导数基础练习题

1、o1与直线2x - y 4 =0的平行的抛物线 y二x的切线方程是（）A. 2x-y 3=0B. 2x-y-3 = 0C. 2x-y1=0D . 2x-y-1=02. 函数y =（x 1）2（x-1）在x=d处的导数等于（）A. 1B. 2C. 3D . 42 1 13. 过抛物线y =x上的点M （，-）的切线的倾斜角为（）2 4二二3 二二A. -B.-4334.函数 y =1 3x -X 有（ ）（A）极小值1，极大值1C .D .421、已知f x=x2，则f 3等于（A .0 1B . 2x2、f x =0的导数是（)A .0B .13、y=37的导数是（)A .3x2B . 1x2

2、3（C）极小值2,极大值24、曲线y =xn在x=2处的导数是12 ,（B）极小值2,极大值3（D ）极小值1，极大值3)C . 6D . 9C.不存在D .不确定_ 12C D233 xn等于（）D . 4A . 1B . 2C . 35、若f x =3匚，则f 1等于()1A . 0B .C . 33C. 2x -y -仁 0D . 2x - y = 07、在曲线y = x上的切线的倾斜角为的点是（）40,0B.2,4C.8、已知f x=x_53sinx，则x等于_6-5x -3cos x6B. x 3cosx6C . -5x3cos xD . x-6-3cos x9、函数 y =cos，

3、x的导数是（）-2cosxs in xB. sin 2xcos*xC. -2cos2 xD . -2sin2 x设y二f sinx是可导函数，则yx等于（）f sinxf sinx cosxC.f sin x sin xcosx cosx2 211、函数y =4 2 - x 3x 的导数是（8 2 -x 3x2B . 2(-1+6x(C.8 2 -x 3x2 6x -1D . 4 2 -x 3x2 6x-112、y 二sin23x 5cos x2 的导数是(22sin 3x -5sin x2B . si n6x-10xsi nxC.23sin 6x 10xsin x2D . 3sin6x-10

4、xsin x13曲线y =4xx3在点-1,-3处的切线方程是（y = 7x 4B. y =7x 214已知 a 为实数，f x = x2 -4 x-a，且 f T = 0 ,17、1正弦曲线厂sinx上切线斜率等于的点是18 函数y =lg x在点(1,0 )处的切线方程是 ,导数练习题(B)1. (本题满分12分)已知函数f(x) =ax3 - bx2 (c -3a -2b)x d的图象如图所示.(I )求c, d的值； (II )若函数f (x)在x = 2处的切线方程为 3x y -10 ,求函数f (x)的解析式；(HI )在(II)的条件下，函数y = f (x)1与y f (x)

5、 5x m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.32. (本小题满分12分)已知函数 f(x)=alnx-ax-3(a R).(I)求函数f (x)的单调区间；3(II )函数f (x)的图象的在x = 4处切线的斜率为一，若函数21 32mg(x) x3 x2f(x)在区间(1, 3)上不是单调函数，求 m的取值范围.323. (本小题满分14分)已知函数f(x) =x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值.(I)求实数a的取值范围；(II)若方程f(x)二(2a 3)29恰好有两个不同的根，求f (x)的解析式;4. (本小题满分12分)已知常数a 0， e为自然

6、对数的底数，函数 f(x)二ex -X， g(x)=x2-alnx .(I)写出f (x)的单调递增区间，并证明ea a ；(II )讨论函数y = g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.5. (本小题满分14分)已知函数 f(x) =1 n(x -1) - k(x -1) 1 .(I) 当k =1时，求函数f (x)的最大值；(II) 若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围;6. (本小题满分12分)2x已知x=2是函数f(x)=(x ax-2a-3)e的一个极值点(e = 2.718).(I)求实数a的值；3(h)求函数f(x)在x 2,3的最大值和最小值.7. (本小题满分14分)

7、已知函数 f (x) = x24x (2-a) Inx,(a R,aO)(I) 当a=18时，求函数f (x)的单调区间；(II) 求函数f (x)在区间e, e2上的最小值.& (本小题满分12分)已知函数f (x) =x(x-6)+aln x在x(2,亦)上不具有 单调性.(I)求实数a的取值范围； 正数为、X2，不等式|g(xj-gd 唱区-冷|恒成立.(II)若 f (x)是 f (x)的导函数，设 g(x) = f (x)64，试证明：对任意两个不相等x9.(本小题满分12分)1 2已知函数 f (x)x2-ax (a-1) Inx,a 1.(I)讨论函数f(x)的单调性；(II )

8、证明：若 a ： 5,贝V对任意 xx2(0, ：), Xj = x2,有 f 以)-1.Xr _X210.(本小题满分14分)1 2已知函数 f(x)x2 alnx, g(x) = (a 1)x ,a =-1.(I)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(II )若 a (1, e (e 271828 川，设 F(x) =f(x) -g(x)，求证：当 xnx 1,a时, 不等式 |F(xJ -F(X2)|：1 成立.11.(本小题满分12分)设曲线 C : f(x)=lnxex ( e = 2.71828 )，f (x)表示 f(x)导

9、函数.(I)求函数f (x)的极值；(II )对于曲线 C上的不同两点 A(Xi,yJ , B(X2,y2)，捲：X2，求证：存在唯一的 xo (Xi,X2)，使直线AB的斜率等于f(Xo).12.(本小题满分14分)定义 F(x,y) =(1 x)y,x,y (0,(I) 令函数f(x)二F(3,log2(2x-x2 *)，写出函数f(x)的定义域；(II) 令函数g(x) =F(1,log2(x3 ax2 bx 1)的图象为曲线 C,若存在实数b使得曲 线C在x( -4 ： X。： -1)处有斜率为一8的切线，求实数a的取值范围；(III )当 x, y N * 且 x ： y 时，求证

10、F (x, y) F(y, x).导数练习题(B)答案1. (本题满分12分)已知函数f(x) =ax3 - bx2 - (c -3a -2b)x d的图象如图所示.(I) 求c,d的值；(II) 若函数f (X)在x =2处的切线方程为3x y-11=0，求函数f (x)的解析式；1 *3l门 i个不同的交点，求m的取值范围.(III )在(II )的条件下，函数 y = f (x)与y f (x) 5x m的图象有三(2 分)(4分)解：函数 f (x)的导函数为 f (x) =3ax2 2bx c - 3a -2b(I)由图可知 函数f (x)的图象过点(0, 3),且f(1)=0 得：

11、d =3J =3Qa +2b +c-3a -2b=0:c=0(II )依题意 f (2)3 且 f (2) =512a +4b-3a -2b = -38a +4b 6a 4b +3 =5解得 a = 1, b = 6所以 f(x) =x3 -6x2 9x 3 ( 8分)(III ) f (x) =3x2 -12x 9 .可转化为：x3 -6x2 9x 3 二 x2 -4x 3 广 5x m 有三个不等实根，即：g x = x37x2 8xm与x轴有三个交点;g x = 3x2 -14x 8 = 3x -2 x-4 ,X113丿23Z2 G4丿4(4, + 农)gYx)+0-0+g(x)增极大值

12、减极小值增(10 分)2 68gm, g4-_16_m.3 27当且仅当gi2 =68 -m . 0且 g4 =_16_m：0时，有三个交点, (3 丿 2768故而，-16 ： m 为所求.272. (本小题满分12分)已知函数 f(x)二 alnx-ax-3(a R).(12 分)(II )函数f(x)的图象的在x=4处切线3的斜率为-,若函数21 32mg(x) x x f (x)在区间(1，3)上不是单调函数，求32a (1 x)解：(I) f(x)(x 0)m的取值范围.(2 分)x当a0时，f(x)的单调增区间为0,1,减区间为1,当a 0时,f(x)的单调增区间为,减区间为0,1

13、) 当a=1时，f (x)不是单调函数3a 3 /口(II) f(4)得a =-2, f(x) =-21 nx 2x-3421 3 m22.g(x) x (2)x 2x,. g(x)二 x (m 4)x232g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g(0) = -2加3,1919( 10 分)m (-二，-3)m ,33g(i) 0.(8 分).(5分)(6分)( 12(I)求函数f (x)的单调区间；分)3. (本小题满分14分) 已知函数f(x) =x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值.(I)求实数a的取值范围；(II)若方程f (x)二(2a 3)2- 恰好

14、有两个不同的根，求 f (x)的解析式；9(III )对于(II)中的函数 f (x)，对任意 R，求证：I f(2sin： )_f(2si)卜81. 解：(I) f (0) =0= c =0, f (x) =3x2 2ax b, f (1) =0= b =-2a-3.f (x) =3x2 2ax -(2a 3) =(x _1)(3x 2a 3),由f (x) =0= x =1或x - -_3，因为当x =1时取得极大值，32a +3所以- 丁 3，所以a的取值范围是：(7-3)；(4分)(II )由下表:xS)1。斗)2a +33/ 2a+3(c，3L(x)+0-0-f(x)递增极大值_a

15、2递减极小值a2(2a+3)2 27递增依题意得：害(纣3)2害，解得:-9所以函数f(x)的解析式是：f(x) x3 -9x215x(10分)(III )对任意的实数都有- 2乞2sin :乞2,-2岂2sin 一： 2,在区间-2，2有:f(-2) - -8 -36 -30 - -74, f (1) =7, f (2) =8 -36 30 =2f (x)的最大值是 f (1) 7, f (x)的 最小值是 f (_2)=8 -36 -30=74函数f (x)在区间-2,2上的最大值与最小值的差等于81，所以 | f(2sin ： ) - f (2sin -)81 .(14分)4. (本小题

16、满分12分)已知常数a 0 , e为自然对数的底数，函数f(x)二exx , g(x)=x2-alnx .(I)写出f (x)的单调递增区间，并证明ea a ；(II )讨论函数y=g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.解：(I) f(x)=ex-1_0，得 f(x)的单调递增区间是(0,；) , ( 2 分) a 0 , f (a) f (0) =1，二 ea a 1 a，即 ea a . ( 4 分)a(II ) g (x) =2x -x2a2(x)(x2 2x.2a(计2a)-，由 g (x) =0，得x=-，列表g(x)g(x) 2a 叶x时,2.2a-2_0极小值2a单调递减一 2

17、a(，；)+单调递增函数y=g(x)取极小值g()=空(1 _ln旦)，无极大值.2 2(8 分)(6分)2aeae2aaa . 2a由(I) e a ,.-a ，- e. ea22I2g(1) =1 0 , g(ea) =e2a - a2 =(eaa)(ea -a) 02 a(i) 当1，即0：a-2时，函数y=g(x)在区间(1,ea)不存在零点2V2a(ii) 当1，即a 2时2若旦(1-ln旦厂0, 即卩2”：a：2e时，函数y二g(x)在区间(1,ea)不存在零点22若旦(1 -1 n a) =0 , 即卩a =2e时，函数y =g(x)在区间(1,ea)存在一个零点x = e ；2

18、2若a(i n_|) ：0,即a 2e时，函数y=g(x)在区间(1,ea)存在两个零点; 综上所述，y二g(x)在(l,ea)上，我们有结论：当0 ： a ： 2e时，函数f (x)无零点；当a =2e时，函数f (x)有一个零点；当a 2e时，函数f (x)有两个零点.(12分)5. (本小题满分14分)已知函数 f(x)=ln(x-1)-k(x-1) 1 .(I) 当k =1时，求函数f (x)的最大值；(II) 若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围；2 -X解：(I)当 k -1 时，f (x)=x 1f(x)定义域为(1, + 旳)，令 f(x)=0,得 x=2 , ( 2 分

19、)/当 x (1,2)时,f (x) 0，当 x (2,；)时，f (x) ：0, f(x)在(1,2)内是增函数，在(2,；)上是减函数当x=2时，f (x)取最大值f(2) =0 ( 4分)(II )当k _0时，函数y =ln(x -1)图象与函数y =k(x -1) -1图象有公共点，函数f (x)有零点，不合要求；(8分)当k 0时，1 k kxk(xx -1x -1x -1(6分)k +1k +11,令 f (x) =0,得x, x (1,)时，f (x)0, x (1,：)时,f (x) ： 0 ,kkk11 f(x)在(1,1;)内是增函数，在1 ；,；)上是减函数，kk1-

20、f(x)的最大值是 f (1) - -ln k ,k函数 f (x)没有零点，-lnk：0, k 1 ,因此，若函数f (x)没有零点，则实数k的取值范围k (1：). (10分)6. (本小题满分12分)2x已知x=2是函数f(x)=(x ax-2a-3)e的一个极值点(e = 2.718).(I)求实数a的值；3(II)求函数f(x)在X ,3的最大值和最小值.2解：(I)由 f (x) = (x2 ax2a3)ex可得f (x) = (2x a)ex (x2 ax -2a -3)ex = x2 (2 a)x - a - 3ex (4 分)T x = 2是函数f (x)的一个极值点， f

21、(2) =0 (a 5)e2 =0，解得 a = -5 ( 6 分)(II )由 f (x) =(x -2)(x -1)ex0，得 f(x)在(-：,1)递增，在(2,：)递增，由f (x) e ,即a 2(e1)时，2f (x)在区间e, e2单调递减，所以 f(x)min = f(e2) =e4 -4e2 4-2a.f 若 e ： 1 2 : e2，即 2(e-1)2 ： a : 2(e2 -1)2时间，% 2a2a 2f (x)在区间e,1上单调递减，在区间1,e2上单调递增,22、2a、 ar 2 2所以 f(X)min 二 f(12a)2a-3 (2-a)l n(1).2 21即 0

22、 ： aW2 (e 1)2时,f (x)在区间e,e2单调递增,2a右12 (e2 -1)2 时，f (x) min =a当 2(e1): a ： 2(e -1)时，f (x)min2a-3 (2a)ln(12当 a w 2(e -1)2 时，f (x)min = e2 4e 2 - a& (本小题满分12分)已知函数f (x) =x(x-6)+aln x在x(2,址)上不具有 单调性.(I)求实数a的取值范围；冲)；214分2(II)若f (x)是f (x)的导函数，设g(x f (x)62，试证明：对任意两个不相等x38 正数X1、X2，不等式 |g(X1)_g(X2)*|X1_X21 恒

23、成立.2a 2x 6x * a 解：(l) f(X)=2x -6XX(2 分)(4分) f(x)在x(2,亦)上不具有单调性，.在 x(2,讼)上 厂(x)有正也有负也有 0,2 即二次函数y =2x -6x a在x三(2,亠.)上有零点2 y =2x -6x a是对称轴是x二壬，开口向上的抛物线， y =2 26 2 a ：0的实数a的取值范围(-：,4)(II )由(I) g(x) =2x a ,X X2方法 1： g(x) = f (x)-(6分)a 226 =2x2 (x 0),xx x3,” 、 c a 丄 4 c 4 丄 4 2x 4x + 4-a：4，g(x)=22-22-X X

24、X XX44、 812 4(2x-3)设 h(x) =2, h(x) -4 vXXXX33338h(x)在(0,-)是减函数，在(，：)增函数，当x 时，h(x)取最小值22227t 3838*38从而g (x),. (g(x) x)0 ,函数y二g(x) x是增函数，2727273838为、X2是两个不相等正数，不妨设X1 : X2，则g(x2)x2 g(x1)-2727/ 、/ 、 38/、小g(xJg(X2) 38 gX) g(xj 区一幼，：X2 -X1 0 ,.-27x -x227(8 分)x4Xi.g(xj g(x2)Xi -X2X -x2383827，即1 g(xi)-g(x2)

25、1 271 xi x21(12 分)方法2：皿化宀区)、N(x2,g(x2)是曲线y=g(x)上任意两相异点, = 2+2(*+x2)ag(xi) -g(X2)2 . 2(xi X2)a2 2 2X1 x2X1X22 2-X1X2NX24a小2(X1X2 )3 X1X2X22. X1X2 , a ：4_44(.X1X2)3X1X2(8 分)2设t -x1x2,t 0，令 kMN 二u(t)=2 4t3-4t2 , u (t) =4t(3t-2),22由 u (t)0,得 t -,由 u (t) : 0 得 0 ：t : ,3322.u(t)在(0,)上是减函数，在(一：)上是增函数，332 3

26、838.u(t)在t=处取极小值 一 ,.u(t) ,所以3 272738即 |g(xj -g(x2)|. 27IX1 -X219.(本小题满分12分)1 2已知函数 f (x) x -ax (a_1)lnx,a 1.2(I)讨论函数f (x)的单调性；g(xj g(x2)3827(12 分)(II )证明：若 a =5,则对任意 Xi,X2(0,二),Xia _1(1) f (x)的定义域为(0,v) , f(x)二x-axf(X1) - f(X2)11.X1 - X22x -ax a -1 (x - 1)(x 1 一 a)(x“2(i) 若 a -1 =1，即卩 a = 2，则 f(x).

27、故 f (x)在(0,=)单调增加.x(ii) 若 a -1 2、；x _ _(a 1) = 1 _Wa _1 _1)2.x由于a：a5，故g(x) 0,即g(x)在(0：)单调增加，从而当 g(xj - g(X2) 0,即f (xj - f(X2)人-X20,f (xj - f(X2)f(xj - f(X2)1 ,当 0 ：洛：x2 时，有一捲_X2捲 x20时有故Xr _X2f(X2)- f (X1)x2g(x) = f(x) x x _ax (a_1)ln x x.10.(本小题满分14分)1 2 已知函数 f (x) x aln x, g (x) = (a 1)x , a = T .2

28、(I)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(II )若 a (1, e (e 271828 川，设 F(x)=f(x) -g(x)，求证：当 xnx 1,a时,不等式 |F(X1)-F(X2)|：1 成立.a.解：(I) f (x) =x , g (x)二a 1 , ( 2分)x函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，2当 X 1,3时，f (x) g (x)=(a 1)(X 一 0 恒成立，(4 分)即(a 1)(x2 a) _0恒成立，a -1a ： -1 2在1,3时恒成立，或a _ -xa - 9 乞

29、x 乞1 , a -1 或 a -9,、1 2,a(xa)(x 1)(II ) F(x) xa In x, -(a 1)x , F (x) =x (a 1)=x F(x)定义域是(0, ：) , a (1, e，即 a 1 F(x)在(0,1)是增函数，在(1,a)实际减函数，在(a,；)是增函数1当 x=1 时，F(x)取极大值 M =F(1)=：_a-,21 2当 x=a 时，F (x)取极小值 m=F(a)=al na a -a ,2t x, ,x2 1,a, | F (xj -F (x2) |勻 M -m | = M -m1 2 1设 G(a) = M-m a -al na，则 G(a

30、)=a-l na-1 ,2 21G(a) =1a (1, e , G(a)f 0a G(a)=a-lna-1 在 a (1, e是增函数， G (a) G (1) = 01 2 1 G(a) a -al na 在 a (1, e也是增函数2 21 i(e_i)2 G(aG(e)，即 G(a)e2 -e1,2 2 2 2而 e2 e 丄2 1 ：竖 2 _i =i , G(a) =M m ： 12 2 2 2当x,x 1,a时，不等式| F (xj -F(X2)卜：1成立.11.(本小题满分设曲线 C : f(x)=lnxex ( e = 2.71828 )，f (x)表示 f (x)导函数.(

31、I)求函数f (x)的极值；(II )对于曲线C上的不同两点A(xi,yi),B(X2,y2),Xi： X2，求证：存在唯一的X0 (Xi,X2)，使直线1 解：(I) f (x) e =XX2在X，1,3时恒成立,-x(6分)(8 分)(10 分)(12 分)(14 分)12 分)AB的斜率等于 厂(Xo).1 - ex10，得 x =-eX1(0厂) e1 e1 1(一，七9 ef (x)+0一f (X)单调递增极大值单调递减当X变化时，f(X)与f (X)变化情况如下表：当x =丄时，f (x)取得极大值f (丄)=-2，没有极小值；e1 ln x2ln x,e(x2xj 一 -e =x

32、o(4分)(Il)(方法 1 ) f(X。)=k 3-lnXoX2 二X1即 Xo ln 西-(x2 - x, ) = 0，设 g(x) = xln 上2 - (x2 -xj X,X1x2g(x-)詁 In (X2 xj , g(x-)x./x9xIn -i 0 , g(xi)是 x,的增函数,ix-x2Xi: X2,-Xi: X2,-g(Xi) ： g(X2)=X2ln (X2 X2) = o ；X2x2(X2 Xi) , g(x2 ) Xi/ x2X =1 n-1 0, g(X2)是x2的增函数,XiX-Ig(X2) g(xj =xjn - (x- X-) =0 ,X-X2(10 分)函数

33、 g(x) =xln - -(X2-Xi)在(x-,X2)内有零点 x,X-X2X2X2又；一 i, In - 0 ,函数 g(x) = xln - -(x2xj 在(x, x2)是增函数,Xx,x函数g(x)二 一 -In翌在(xi,x2)内有唯一零点 X0，命题成立(12分)XX,(方法 2) f(xr kAB ,丄 _enX2|nXie(X2-Xi),X0X2 Xi即 X01n X2 -X0 In x- x- -X2 = 0， x 二(x- ,X2)，且 x0 唯一设 g (x)二 xIn x2x In x, x, -x2，贝V g(m) = x, In x2 -x, In x,x,-x

34、2,再设 h(x) = x In x2 -x In x x -x2, 0 ： x ： x2, h (x)二In x2-Inx 0 h(x) = xIn x2 - xIn x x _ x2在 0 ： x ： x2是增函数 g(x-) = h(x-) ： hg) =0，同理 g(X2)0方程 xIn X2 -xInx-x-X2=0在(x-,X2)有解(10 分)一次函数在(x!,x2) g(x) =(In x2 - In xjx x, -x2是增函数方程 xIn X2 -xInx- x- X2=0在(x-,X2)有唯一解，命题成立(-2 分)注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C不存在拐点，不给分.-2.(本小题满分-4分)定义 F(x,y) =(- x)y,x,r (0/:),(I) 令函数f (x)二F(3,log2(2x-x2 4)，写出函数f(x)的定义域；(II) 令函数g(x