2020届山东高三理科数学一轮复习课件第八章§82直线平面平行的判定和性质

1、高考数学,山东专用,8.2,直线、平面平行的判定和性质,A,组,山东省卷、课标卷题组,考点,平行的判定和性质,五年高考,1,2019,课标全国理,18,12,分,如图,直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的底面是菱形,AA,1,4,AB,2,BAD,60,E,M,N,分别是,BC,BB,1,A,1,D,的中点,1,证明,MN,平面,C,1,DE,2,求二面角,A,MA,1,N,的正弦值,解析,本题主要考查线面平行的判定定理,线面垂直的性质定理,二面角求解等知识点,旨在考,查学生的空间想象能力,以直四棱柱为模型考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养,1,连接,B,1,C,ME

2、,因为,M,E,分别为,BB,1,BC,的中点,所以,ME,B,1,C,且,ME,B,1,C,又因为,N,为,A,1,D,的中,点,所以,ND,A,1,D,由题设知,A,1,B,1,DC,可得,B,1,C,A,1,D,故,ME,ND,因此四边形,MNDE,为平行四,边形,MN,ED,又,MN,平面,EDC,1,所以,MN,平面,C,1,DE,2,由已知可得,DE,DA,以,D,为坐标原点,的方向为,x,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐,标系,D,xyz,则,A,2,0,0,A,1,2,0,4,M,1,2,N,1,0,2,(0,0,-4,(-1,2,(-1,0,-2,(0,1,2,1,2,DA

3、,3,1,A,A,1,A,M,3,1,A,N,MN,3,0,设,m,x,y,z,为平面,A,1,MA,的法向量,则,所以,可取,m,1,0,设,n,p,q,r,为平面,A,1,MN,的法向量,则,所以,可取,n,(2,0,-1,于是,cos,m,n,所以二面角,A,MA,1,N,的正弦值为,1,1,A,0,A,0,m,M,m,A,3,2,0,4,0,x,y,z,z,3,1,MN,0,A,0,n,n,N,3,0,2,0,q,p,r,m,n,m,n,2,3,2,5,15,5,10,5,思路分析,1,要证明线面平行,可先证线线平行,通过作辅助线及题设条件可得,MN,ED,从而,可得,MN,与平面,C

4、,1,DE,平行,2,建立空间直角坐标系,找到相关点的坐标,求出平面,A,1,MA,与平面,A,1,MN,的法向量,再由向量的,夹角公式求解,解题关键,建立空间直角坐标系后,写出各点坐标,正确求解平面的法向量是解决本题的关键,2,2017,山东文,18,12,分,由四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,截去三棱锥,C,1,B,1,CD,1,后得到的几何体如图所,示,四边形,ABCD,为正方形,O,为,AC,与,BD,的交点,E,为,AD,的中点,A,1,E,平面,ABCD,1,证明,A,1,O,平面,B,1,CD,1,2,设,M,是,OD,的中点,证明,平面,A,1,EM,平面,B

5、,1,CD,1,证明,本题考查线面平行与面面垂直,1,取,B,1,D,1,的中点,O,1,连接,CO,1,A,1,O,1,由于,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是四棱柱,四边形,ABCD,为正方形,O,为,AC,与,BD,的交点,所以,A,1,O,1,OC,A,1,O,1,OC,因此四边形,A,1,OCO,1,为平行四边形,所以,A,1,O,O,1,C,又,O,1,C,平面,B,1,CD,1,A,1,O,平面,B,1,CD,1,所以,A,1,O,平面,B,1,CD,1,2,因为,AC,BD,E,M,分别为,AD,和,OD,的中点,所以,EM,BD,又,A,1,E,平面,ABCD,BD

6、,平面,ABCD,所以,A,1,E,BD,因为,B,1,D,1,BD,所以,EM,B,1,D,1,A,1,E,B,1,D,1,又,A,1,E,EM,平面,A,1,EM,A,1,E,EM,E,所以,B,1,D,1,平面,A,1,EM,又,B,1,D,1,平面,B,1,CD,1,所以平面,A,1,EM,平面,B,1,CD,1,3,2016,山东,17,12,分,在如图所示的圆台中,AC,是下底面圆,O,的直径,EF,是上底面圆,O,的直径,FB,是圆台的一条母线,1,已知,G,H,分别为,EC,FB,的中点,求证,GH,平面,ABC,2,已知,EF,FB,AC,2,AB,BC,求二面角,F,BC,

7、A,的余弦值,1,2,3,解析,1,证明,设,FC,中点为,I,连接,GI,HI,在,CEF,中,因为点,G,是,CE,的中点,所以,GI,EF,又,EF,OB,所以,GI,OB,在,CFB,中,因为,H,是,FB,的中点,所以,HI,BC,又,HI,GI,I,所以平面,GHI,平面,ABC,因为,GH,平面,GHI,所以,GH,平面,ABC,2,解法一,连接,OO,则,OO,平面,ABC,又,AB,BC,且,AC,是圆,O,的直径,所以,BO,AC,以,O,为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,O,xyz,由题意得,B,0,2,0,C,2,0,0,所以,(-2,2,0,过点,F,作,FM

8、,垂直,OB,于点,M,所以,FM,3,可得,F,0,3,故,(0,3,设,m,x,y,z,是平面,BCF,的法向量,3,3,BC,3,3,2,2,FB,BM,3,BF,3,由,可得,可得平面,BCF,的一个法向量,m,因为平面,ABC,的一个法向量,n,(0,0,1,所以,cos,m,n,所以二面角,F,BC,A,的余弦值为,解法二,连接,OO,过点,F,作,FM,垂直,OB,于点,M,BC,0,BF,0,m,m,2,3,2,3,0,3,3,0,x,y,y,z,3,1,1,3,m,n,m,n,7,7,7,7,则有,FM,OO,又,OO,平面,ABC,所以,FM,平面,ABC,可得,FM,3,

9、过点,M,作,MN,垂直,BC,于点,N,连接,FN,可得,FN,BC,从而,FNM,为二面角,F,BC,A,的平面角,又,AB,BC,AC,是圆,O,的直径,所以,MN,BM,sin 45,2,2,FB,BM,6,2,从而,FN,可得,cos,FNM,所以二面角,F,BC,A,的余弦值为,42,2,7,7,7,7,评析,正确找到二面角的平面角或正确计算平面的法向量是求解的关键,B,组,课标卷、其他自主命题省,区、市,卷题组,考点,平行的判定和性质,1,2019,课标全国理,7,5,分,设,为两个平面,则,的充要条件是,A,内有无数条直线与,平行,B,内有两条相交直线与,平行,C,平行于同一条

10、直线,D,垂直于同一平面,答案,B,本题考查直线、平面平行与垂直的位置关系,以充要条件和面面平行为背景考查,推理论证能力与空间想象能力,考查的核心素养为逻辑推理,A,C,D,选项中,与,可能相交,故选,B,易错警示,A,C,D,三个选项中学生均可能忽略,相交的情况,2,2017,课标全国文,6,5,分,如图,在下列四个正方体中,A,B,为正方体的两个顶点,M,N,Q,为所,在棱的中点,则在这四个正方体中,直线,AB,与平面,MNQ,不平行的是,答案,A,本题考查线面平行的判定,B,选项中,AB,MQ,且,AB,平面,MNQ,MQ,平面,MNQ,则,AB,平面,MNQ,C,选项中,AB,MQ,且

11、,AB,平面,MNQ,MQ,平面,MNQ,则,AB,平面,MNQ,D,选项中,AB,NQ,且,AB,平面,MNQ,NQ,平面,MNQ,则,AB,平面,MNQ,故选,A,方法总结,线面平行的判定方法,1,线面平行的判定定理,2,面面平行的性质定理,3,2016,课标全国,14,5,分,是两个平面,m,n,是两条直线,有下列四个命题,如果,m,n,m,n,那么,如果,m,n,那么,m,n,如果,m,那么,m,如果,m,n,那么,m,与,所成的角和,n,与,所成的角相等,其中正确的命题有,填写所有正确命题的编号,答案,解析,由,m,n,m,可得,n,或,n,在,内,当,n,时,与,可能相交,也可能平

12、行,故错,易知,都正确,4,2019,江苏,16,14,分,如图,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,D,E,分别为,BC,AC,的中点,AB,BC,求证,1,A,1,B,1,平面,DEC,1,2,BE,C,1,E,证明,本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查,空间想象能力和推理论证能力,1,因为,D,E,分别为,BC,AC,的中点,所以,ED,AB,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,AB,A,1,B,1,所以,A,1,B,1,ED,又因为,ED,平面,DEC,1,A,1,B,1,平面,DEC,1,所以,A,1,B,1,平面,DEC

13、,1,2,因为,AB,BC,E,为,AC,的中点,所以,BE,AC,因为三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,是直棱柱,所以,C,1,C,平面,ABC,又因为,BE,平面,ABC,所以,C,1,C,BE,因为,C,1,C,平面,A,1,ACC,1,AC,平面,A,1,ACC,1,C,1,C,AC,C,所以,BE,平面,A,1,ACC,1,因为,C,1,E,平面,A,1,ACC,1,所以,BE,C,1,E,5,2019,天津理,17,13,分,如图,AE,平面,ABCD,CF,AE,AD,BC,AD,AB,AB,AD,1,AE,BC,2,1,求证,BF,平面,ADE,2,求直线,CE,与平面,

14、BDE,所成角的正弦值,3,若二面角,E,BD,F,的余弦值为,求线段,CF,的长,1,3,解析,本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识,考查用,空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力,重点,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象与数学运算,依题意,可以建立以,A,为原点,分别以,的方向为,x,轴,y,轴,z,轴正方向的空间直角坐标系,如图,可得,A,0,0,0,B,1,0,0,C,1,2,0,D,0,1,0,E,0,0,2,设,CF,h,h,0,则,F,1,2,h,1,证明,依题意,(1,0,0,是平面,ADE,的法向量,又,(0

15、,2,h,可得,0,又因为直线,BF,平面,ADE,所以,BF,平面,ADE,AB,AD,AE,AB,BF,BF,AB,2,依题意,(-1,1,0,(-1,0,2,(-1,-2,2,设,n,x,y,z,为平面,BDE,的法向量,则,即,不妨令,z=1,可得,n,(2,2,1,因此有,cos,n,所以,直线,CE,与平面,BDE,所成角的正弦值为,3,设,m,x,y,z,为平面,BDF,的法向量,则,即,不妨令,y,1,可得,m,BD,BE,CE,BD,0,BE,0,n,n,0,2,0,x,y,x,z,CE,CE,CE,n,n,4,9,4,9,BD,0,BF,0,m,m,0,2,0,x,y,y,

16、hz,2,1,1,h,由题意,有,cos,m,n,解得,h,经检验,符合题意,所以,线段,CF,的长为,m,n,m,n,2,2,4,4,3,2,h,h,1,3,8,7,8,7,思路分析,从已知条件线面垂直、线线垂直、线线平行入手,建立空间直角坐标系,将立体几,何中的位置关系转化为向量坐标关系,从而进行坐标运算,再将向量运算结果转化为立体几何,中的位置关系或长度,方法总结,利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤,观察图形,建立恰当的空间直角坐标系,写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量,设出相应平面的法向量,利用两直线垂直,其相应方向向量数量积为零列出方程组求出法向量,将空间位置关系转化为向量

17、关系,根据定理结论求出相应的角或距离,6,2018,江苏,15,14,分,在平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,AA,1,AB,AB,1,B,1,C,1,求证,1,AB,平面,A,1,B,1,C,2,平面,ABB,1,A,1,平面,A,1,BC,证明,本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能,力和推理论证能力,1,在平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,AB,A,1,B,1,因为,AB,平面,A,1,B,1,C,A,1,B,1,平面,A,1,B,1,C,所以,AB,平面,A,1,B,1,C,2,在平行六面体,ABCD,

18、A,1,B,1,C,1,D,1,中,四边形,ABB,1,A,1,为平行四边形,又因为,AA,1,AB,所以四边形,ABB,1,A,1,为菱形,所以,AB,1,A,1,B,因为,AB,1,B,1,C,1,BC,B,1,C,1,所以,AB,1,BC,又因为,A,1,B,BC,B,A,1,B,平面,A,1,BC,BC,平面,A,1,BC,所以,AB,1,平面,A,1,BC,又因为,AB,1,平面,ABB,1,A,1,所以平面,ABB,1,A,1,平面,A,1,BC,7,2017,江苏,15,14,分,如图,在三棱锥,A,BCD,中,AB,AD,BC,BD,平面,ABD,平面,BCD,点,E,F,E,

19、与,A,D,不重合,分别在棱,AD,BD,上,且,EF,AD,求证,1,EF,平面,ABC,2,AD,AC,证明,1,在平面,ABD,内,因为,AB,AD,EF,AD,所以,EF,AB,又因为,EF,平面,ABC,AB,平面,ABC,所以,EF,平面,ABC,2,因为平面,ABD,平面,BCD,平面,ABD,平面,BCD,BD,BC,平面,BCD,BC,BD,所以,BC,平面,ABD,因为,AD,平面,ABD,所以,BC,AD,又,AB,AD,BC,AB,B,AB,平面,ABC,BC,平面,ABC,所以,AD,平面,ABC,又因为,AC,平面,ABC,所以,AD,AC,方法总结,立体几何中证明

20、线线垂直的一般思路,1,利用两平行直线垂直于同一条直线,a,b,a,c,b,c,2,线面垂直的性质,a,b,a,b,8,2016,四川,18,12,分,如图,在四棱锥,P,ABCD,中,AD,BC,ADC,PAB,90,BC,CD,AD,E,为棱,AD,的中点,异面直线,PA,与,CD,所成的角为,90,1,在平面,PAB,内找一点,M,使得直线,CM,平面,PBE,并说明理由,2,若二面角,P,CD,A,的大小为,45,求直线,PA,与平面,PCE,所成角的正弦值,1,2,解析,1,在梯形,ABCD,中,AB,与,CD,不平行,延长,AB,DC,相交于点,M,M,平面,PAB,点,M,即为所

21、求的一个点,理由如下,由已知,BC,ED,且,BC,ED,所以四边形,BCDE,是平行四边形,从而,CM,EB,又,EB,平面,PBE,CM,平面,PBE,所以,CM,平面,PBE,说明,延长,AP,至点,N,使得,AP,PN,则所找的点可以是直线,MN,上任意一点,2,解法一,由已知,CD,PA,CD,AD,PA,AD,A,所以,CD,平面,PAD,从而,CD,PD,所以,PDA,是二面角,P,CD,A,的平面角,所以,PDA,45,设,BC,1,则在,Rt,PAD,中,PA,AD,2,过点,A,作,AH,CE,交,CE,的延长线于点,H,连接,PH,易知,PA,平面,ABCD,又,CE,平

22、面,ABCD,从而,PA,CE,于是,CE,平面,PAH,所以平面,PCE,平面,PAH,过,A,作,AQ,PH,于,Q,则,AQ,平面,PCE,所以,APH,是,PA,与平面,PCE,所成的角,在,Rt,AEH,中,AEH,45,AE,1,所以,AH,在,Rt,PAH,中,PH,2,2,2,2,PA,AH,3,2,2,所以,sin,APH,解法二,由已知,CD,PA,CD,AD,PA,AD,A,所以,CD,平面,PAD,于是,CD,PD,从而,PDA,是二面角,P,CD,A,的平面角,所以,PDA,45,由,PA,AB,可得,PA,平面,ABCD,设,BC,1,则在,Rt,PAD,中,PA,

23、AD,2,作,Ay,AD,以,A,为原点,以,的方向分别为,x,轴,z,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐,标系,A,xyz,AH,PH,1,3,AD,AP,则,A,0,0,0,P,0,0,2,C,2,1,0,E,1,0,0,所以,(1,0,-2,(1,1,0,(0,0,2,设平面,PCE,的法向量为,n,x,y,z,由,得,设,x,2,则可得,n,(2,-2,1,设直线,PA,与平面,PCE,所成角为,则,sin,所以直线,PA,与平面,PCE,所成角的正弦值为,PE,EC,AP,PE,0,EC,0,n,n,2,0,0,x,z,x,y,AP,AP,n,n,2,2,2,2,2,2,2,1,1

24、,3,1,3,9,2015,江苏,16,14,分,如图,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,已知,AC,BC,BC,CC,1,设,AB,1,的中点为,D,B,1,C,BC,1,E,求证,1,DE,平面,AA,1,C,1,C,2,BC,1,AB,1,证明,1,由题意知,E,为,B,1,C,的中点,又,D,为,AB,1,的中点,因此,DE,AC,又因为,DE,平面,AA,1,C,1,C,AC,平面,AA,1,C,1,C,所以,DE,平面,AA,1,C,1,C,2,因为棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,是直三棱柱,所以,CC,1,平面,ABC,因为,AC,平面,ABC,所以,AC,C

25、C,1,又因为,AC,BC,CC,1,平面,BCC,1,B,1,BC,平面,BCC,1,B,1,BC,CC,1,C,所以,AC,平面,BCC,1,B,1,又因为,BC,1,平面,BCC,1,B,1,所以,BC,1,AC,因为,BC,CC,1,所以矩形,BCC,1,B,1,是正方形,因此,BC,1,B,1,C,因为,AC,B,1,C,平面,B,1,AC,AC,B,1,C,C,所以,BC,1,平面,B,1,AC,又因为,AB,1,平面,B,1,AC,所以,BC,1,AB,1,评析,本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能,力,10,2015,安徽,19,13,分,

26、如图所示,在多面体,A,1,B,1,D,1,DCBA,中,四边形,AA,1,B,1,B,ADD,1,A,1,ABCD,均为正,方形,E,为,B,1,D,1,的中点,过,A,1,D,E,的平面交,CD,1,于,F,1,证明,EF,B,1,C,2,求二面角,E,A,1,D,B,1,的余弦值,解析,1,证明,由正方形的性质可知,A,1,B,1,AB,DC,且,A,1,B,1,AB,DC,所以四边形,A,1,B,1,CD,为平,行四边形,从而,B,1,C,A,1,D,又,A,1,D,面,A,1,DE,B,1,C,面,A,1,DE,于是,B,1,C,面,A,1,DE,又,B,1,C,面,B,1,CD,1

27、,面,A,1,DE,面,B,1,CD,1,EF,所以,EF,B,1,C,2,因为四边形,AA,1,B,1,B,ADD,1,A,1,ABCD,均为正方形,所以,AA,1,AB,AA,1,AD,AB,AD,且,AA,1,AB,AD,以,A,为原点,分别以,为,x,轴,y,轴和,z,轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标,系,可得点的坐标,A,0,0,0,B,1,0,0,D,0,1,0,A,1,0,0,1,B,1,1,0,1,D,1,0,1,1,而,E,点为,B,1,D,1,的中点,所,以,E,点的坐标为,0.5,0.5,1,设面,A,1,DE,的法向量,n,1,r,1,s,1,t,1,而该面上向量

28、,(0.5,0.5,0,(0,1,-1,由,n,1,n,1,AB,AD,1,AA,1,A,E,1,A,D,1,A,E,1,A,D,得,r,1,s,1,t,1,应满足的方程组,1,1,1,为其一组解,所以可取,n,1,(-1,1,1,设面,A,1,B,1,CD,的法向量,n,2,r,2,s,2,t,2,而该面上向量,(1,0,0,(0,1,-1,由此同理可得,n,2,(0,1,1,所以结合图形知二面角,E,A,1,D,B,1,的余弦值为,1,1,1,1,0.5,0.5,0,0,r,s,s,t,1,1,A,B,1,A,D,1,2,1,2,n,n,n,n,2,3,2,6,3,评析,本题考查直线与直线

29、的平行关系以及二面角的求解,考查空间想象能力、逻辑推理能,力以及运算求解能力,正确求解各点坐标以及平面法向量是解决问题的关键,C,组,教师专用题组,考点,平行的判定和性质,1,2019,课标全国文,19,12,分,如图,直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的底面是菱形,AA,1,4,AB,2,BAD,60,E,M,N,分别是,BC,BB,1,A,1,D,的中点,1,证明,MN,平面,C,1,DE,2,求点,C,到平面,C,1,DE,的距离,解析,本题考查了线面平行、垂直的判定和点到平面的距离,通过平行、垂直的证明,考查了,学生的空间想象力,体现了直观想象的核心素养,1,连接,B

30、,1,C,ME,因为,M,E,分别为,BB,1,BC,的中点,所以,ME,B,1,C,且,ME,B,1,C,又因为,N,为,A,1,D,的中,点,所以,ND,A,1,D,由题设知,A,1,B,1,DC,可得,B,1,C,A,1,D,故,ME,ND,因此四边形,MNDE,为平行四边形,MN,ED,又,MN,平面,C,1,DE,所以,MN,平面,C,1,DE,2,过,C,作,C,1,E,的垂线,垂足为,H,由已知可得,DE,BC,DE,C,1,C,所以,DE,平面,C,1,CE,1,2,1,2,故,DE,CH,从而,CH,平面,C,1,DE,故,CH,的长即为,C,到平面,C,1,DE,的距离,由

31、已知可得,CE,1,C,1,C,4,所以,C,1,E,故,CH,从而点,C,到平面,C,1,DE,的距离为,17,4,17,17,4,17,17,思路分析,1,连接,B,1,C,ME,证明四边形,MNDE,是平行四边形,得出,MN,DE,然后利用线面平行,的判定定理证出结论,2,注意到,DE,平面,BCC,1,B,1,只需过点,C,作,C,1,E,的垂线便可求解,2,2016,江苏,16,14,分,如图,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,D,E,分别为,AB,BC,的中点,点,F,在侧棱,B,1,B,上,且,B,1,D,A,1,F,A,1,C,1,A,1,B,1,求证,1,直线,

32、DE,平面,A,1,C,1,F,2,平面,B,1,DE,平面,A,1,C,1,F,证明,1,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,A,1,C,1,AC,在,ABC,中,因为,D,E,分别为,AB,BC,的中点,所以,DE,AC,于是,DE,A,1,C,1,又因为,DE,平面,A,1,C,1,F,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,所以直线,DE,平面,A,1,C,1,F,2,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,A,1,A,平面,A,1,B,1,C,1,因为,A,1,C,1,平面,A,1,B,1,C,1,所以,A,1,A,A,1,C,1,又因为,A,1,C,1,A,1

33、,B,1,A,1,A,平面,ABB,1,A,1,A,1,B,1,平面,ABB,1,A,1,A,1,A,A,1,B,1,A,1,所以,A,1,C,1,平面,ABB,1,A,1,因为,B,1,D,平面,ABB,1,A,1,所以,A,1,C,1,B,1,D,又因为,B,1,D,A,1,F,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,A,1,F,平面,A,1,C,1,F,A,1,C,1,A,1,F,A,1,所以,B,1,D,平面,A,1,C,1,F,因为直线,B,1,D,平面,B,1,DE,所以平面,B,1,DE,平面,A,1,C,1,F,评析,本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系

34、,考查空间想象能,力和推理论证能力,3,2015,福建,17,13,分,如图,在几何体,ABCDE,中,四边形,ABCD,是矩形,AB,平面,BEC,BE,EC,AB,BE,EC,2,G,F,分别是线段,BE,DC,的中点,1,求证,GF,平面,ADE,2,求平面,AEF,与平面,BEC,所成锐二面角的余弦值,解析,1,证明,如图,取,AE,的中点,H,连接,HG,HD,又,G,是,BE,的中点,所以,GH,AB,且,GH,AB,又,F,是,CD,的中点,所以,DF,CD,由四边形,ABCD,是矩形得,AB,CD,AB,CD,所以,GH,DF,且,GH,DF,从而四边形,HGFD,是平行四边形

35、,所以,GF,DH,又,DH,平面,ADE,GF,平面,ADE,所以,GF,平面,ADE,2,如图,在平面,BEC,内,过,B,点作,BQ,EC,因为,BE,CE,所以,BQ,BE,1,2,1,2,又因为,AB,平面,BEC,所以,AB,BE,AB,BQ,以,B,为原点,分别以,的方向为,x,轴,y,轴,z,轴的正方向建立空间直角坐标系,则,A,0,0,2,B,0,0,0,E,2,0,0,F,2,2,1,因为,AB,平面,BEC,所以,(0,0,2,为平面,BEC,的法向量,设,n,x,y,z,为平面,AEF,的法向量,又,(2,0,-2,(2,2,-1,由,得,BE,BQ,BA,BA,AE,

36、AF,AE,0,AF,0,n,n,2,2,0,2,2,0,x,z,x,y,z,取,z,2,得,n,(2,-1,2,从而,cos,n,所以平面,AEF,与平面,BEC,所成锐二面角的余弦值为,BA,BA,BA,n,n,4,3,2,2,3,2,3,4,2015,四川,18,12,分,一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正,方体中,设,BC,的中点为,M,GH,的中点为,N,1,请将字母,F,G,H,标记在正方体相应的顶点处,不需说明理由,2,证明,直线,MN,平面,BDH,3,求二面角,A,EG,M,的余弦值,解析,1,点,F,G,H,的位置如图所示,2,证明,连接,BD,

37、设,O,为,BD,的中点,因为,M,N,分别是,BC,GH,的中点,所以,OM,CD,且,OM,CD,HN,CD,且,HN,CD,所以,OM,HN,OM,HN,所以,MNHO,是平行四边形,从而,MN,OH,又,MN,平面,BDH,OH,平面,BDH,所以,MN,平面,BDH,1,2,1,2,3,解法一,连接,AC,过,M,作,MP,AC,于,P,在正方体,ABCD,EFGH,中,AC,EG,所以,MP,EG,过,P,作,PK,EG,于,K,连接,KM,所以,EG,平面,PKM,从而,KM,EG,所以,PKM,是二面角,A,EG,M,的平面角,设,AD,2,则,CM,1,PK,2,在,Rt,C

38、MP,中,PM,CM,sin 45,在,Rt,PKM,中,KM,所以,cos,PKM,即二面角,A,EG,M,的余弦值为,解法二,如图,以,D,为坐标原点,分别以,方向为,x,y,z,轴的正方向,建立空间直角坐标系,D,xyz,2,2,2,2,PK,PM,3,2,2,PK,KM,2,2,3,2,2,3,DA,DC,DH,设,AD,2,则,M,1,2,0,G,0,2,2,E,2,0,2,O,1,1,0,所以,(2,-2,0,(-1,0,2,设平面,EGM,的法向量为,n,1,x,y,z,由,得,取,x,2,得,n,1,(2,2,1,在正方体,ABCD,EFGH,中,DO,平面,AEGC,则可取平

39、面,AEG,的一个法向量为,n,2,(1,1,0,所以,cos,n,1,n,2,GE,MG,1,1,GE,0,MG,0,n,n,2,2,0,2,0,x,y,x,z,DO,1,2,1,2,n,n,n,n,2,2,0,4,4,1,1,1,0,2,2,3,故二面角,A,EG,M,的余弦值为,2,2,3,评析,本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、二面角的平面,角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,5,2014,课标全国,18,12,分,如图,四棱锥,P,ABCD,中,底面,ABCD,为矩形,PA,平面,ABCD,E,为,PD,的中点,1,证明,PB,

40、平面,AEC,2,设二面角,D,AE,C,为,60,AP,1,AD,求三棱锥,E,ACD,的体积,3,解析,1,证明,连接,BD,交,AC,于点,O,连接,EO,因为,ABCD,为矩形,所以,O,为,BD,的中点,又,E,为,PD,的中点,所以,EO,PB,又,EO,平面,AEC,PB,平面,AEC,所以,PB,平面,AEC,2,因为,PA,平面,ABCD,ABCD,为矩形,所以,AB,AD,AP,两两垂直,如图,以,A,为坐标原点,的方向为,x,轴的正方向,为单位长,建立空间直角坐标系,A,xyz,则,D,0,0,E,AB,AP,3,3,1,0,2,2,AE,3,1,0,2,2,设,B,m,

41、0,0,m,0,则,C,m,0,m,0,设,n,1,x,y,z,为平面,ACE,的法向量,则,即,可取,n,1,又,n,2,(1,0,0,为平面,DAE,的法向量,由题设得,cos,n,1,n,2,即,解得,m,因为,E,为,PD,的中点,所以三棱锥,E,ACD,的高为,所以三棱锥,E,ACD,的体积,V,3,AC,3,1,1,AC,0,AE,0,n,n,3,0,3,1,0,2,2,mx,y,y,z,3,1,3,m,1,2,2,3,3,4,m,1,2,3,2,1,2,1,3,1,2,3,3,2,1,2,3,8,评析,本题考查线面平行的判定,利用空间向量解二面角问题,考查了学生的空间想象能力,6

42、,2014,江苏,16,14,分,如图,在三棱锥,P,ABC,中,D,E,F,分别为棱,PC,AC,AB,的中点,已知,PA,AC,PA,6,BC,8,DF,5,求证,1,直线,PA,平面,DEF,2,平面,BDE,平面,ABC,证明,1,因为,D,E,分别为棱,PC,AC,的中点,所以,DE,PA,又因为,PA,平面,DEF,DE,平面,DEF,所以直线,PA,平面,DEF,2,因为,D,E,F,分别为棱,PC,AC,AB,的中点,PA,6,BC,8,所以,DE,PA,DE,PA,3,EF,BC,4,又因为,DF,5,故,DF,2,DE,2,EF,2,所以,DEF,90,即,DE,EF,又,

43、PA,AC,DE,PA,所以,DE,AC,因为,AC,EF,E,AC,平面,ABC,EF,平面,ABC,所以,DE,平面,ABC,又,DE,平面,BDE,所以平面,BDE,平面,ABC,1,2,1,2,评析,本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能,力和推理论证能力,A,组,2017,2019,年高考模拟考点基础题组,考点,平行的判定和性质,三年模拟,1,2019,山东师大附中四模,19,四边形,ABCD,是菱形,四边形,ACEF,是矩形,平面,ACEF,平面,ABCD,AB,2,AF,2,BAD,60,G,是,BE,的中点,1,证明,CG,平面,BDF,2,

44、求二面角,E,BF,D,的余弦值,解析,1,证明,设,AC,BD,O,BF,的中点为,H,连接,OH,GH,G,是,BE,的中点,H,是,BF,的中点,GH,EF,AC,GH,AC,OC,四边形,OCGH,是平行四边形,CG,OH,又,CG,平面,BDF,OH,平面,BDF,CG,平面,BDF,2,设,EF,的中点为,N,连接,ON,四边形,ACEF,是矩形,ON,AC,1,2,又平面,ACEF,平面,ABCD,平面,ACEF,平面,ABCD,AC,ON,平面,ACEF,ON,平面,ABCD,又,AC,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,ON,AC,ON,BD,四边形,ABCD,是菱形,OB

45、,OC,以,O,为原点,OB,所在直线为,x,轴,OC,所在直线为,y,轴,ON,所在直线为,z,轴,建立如图所示的空间直,角坐标系,则,B,1,0,0,C,0,0,F,0,1,E,0,1,D,1,0,0,(-2,0,0,(-1,1,(0,-2,0,设平面,BEF,的法向量为,n,1,x,1,y,1,z,1,则,令,z,1,1,可取,n,1,(1,0,1,设平面,BDF,的法向量为,n,2,x,2,y,2,z,2,则,3,3,3,BD,BF,3,EF,3,1,1,EF,0,BF,0,n,n,1,1,1,1,2,3y,0,x,3y,z,0,2,2,BD,0,BF,0,n,n,2,2,2,2,2x

46、,0,x,3y,z,0,令,y,2,1,可取,n,2,(0,1,设二面角,E,BF,D,的大小为,则,cos,cos,n,1,n,2,由图易得二面角,E,BF,D,为锐二面角,故二面角,E,BF,D,的余弦值为,3,3,2,2,6,4,6,4,2,2019 5,3,原创冲刺卷,九,理,19,如图,直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,底面四边形,ABCD,为梯形,AB,CD,AD,BC,CD,2,AB,4,AA,1,设,M,N,分别为,A,1,B,1,BD,1,的中点,1,证明,MN,平面,ADD,1,A,1,2,求,MN,与平面,BC,1,D,1,所成角的正弦值,6,解析,

47、1,证明,如图,连接,AD,1,并取其中点,P,连接,PN,PA,1,因为,M,N,分别为,A,1,B,1,BD,1,的中点,所以,A,1,M,AB,A,1,M,AB,PN,AB,PN,AB,所以,PN,A,1,M,PN,A,1,M,所以四边形,MNPA,1,为平行四边形,故,MN,PA,1,3,分,又,MN,平面,ADD,1,A,1,PA,1,平面,ADD,1,A,1,所以,MN,平面,ADD,1,A,1,6,分,1,2,1,2,2,取,AB,的中点为,O,CD,的中点为,Q,连接,OM,OQ,易知,OM,OB,OM,OQ,OQ,OB,以,O,为坐标原点,OQ,OB,OM,所在直线分别为,x

48、,轴,y,轴,z,轴,建立空间直角坐标系,O,xyz,如图,则,B,0,2,0,M,0,0,C,1,1,D,1,1,N,则,(0,2,0,1,8,分,设平面,BC,1,D,1,的法向量为,n,x,y,z,6,3,6,3,6,3,1,6,2,2,2,MN,3,1,6,2,2,2,1,1,D,C,1,BC,3,6,由,得,取,z,1,得,n,(,0,1,10,分,于是,cos,n,所以,MN,与平面,BC,1,D,1,所成角的正弦值为,12,分,1,1,1,D,C,0,BC,0,n,n,2,0,3,6,0,y,x,y,z,2,MN,MN,MN,n,n,2,5,5,2,5,5,3,2019,山东济南

49、,3,月模拟文,19,如图,1,所示,在等腰梯形,ABCD,中,AB,CD,BAD,45,AB,2,CD,4,点,E,为,AB,的中点,将,ADE,沿,DE,折起,使点,A,到达,P,的位置,得到如图,2,所示的四棱锥,P,EBCD,点,M,为棱,PB,的中点,1,求证,PD,平面,MCE,2,若平面,PDE,平面,EBCD,求三棱锥,M,BCE,的体积,解析,1,证明,在题图,1,中,因为,BE,AB,CD,且,BE,CD,所以四边形,EBCD,是平行四边形,如图,连接,BD,交,CE,于点,O,连接,OM,所以点,O,是,BD,的中点,又因为点,M,为棱,PB,的中点,所以,OM,PD,因

50、为,PD,平面,MCE,OM,平面,MCE,所以,PD,平面,MCE,1,2,2,在题图,1,中,因为,EBCD,是平行四边形,所以,DE,BC,因为四边形,ABCD,是等腰梯形,所以,AD,BC,所以,AD,DE,因为,BAD,45,所以,AD,DE,在题图,2,中,PD,DE,又平面,PDE,平面,EBCD,且平面,PDE,平面,EBCD,DE,PD,平面,PDE,所以,PD,平面,EBCD,由,1,知,OM,PD,所以,OM,平面,EBCD,在等腰直角三角形,ADE,中,因为,AE,2,所以,AD,DE,所以,OM,PD,AD,又,S,BCE,S,ADE,1,所以,V,M,BCE,S,B

51、CE,OM,2,1,2,1,2,2,2,1,3,2,6,4,2019,山东潍坊期末,19,已知正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分别是棱,BB,1,对角线,DB,1,的中点,1,证明,MN,平面,ABCD,2,求直线,MN,与直线,CB,1,所成角的大小,解析,1,证明,连接,BD,M,N,分别是棱,BB,1,对角线,DB,1,的中点,MN,BD,MN,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,MN,平面,ABCD,2,设正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,1,以,D,为原点,DA,DC,DD,1,所在直线分别为,x,y,z,轴,建立如图所示的空

52、间直角坐标系,则,D,0,0,0,A,1,0,0,B,1,1,0,C,0,1,0,B,1,1,1,1,M,N,(1,0,1,cos,直线,MN,与直线,CB,1,所成角的大小为,1,1,1,2,1,1,1,2,2,2,1,CB,MN,1,1,0,2,2,MN,1,CB,1,1,MN,CB,MN,CB,1,2,MN,1,CB,3,3,B,组,2017,2019,年高考模拟专题综合题组,时间,20,分钟,分值,30,分,解答题,共,30,分,1,2019,山东枣庄期末,19,如图,在四棱锥,S,ABCD,中,ABS,是正三角形,四边形,ABCD,是菱形,点,E,是,BS,的中点,1,求证,SD,平

53、面,ACE,2,若平面,ABS,平面,ABCD,ABC,120,求直线,AC,与平面,ADS,所成角的正弦值,解析,1,证明,连接,BD,交,AC,于点,F,连接,EF,因为四边形,ABCD,是菱形,所以点,F,是,BD,的中点,又因为点,E,是,BS,的中点,所以,EF,是三角形,DBS,的中位线,所以,SD,EF,又因为,EF,平面,ACE,SD,平面,ACE,所以,SD,平面,ACE,2,因为四边形,ABCD,是菱形,ABC,120,所以,ABD,ABC,60,又,AB,AD,所以三角形,ABD,为正三角形,取,AB,的中点,O,连接,SO,DO,则,DO,AB,因为平面,ABS,平面,

54、ABCD,平面,ABS,平面,ABCD,AB,所以,DO,平面,ABS,又因为三角形,ABS,为正三角形,所以,SO,AB,以,O,为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设,AB,2,则,A,0,-1,0,S,0,0,D,0,0,C,0,2,1,2,3,3,3,所以,(0,1,1,0,(0,3,设平面,ADS,的法向量为,n,x,y,z,则,取,x,1,则,y,z,1,所以,n,(1,1,设直线,AC,与平面,ADS,所成角为,则,sin,cos,n,故直线,AC,与平面,ADS,所成角的正弦值为,AD,3,AS,3,AC,3,AD,0,AS,0,n,n,3,0,3,0,y,z,x,y,3,

55、3,AC,AC,AC,n,n,5,5,5,5,2,2019,山东省实验中学,4,月质检,19,如图所示,在底面为正方形的四棱锥,P,ABCD,中,AB,2,PA,4,PB,PD,2,AC,与,BD,相交于点,O,E,G,分别为,PD,CD,的中点,1,求证,EO,平面,PBC,2,设线段,BC,上点,F,满足,BC,3,BF,求三棱锥,E,OFG,的体积,5,解析,1,证明,O,为,AC,与,BD,的交点,且四边形,ABCD,为正方形,O,为,BD,的中点,又,E,为,PD,的中点,EO,PB,又,PB,平面,PBC,EO,平面,PBC,EO,平面,PBC,2,AB,2,PA,4,PB,PD,

56、2,AB,2,PA,2,PB,2,PA,2,AD,2,PD,2,PA,AB,PA,AD,又,AB,AD,A,PA,平面,ABCD,又,E,为,PD,的中点,E,到平面,ABCD,的距离为,PA,2,O,G,分别是,BD,CD,的中点,OG,BC,OG,BC,又四边形,ABCD,为正方形,OG,CD,过点,F,作,FH,OG,四边形,CFHG,为矩形,FH,CG,CD,1,S,OFG,OG,FH,1,1,5,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,V,E,OFG,S,OFG,2,2,1,3,1,3,1,2,1,3,C,组,2017,2019,年高考模拟应用创新题组,1,2019 5,3,

57、原创题,如图,在三棱锥,P,ABC,中,平面,PAB,平面,ABC,PB,AB,2,PB,AB,AC,BC,D,F,分别为,PA,AB,的中点,PE,2,EC,2,1,求证,CF,平面,BDE,2,求三棱锥,F,BDE,的体积,解析,1,取,AD,的中点,G,连接,CG,GF,F,为,AB,的中点,GF,为,ABD,的中位线,GF,BD,又,GF,平面,BDE,BD,平面,BDE,GF,平面,BDE,D,为,PA,的中点,DE,GC,又,GC,平面,BDE,DE,平面,BDE,GC,平面,BDE,又,GF,GC,G,平面,GCF,平面,BDE,又,CF,平面,GCF,CF,平面,BDE,PD,

58、DG,PE,EC,2,1,2,连接,PF,交,BD,于,H,连接,EH,易知,CF,EH,AC,BC,F,为,AB,的中点,CF,AB,又平面,PAB,平面,ABC,平面,PAB,平面,ABC,AB,CF,平面,ABC,CF,平面,PAB,EH,平面,PAB,在等腰直角三角形,PAB,中,D,F,分别为,PA,AB,的中点,S,BDF,S,ADF,在直角三角形,PCF,中,PC,3,PF,CF,2,EH,CF,1,2,5,2,3,4,3,V,F,BDE,V,E,BDF,1,3,4,3,1,2,2,9,2,2019 5,3,原创冲刺卷,七,理,18,如图,1,小正方形的边长为,1,四边形,ABC

59、P,为梯形,把,PAD,沿,AD,折起使得平面,PAD,平面,ABCD,如图,2,E,F,分别是,AC,PC,的中点,1,求证,EF,平面,PAD,2,若点,G,在,PB,上,且,求二面角,C,EG,D,的余弦值,BG,PG,解析,1,证明,因为,E,F,分别是,AC,PC,的中点,所以,EF,PA,又因为,PA,平面,PAD,EF,平面,PAD,所以,EF,平面,PAD,3,分,2,因为折叠前,PD,AD,折叠后平面,PAD,平面,ABCD,平面,PAD,平面,ABCD,AD,所以,PD,平面,ABCD,以,D,为坐标原点,DA,DC,DP,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴建立如图所示的空间直角坐标,系,因为,所以,PG,PB,因为,AB,CD,PD,AB,4,AD,3,CD,6,所以,D,0,0,0,A,3,0,0,C,0,6,0,B,3,4,0,P,0,0,4,E,G,所以,(0,-1,2,6,分,设平面,DEG,的法向