高中数学竞赛试题及答案(理

1、高二数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1是虚数单位，复数=（ ）A B CD2、下列值等于1的是( )A. B. C. D. 3、若函数满足,则( )A. B. C.2 D.0 4用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是A假设三内角都不大于60度； B假设三内角至多有一个大于60度；C假设三内角都大于60度；D假设三内角至多有两个大于60度。5、 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每为朋友一本，则不同的赠送方法共有 （ ） A 4种 B 10种 C 18种 D 20种6、已知空间四边形，其

2、对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是 （ ）A BC D7、已知,则等于( )A.B. C. D. 8、若展开式的常数项为60，则常数a的值为 （ ）A 2 B 4 C D9、曲线上的点到直线的最短距离是 （ ）A B C D0 10已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为（ ） A、1a2 B、3a6 C、a2 D、a611函数有（ ）A极大值5，极小值27； B极大值5，极小值11； C极大值5，无极小值； D极小值27，无极大值21012设是函数的导数，的图像如图所示， 则的图像最有可能的是 （ ）B012A012C012D012高二数

3、学（理）试题（第二巻）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置。）13.曲线与坐标轴围成的面积是 3 14.曲线在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是 (1,0)15设为虚数单位，则=1.16已知，函数定义域中任意的，有如下结论：； 上述结论中正确结论的序号是_.三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。）17. （本小题满分10分） 已知z、w为复数，为实数，w=解：设wx+yi(x，yR)，依题意得(1+3i)(2+i)w(1+7i)w为实数，且|w|5，解之得或，w1+7i或w17i。18.设函数在及

4、时取得极值（1）求a、b的值；（2）当时，求函数在区间上的最大值解： ，因为函数在及取得极值，则有，即解得，由（1）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为19（本小题满分12分）某品牌电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家A、B对两种型号的电视机的投放金额分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p、lnq万元，已知A、B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A、B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：)解：设B型号电视机的投放

5、金额为万元，A型号的电视机的投放金额为万元，农民得到的补贴为万元，则由题意得 ,令得 当时，；当，时， 所以当时，取得最大值，故厂家投放A、B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元。 20（12分）（1）求（2）猜想的关系，并用数学归纳法证明。解：（1）， ， （2）猜想： 即：（nN*）下面用数学归纳法证明 n=1时，已证S1=T1 假设n=k时，Sk=Tk（k1，kN*），即：则 由，可知，对任意nN*，Sn=Tn都成立. 21. （本小题满分12 分）如图，ABCD是边长为的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，G是EF的中点，（1）求GB与平面AGC所成角的正弦值. （2）求二面角BACG的余弦值.解析：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a ），G（a，a，0），F（a，0，0）（由题意可得，设平面AGC的法向量为，由 （2）因是平面AGC的法向量，又AF平面ABCD，平面ABCD的法向量，得，22.（本小题满分12分）已知函数,（为常数）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围. 解：依题意，函数的定义域为（1，）.（） 当m4时，