高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示 文 北师大版

1、5.2平面向量基本定理及向量 的坐标表示,考纲要求:1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数1,2,使a=1e1+2e2,把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的任意向量a,有且只有一对实数x,y使得a=

2、xi+yj,则把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,a=(x,y)叫作向量a的坐标表示. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1,3.平面向量线性运算的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2); (3)若a=(x,y),R,则a=(x,y). 4.向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0,2,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)平面内的任何两个

3、向量都可以作为一组基底. () (2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. () (3)若a,b不共线,且1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2. ( ) (3) 在同一组基底下,同一向量的表示形式是唯一的. () (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件可表示成 (,2,3,4,1,5,2.(2015课标全国,文2)已知点A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),则向量 =() A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4,答案,解析,2,3,4,1,5,3.(2015四川,文2)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实

4、数x=() A.2B.3C.4D.6,答案,解析,2,3,4,1,5,4.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,),若A,B,C三点共线,则,答案,解析,2,3,4,1,5,5.(2015江苏,6)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为,答案,解析,2,3,4,1,5,自测点评 1.能作为基底的两个向量必须是不共线的. 2.向量的坐标与点的坐标不同,向量平移后,其起点和终点的坐标都变了,但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标,故平移后坐标不变. 3. 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成 ,因为x

5、2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1平面向量基本定理的应用 例1(1)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是() A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与2e1+6e2,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,2)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若 =(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,3)设e1,e2是平面内一组基

6、向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么? 解题心得:1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,然后通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1(1)如图所示,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设 =(用向量

7、a和b表示,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2平面向量的坐标运算 例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 ,且 (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量 的坐标,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么? 解题心得:向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错

8、易混,对点训练2(1)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若 =() A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,2)(2015昆明一中摸底)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,则点N的坐标为() A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3平面向量共线的坐标表示 例3平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题: (1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值; (2)若(a+k

9、c)(2b-a),求实数k的值; (3)若d满足(d-c)(a+b),且|d-c|= ,求d,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些作用? 解题心得:1.向量共线的两种表示形式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用. 2.两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对

10、点训练3(1)(2015四川攀枝花模拟)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若为实数,(a+b)c,则= (,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,2)(2015郑州模拟)已知向量 ,且A,B,C三点共线,则k的值是(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的. 2.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解. 3.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理,从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题. 4.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,5.三个结论向量中必须掌握的三个结论: (1)若a与b不共线,a+b=0,则=0; (2)已知 (,为常数),则A,B,C三