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文档简介

1、第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,一. 用克拉默法则,例3.1.1. 求方程组,的解,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1,a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det(b,a_2,a_3,a_4

2、,a_5); D_2=det(a_1,b,a_3,a_4,a_5); D_3=det(a_1,a_2,b,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3,b,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b,a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det(b,a_2,a_3,a_4,a_5); D_2=det(a_1,b,a_3,a_4,a_5); D_3=det(a_1,a_

3、2,b,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3,b,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b); x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_5=D_5/D,a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det(b,a_2,a_3,a_4,a_5); D_2=det(a_1,b,a_3,a_4,a_5); D_3=det(a_

4、1,a_2,b,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3,b,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b); x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_5=D_5/D; format rat,X=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det(b,a_2,a_3,a_4,a_5);

5、D_2=det(a_1,b,a_3,a_4,a_5); D_3=det(a_1,a_2,b,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3,b,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b); x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_5=D_5/D; format rat,X=x_1;x_2;x_3;x_4;x_5 X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,二. 用矩阵除法,把该方程组记为AX=b，则X=Ab A=5,

6、6,0,0,0; 1,5,6,0,0; 0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6; 0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1;format rat,X=Ab,把该方程组记为AX=b，则X=Ab A=5,6,0,0,0; 1,5,6,0,0; 0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6; 0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1;format rat,X=Ab X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,三. 用矩阵的初等变换,A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0;

7、 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵,A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵 format rat,A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵 format rat C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形,A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;

8、0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵 format rat C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 X=C(:,6) %取C的最后一列,A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵 format rat C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 X=C(:,6) %取C的最后一列 X = 911/402 -229/133 37/35 -79/133 95/298,思考: 为什么与前一种 方法所得到的结 果不一样,第三章

9、线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,例3.1.2. 求方程组,的一个特解,解: 先用MATLAB把该方程组的增广矩阵,化为行最简形,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; b=1;4;0; B=A,b; %增广矩阵 C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形,从中可以看出该方程组有无数多解，而且 X=1.25, 0.25,0,0T 就是该方程组的一个特解,A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; b=1;4;0; B=A,b; %增广矩阵 C=rref(B); %用初

10、等行变换把B化为行最简形 C = 1.0000 0 0 0.7500 1.2500 0 1.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 0 1.0000 0 0,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,3.2 求线性方程组的通解,一. 求齐次线性方程组的通解,例3.2.1. 求方程组,的通解,解: 先用函数null求系数矩阵,的零空间的一组基,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 B=null(A) %求A的零空间的标准正交基,A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系

11、数矩阵 B=null(A) %求A的零空间的标准正交基 B = 0.7177 -0.0286 -0.6084 0.2725 0.0857 -0.6241 0.3277 0.7317,A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 C=null(A,r) %求A的零空间的基,A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 C=null(A,r) %求A的零空间的基 C = 2.0000 1.6667 -2.0000 -1.3333 1.0000 0 0 1.0000,A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵

12、 format rat, D=null(A,r,A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 format rat, D=null(A,r) D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1,再写出该方程组的通解,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 sym k1 k2 %说明k1,k2为符号变量,D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 sym k1 k2 %说明k1,k2为符号变量 X=k1*D(:,1)+k2*D(:,2) %通解,D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 s

13、ym k1 k2 %说明k1,k2为符号变量 X=k1*D(:,1)+k2*D(:,2) %通解 X = 2*k1+5/3*k2 -2*k1-4/3*k2 k1 k2,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,二. 求非齐次线性方程组的通解,例3.2.2. 求解方程组,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,A=1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2; %系数矩阵 b=1 2 3;,A=1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2; %系数矩阵 b=1 2 3; B=A b; %增广矩阵,n=4; %未知量的个数 R_A=rank(A); %系数矩阵的秩 R_B=rank(B); %增广矩阵的秩 if R_A=R_B3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0;B=A b;n=4; %未知量的个数 R_A=rank(A);R_B=rank(B);format rat if R_A=R_B3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0;B=A b;n=4; %未知量的个数 R_A=rank(A);R_B=rank(B);format rat if R_A=R_B&R_A=n,X=Ab %这是有唯一解

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