2012中考数学压轴题 二次函数动点问题(六)

1、2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（六）1.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）抛物线yax 2bx过A、C两点（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G当t为何值时，线段EG最长？ 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值解：（1）点A的坐标为（4，8）将A（4，8）、C（8，

2、0）两点坐标分别代入yax 2bx，得 解得a，b4抛物线的解析式为yx 24x（2）在RtAPE和RtABC中，tanPAE，即PEAPt，PB8t点E的坐标为（4t，8t）2点G的纵坐标为(4t)24(4t)t 28EGt 28(8t)t 2t0，当4时，线段EG最长为2共有三个时刻t1，t2，t3402.如图，抛物线yx 22x3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为mxyDCAOB用含m

3、的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式解：（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是：x1（2）设直线BC的解析式为：ykxb将B（3，0），C（0，3）分别代入得： 解得直线BC的解析式为yx3当x1时，y132，E（1，2）当xm时，ym3，P（m，m3）将x1代入yx 22x3，得y4，D（1，4）将xm代入yx 22x3，得ym 22m3F（m，m 22m3）线段DE422，线段PFm 22m3(m3)m 23mPFDE，当PFDE时，四边形PEDF为平行四边形由m 23m2，解得：m12，

4、m21（不合题意，舍去）当m2时，四边形PEDF为平行四边形设直线PF与x轴交于点M由B（3，0），O（0，0），可得：OBOMMB3则SSBPF SCPFPFBMPFOMPFOB(m 23m)3m 2m（0m3）即S与m的函数关系式为：Sm 2m（0m3）3.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点设点P是AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE

5、的周长最小？求出此时点P的坐标和PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使CPN90？若存在，请直接写出点P的坐标解：（1）点D是OA的中点，OD2，ODOC又OP是COD的角平分线，POCPOD45POCPOD，PCPD；（2）如图，过点B作AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求易知点F的坐标为（2，2），故BF2，作PMBFPBF是等腰直角三角形，PMBF1点P的坐标为（3，3）抛物线经过原点可设抛物线的解析式为yax 2bx又抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0） 解得过O、P、D三点的抛物线的解析式为yx 22x；（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关

6、于AOC的平分线的对称点即为C点连接EC，它与AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PEPDEC，而两点之间线段最短），此时PED的周长最小抛物线yx 22x的顶点E的坐标（1，1），C点的坐标（0，2）设CE所在直线的解析式为ykxb则 解得CE所在直线的解析式为y3x2联立，解得，故点P的坐标为（，）PED的周长即是CEDE；（4）存在点P，使CPN90，其坐标为（，）或（2，2）4.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD2，AB3（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形AB

7、CD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）当t时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4）可设其对应的函数关系式为ya(x 2)24又抛物线经过坐标原点O（0，0），a(02)240解得a1所求函数关系式为y(x 2)24，即yx 24x（2）点P不在直线ME上，理由如下：根据抛物线的对称

8、性可知E点的坐标为（4，0）设直线ME的解析式为ykxb，将M（2，4），E（4，0）代入，得 解得直线ME的解析式为y2x8当t时，OAAP，P（，）点P的坐标不满足直线ME的解析式y2x8 当t时，点P不在直线ME上S存在最大值，理由如下：点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，OAAPtP（t，t），N（t，t 24t），ANt 24t（03）PNANAPt 24ttt 23tt(3t)0（）当PN0，即t0或t3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD SDCAD323（）当PN0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形PNCD，ADCDS(CDPN)AD(

9、3t 23t)2t 23t3(t)2（0t3）当t时，S最大综上所述，当t时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积S有最大值，最大值为说明：（）中的关系式，当t0和t3时也适合5.如图1，已知抛物线yax 22ax3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，3)，且tanBAD1（1）求抛物线的解析式；（2）连结CD，求证：ADCD；（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明

10、理由解：（1）如图1，过点D作DHx轴于H，则OH2，DH3tanBAD1，AHDH3，AO321A(1，0)把A(1，0)代入yax 22ax3，得a2a30a1抛物线的解析式为yx 22x3（2）yx 22x3(x1)24 C(1，4)连结AC，则AD 23 23 218，CD 2(21)2(34)22，AC 2(11)24 220AD 2CD 2AC 2，ACD是直角三角形，且ADC90ADCD（3）设直线AD的解析式为ykxb，把A(1，0)，D(2，3)代入求得直线BC的解析式为yx1设点P的横坐标为x，则P(x，x1)，E(x，x 22x3)点P在点E的上方EP(x1)(x 22x

11、3)x 2x2(x)2当x时，线段PE长度的最大值（4）存在，点F的坐标分别为F1(3，0)，F2(1，0)，F3(，0)，F4(，0)若四边形ADQ1F1为平行四边形，则AF1DQ1，DQ1AF1点Q1的纵坐标为3，代入yx 22x3，得x 22x33， x10，x22D(2，3)， Q1(0，3)， DQ12，AF12 F1(3，0)若四边形AF2DQ2为平行四边形，同理可得F2(1，0)若四边形AQ3F3D为平行四边形，则AQ3DF3点Q3的纵坐标为3，代入yx 22x3，得x 22x33，x3，x41()，OF32() F3(，0)若四边形AQ4F4D为平行四边形，则OF4()()()

12、F4(，0)2012中考数学压轴题选讲（六）1.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）抛物线yax 2bx过A、C两点（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G当t为何值时，线段EG最长？ 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值2.如图，抛物线yx 22x3与x轴相交于A、B两点（点A

13、在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为mxyDCAOB用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式3.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点设点P是AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D

14、三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使CPN90？若存在，请直接写出点P的坐标4.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD2，AB3（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）当t时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若