一元函数微分与中值定理

1、一元函数微分与中值定理类型一：高阶导数问题1、研究函数的各次可微性（7P63）当时，归纳假设，再利用导数定义归纳得出0点处的各阶导数.（马蓉）2、设求（7P64）积化和差降次后间接求.3、设求（7P64）隐函数，幂级数4、设求（7P64）（关倩）用隐函数形式求导，归纳；利用莱布尼兹求导公式26、设函数，则（10P74京6专）38、设，求（10P204京13专）将其化为真分式和多项式之和，再间接求导.53、设，求（10P307北建88）（曹庆梅）转化成隐函数形式，利用莱布尼兹公式求高阶导数.61、设试导出关系式，并求（10P342北京防化 92）利用莱布尼兹公式求高阶导数.（周燕）65、设，则（

2、10P373北科大 97）77、已知，求（9P24）（范玉琴）82、已知，求（9P74）（任玉祥）归纳（不要用莱布尼兹公式）类型二：导数的应用涉及方程的根的问题：5、若，试判定在内必有实根（7P78）（俞琼）令，利用罗尔定理求证.14、设函数在内二次可微，又，证明：在内存在唯一实根。（7P99）（肖敏）利用单调性和零点定理证明，（凸函数在其切线下方.）35、设是是系数多项式，且某个及当时，证明：若有个相异的实根，则（10P179京12）罗尔定理，单调性，极值，反证41、设常数为使方程存在实根，求应满足的条件（10P239京15丙）（罗勤）42、证明方程在内至少有一个实根（10P241广东91）

3、罗尔定理（原函数）或介值定理（求最小值点）.48、设正整数，证明：方程至少有两个实根。（10P270天津04）广义零点定理.51、设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围。（10P285江苏04专）84、证明方程有且仅有一个实根，其中为自然数。（9P85）（汪超）直接利用零点定理，其根的唯一性难以判定（导函数的符号）；引入指数函数作辅助函数.方程无实根。79、讨论方程的实根个数。（9P67）（向妙峰）找特定根，由罗尔定理反证69、若是一个正常数，证明方程恰有一个实根。（10P415美国）83、若在上可导，且，试证：至多只有一个零点。（9P83）（周燕）利用指数函数构造同解方程.其他：13、已知

4、试证：的最大值为（7P95）分段求最值.17、设是可导函数，对于任意实数，有，且求函数的表达式（10P33京3）由导数定义，建立方程.（罗勤）19、若对于一切均有，其中试求的表达式（10P44京4）（曹庆梅）互换，建立方程组，讨论20、设函数在内可导 ，且，又，求出的表达式。（10P48京5）22、设求证：（10P57京5）取对数，分情况讨论23、由直线及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使去现在该点处的切线与所围成的三角形面积最大。（10P65京5专）24、设函数在上有定义，对任意，都有且当时，试判断在处，是否可导（10P67京6）27、已知函数在的某个邻域内有连续的导数，且，试求（

5、10P82京7）33、求数列中的最小项。（10P167京11专）考虑函数的最小值（余琼）34、设在点可导，且，求（10P167京12）36、二阶可导，且，若的一个拐点，则（10P188京13）45、设函数 ，其中具有连续二阶导函数，且（1）确定的值，使函数在处可导，并求（2）讨论在处的连续性。（10P261天津03）56、研究函数的可导性，如有不可导点，要讨论左右导数是否存在（10P317西安交大89）（范玉琴）68、假定是一个连续的实函数，使在时，存在，并且也存在。证明：存在（10P415美国）68、假定是一个连续的实函数，使在时，存在，并且也存在。证明：存在（10P415美国）78、已知，

6、求（9P24）85、设是7次多项式，若能被整除，能被整除，求（9P89）88、设在上有定义，在处可导且若对所有有试证：在上可导，并求及（9P193）89、设为自然数，试证：（9P200）96、设，证明对正整数，有（9P265）（关倩）类型三：中值定理证明等式或不等式证明等式：10、设区间，任给，有则任给，有（7P82）求该二阶微分方程.15、设函数在内有二阶导数，且求证在内至少有一点，满足（10P9京1）（马蓉）充分利用极限的定义构造罗尔定理25、设函数在上可导，且证明：存在两点，使得（10P69京6）由介值定理找出28、考察函数在上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，则求出结论中的。（1

7、0P119京8）30、设在上连续，内可导，证明在内至少存在两点，使得（10P146京10）（陈萍）37、设在上有二阶导数，且，证明：存在，使得（10P190京13）43、设函数在上连续，内可导，其中，试证明：在内必有一点，使得（10P245广东91）47、设函数在上连续，在内可导，且试证明：对于任意给定的正数，在开区间内存在不同的两点，使得（10P262天津03）49、设在上连续，在内二阶可导，求证：（1）在内至少有一点，使得；（2）在内至少有一点，使得（10P278江苏04）50、设在上连续，在内可导，求证：在内至少有一点，使得（10P285江苏04专）52、设为个不同的实数，函数在上有阶导

8、数，并满足，则对每个，都相应的存在满足（10P290浙大82）58、设函数在上二阶可导，且，又，试证：在内至少存在一点，使得（10P324上海交大 91）中值定理，辅助函数。59、设函数在可导，且，证明：存在，使得（10P324北京化工 91）（肖敏）60、设在上连续，在内可导，且求证：（1）存在，使得（2）存在，使得（10P336北京商学 92）62、若函数在上连续，在内可导， ，证明：存在，使得（10P348北京工业 94）64、设函数在上有二阶导数，且试证：存在，使得（10P368北邮 96）66、设在上连续，可导，且，证明：存在，使得（10P373北科大 97）令71、设在上具有三阶连

9、续导数，且证明：在内至少存在一点，使得（10P457 99考研）72、假设函数在上存在二阶导数，并且 试证：（1）在内；（2）在内至少存在一点，使得（10P457 95考研）73、假设函数在上连续，在内二阶可导，过点的直线与曲线相交于点。证明：在内至少存在一点，使（10P459 93考研）86、若在上连续，在内可导，且证明：对任意给定的一组正数：，必存在内的个数：，使得（9P92）（任玉祥）81、如果在上连续，在内可导，试证：在内存在，使（9P72）76、设在内具有二阶连续导数，且，试证：（1）对于内的任一，存在惟一的，使得成立；（2）（10P463 01考研）91、设在上可导且试证明：在上，

10、（9P265）92、设在上连续，在内可导，且试证明：对任意实数，在内存在，使得（9P265）94、设在上连续，在内二阶可导，试证明：在内存在，使得（9P265）证明不等式：6、证明：若都是可微函数，且当时，则当时（7P79）令，7、证明不等式11、设在上二次可导，且则存在使得（7P84）泰勒公式12、设在上二次可导，且，证明：（7P85）泰勒公式，两次作差，判别式16、设函数是一个定义于长度不小于2的闭区间上的是函数，满足：对于，证明：，对于，且有函数使得等式成立. （10P12京2）泰勒展式，运算放缩18、设在上不恒为零，其导函数连续，并有试证明：存在点，使得（10P35京3）21、设在上连

11、续，在内二阶可导，且对，求证：曲线，上，存在三个点使得的面积大于等于（10P55京5）由一定条件下某函数绝对值的已知不等式来过度。引理：设在上连续，在内二阶可导，且，又则令。31、设在包含原点的某区间内有二阶导数，且证明：（10P158京10专）40、设在上具有二阶导数，且在内达到最小值，又，证明：（10P210京14）44、设函数在上有界且导数连续，又对任意实数有，试证明：（10P245广东91）57、设函数在上三次可微，证明至少存在一点，使得（10P317北京理工 92）74、设在上连续，其导数在内存在且单调减少，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：，其中（10P460 90考研）75、函数

12、在上具有二阶导数，且满足，其中都是非负常数，是内任意一点。证明：（10P463 96考研）80、如果在上二阶可导，且试证：（9P71）87、设在上二阶可导，且有则在内必存在，使得（9P101）推广：设在上存在直到阶导数，且有则在内必存在，使得93、若在上可导且，试证明：（9P265）95、设在上二阶可导，试证明：在内存在一点，使得（9P265）类型四：导数或中值定理求极限8、设函数在附近有连续导数，而，当时，证明（7P82）9、设时，有，且连续，试证明极限存在（7P82）积分构造夹逼准则形式29、设有一阶连续导数，且，则（10P143京10）32、设具有连续的二阶导数，且，试求以及（10P159京10专）39、若函数在可导，且，则（10P204京14）46、设函数具有二阶连续导函数，且在曲线上任意取一点 作曲线的切线，此切线在轴上的截距记作，求（10P262天津03）54、设满足，且当时，有，试证：存在，且