=0 (P验算点处坐标) Xi=i+XiXi=i+XicosXi -gfpf=-W27.30，-gwpw=-f13.84，cosf=-gfpf(gfpf)2+(gwpw)2=-27.3W(27.3W)2+(13.84f)2 (a)cosw=-gwpw(gfpf)2+(gwpw)2=-13.84f(27.3W)2+(13.84f)2 (b)f=f+fcosf=390+27.3cosf (c)W=w+wcosw=692+13.84cosw (d)由 Z=g(f, W)= fW-(Nm) 将(c) ，(d)代入简化后得：2cosfcosw+(50cosf

7、+ 14.29cosw)+158.4=0 (e)现用迭代法求解 第一次迭代： 取 f=f=390(MPa)，W=w=692(cm3) 求cosf，coswcosf=-27.3W(27.3W)2+(-13.84f)2=-27.3692(27.3692)2+(13.84390)2=-0.9615cosw=-27.3f(27.3W)2+(13.84f)2=-13.84390(27.3692)2+(13.84390)2=-0.2747验算 cos2f+cos2w=1 cosf，cosw代入 (e)得0.26422-51.97+158.4=0 解得=3.095第二次迭代： f=f+fcosf=390+2

8、7.33.095(-0.9615)=309 W=w+wcosw=692+13.843.095(-0.2747)=680 cosf=-27.3W(27.3W)2+(13.84f)2=-27.3680(27.3680)2+(13.84309)2=-0.9745cosw=-27.3f(27.3W)2+(13.84f)2=-13.84309(27.3680)2+(13.84309)2=-0.2245验算 cos2f+cos2w=1代入(e)得21882+51.9+158.4=0 解得=3.092，与第一次相差0.0030.01。第三次迭代： f=308(MPa)，W=682(cm3) cosf=-09

9、748，cosw=-0.2232 =3.092 与第二次迭代相同，其实第二次结果已满足工程精度。 故求得=3.092，f=308(MPa)，W=682(cm3)查表得失效概率Pf=1-(3.092)=1-0.9993=0.0007。讨论：(1) 中心点法由于采用不同的功能函数计算结果不一致,但两种功能函数是完全等价的；(3) 极限状态方程是非线性的 例题四 承受恒载作用的薄壁型钢梁，极限状态方程为Z=g(f，W，M)=fW-M=0，其中fW、M都按随机变量考虑,已知他们的分布类型和统计参数： 弯 矩M： 正态分布， M=13kNm， M=0.91 kNm； 抵抗矩W： 正态分布， W=54.7

10、2cm3，w=2.74 cm3； 钢材强度f ：正态分布， f=380MPa，f=30.4 MPa。 试求该梁的可靠指标及相应的失效概率Pf。解：三个正态变量的非线性方程。 -gfpf=30.4WMPa -gwpw=-2.74fcm3 -gMpM=910(kNmm)cosf=-30.4W(30.4W)2+(2.74f)2+9102cosW=-2.74f(30.4W)2+(2.74f)2+9102cosM=910(30.4W)2+(2.74f)2+9102 f=f+fcosf=380+30.4cosf (MPa) W=w+wcosw=54.72+2.74cosw (cm3) M=M+McosM=

11、13000+910cosM (kNmm)代入极限状态方程： f W- M=0 化简后得83.32cosfcosw+(1041 cosw+1664 cosf-910 cosM)+7793.6=0假定 f、 W的初值为 f=380， W=54.72 求得30.812-2163.3+7793.6=0解得 =3.81 f=290.9 W=49.69 M=14459重复 第二次迭代： f=290.9 W=49.69 M=14459 cosf=-0.781 cosw=-0.412 cosM=0.4702 26.812-2156+7793.6=0解得 =3.79第三次迭代： f=289.2 W=50.44

12、M=14622解得 =3.80 (可认为已收敛)失效概率Pf=1-(3.80)=7.23510-5。比较中心点法计算结果差异： Z=fW-M=38054.72-13000=7793.6 (kNmm) z=(wf)2+(fw)2+M2 =(54.7230.4)2+(3802.74)2+9102=2163.2 =Zz=7793.62163.2=3.60， Pf=1-(3.60)=1.59110-5。 中验=3.603.80=0.947， 相差10左右。例题五 若钢梁承受的确定性弯矩M=210 kNm，钢梁的抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量，已知其分布类型和统计参数为抵抗矩W：正态分布，W= 692

13、cm3 ，W=0.02屈服强度f：对数正态分布，f=390MPa ，f=0.07计算该钢梁的可靠指标及f和W的验算点之值f和W。解： 功能函数为 Z=g(f，W，M)=fW-M= fW-210106=0 (Nmm) f为对数正态变量，需要在验算点P( f，W)处转换为当量正态变量， f,= f(1-ln f+lnf1+f2)= f(6.9637- ln f) f,= fln(1+f2)=0.07 fcosf=-Wf,(Wf,)2+(fw)2cosW=-ff,(Wf,)2+(fw)2 f=f+f,cosf=f,+f,cosf W=W+WcosW=692+13.84cosW代入方程 f W-M=0

14、 化简得 f,2 cosf cosW+(50f,cosf+f, cosW)+50f,-15173=0采用迭代法计算 f=f， W= W， 相当=0 计算如下表迭代次数Xi0XiXi,Xi,cosXi1fW039069227.313.84389692-0.9615-0.27473.0502fW3.05308.968021.6313.84380.1692-0.9625-0.27963.4020.3523fW3.402309.467721.6613.84380.2692-0.9599-0.28033.4060.004失效概率Pf=1-(3.406)=3.310-4。 用中心点法(假设Z为正态分布)

15、计算得=3.047。 第四节 桥梁结构可靠度设计初步 可靠性设计就是已知确定的设计(目标)可靠指标，求出抗力R，然后进行截面设计。 若抗力R和荷载效应S为正态分布，已知荷载效应S的统计参数s和s，以及抗力的变异系数R R- S=R2+S2=(RR)2+(SS)2 当给定可靠指0时，可求得R，进而进行截面设计。对于受弯构件 截面抗力R=fW， 其均值 R= f W，当已知材料的强度 f时，即可求出截面的抵抗矩均值W。极限方程为非线性，或设计变量含有非正态变量，求R的过程就是求可靠指标的逆运算。其中包含求验算点坐标P及当量正态化的双重迭代计算，计算非常复杂，需要利用计算程序完成。例题六 钢桁架下弦杆承受的拉力N服从正态分布，N=320kN，N=0.22，