高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.8 直线与圆锥曲线 文 北师大版

1、9.8直线与圆锥曲线,考纲要求:1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合思想,1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点,仅有一个公共点及有两个不同的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入圆锥 曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 如消去y后得ax2+bx+c=0. 若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合,若a0,设=b2-4ac. 当0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点; 当=0时,直

2、线和圆锥曲线相切于一点; 当0时,直线和圆锥曲线没有公共点. 2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间的距离公式,3.圆锥曲线的中点弦问题,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共点. ( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个公共点. ( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有一个公共点. ( ) (4)如果直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长 . ( )

3、 (5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点,则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式0. (,1,2,3,4,5,A.相交B.相切C.相离D.不确定,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评,1.弦长公式使用时要注意直线的斜率情况,对于斜率不存在的直线要单独处理,对于抛物线中的过焦点的弦要使用其特定的公式. 2.直线与双曲线或与抛物线的交点问题比直线与椭圆的交点问题更为复杂,除了可以利用方程分析,还可以结合图像分析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1

4、,考点2,考点3,考点4,解题心得:直线与圆锥曲线位置关系的判断方法: 用直线方程与圆锥曲线方程组成方程组,研究直线与圆锥曲线的位置关系,只需判断这个方程组的解的个数,即用代数法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于1,则这样的直线( ) A.有且只有一条B.有且只有两条 C.有且只有三条D.有且只有四条,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,考点2圆

5、锥曲线中的弦长与中点弦问题(多维探究) 类型一弦长问题,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,类型二中点弦问题 例3过点M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆C: (ab0)相交于A,B两点,若M是弦长AB的中点,则椭圆C的离心率等. 思考:解中点弦问题常用的求解方法是什么,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2 (1)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积

6、最小时,切点为P(如图). 求点P的坐标; 焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+ 交于A,B两点.若PAB的面积为2,求C的标准方程,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,2)已知点(4,2)是直线l被椭圆 所截得的弦长的中点,则l的方程是,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法

7、,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,类型二定值问题 例5如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点). (1)证明:动点D在定直线上; (2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2.证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值. 思考:求圆锥曲线中定值问题常见的方法有哪些,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得:1

8、.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可先设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)(2015江西南昌三模)已知抛物线C:x2=y,直线l与抛物线C交于不同两点A,B,且 =(p,6). 设直线m为线段AB的中垂线,请判断直线m是否恒过定点?若是,请求出定点坐

9、标;若不是,请说明理由. 记点A,B在x轴上的射影分别为A1,B1,记曲线E是以A1B1为直径的圆,当直线l与曲线E相离时,求p的取值范围,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,

10、考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得:圆锥曲线中常见的最值问题及其解法 (1)两类最值问题:涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题. (2)两种常见解法:几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,1.涉及直线与圆锥曲线的位置关系的判断有两种方法: (1)代数法,即联立直线与圆锥曲线的方程,组成方程组,通过方程组的解来判断; (2)几何法,即利用数形结合思想并找出关键点或关键线. 2.弦长问题 (1)弦长公式: 设直线与圆锥曲线相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则可结合一元二次方程根与系数关系得到如下弦长