北师大版(文科数学)第六章第2讲等差数列及其前n项和名师精编单元测试

1、,名校名师推荐 ,1(2018 洛阳模拟 )设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a2 a7a12 24，则 S13 ()A 52B 78C104D 208解析： 选 C依题意得 3a 24，a8， S 13(a1 a13)13a 104，选 C7713272若等差数列 an 的前 5 项和 S525，且 a2 3，则 a7 ()A 12B 13C14D 15解析： 选 B设 an 的公差为 d，由 S55(a2 a4)5(3 a4)2?252? a4 7，所以 7 32d? d 2，所以 a7 a43d 7 3 2 13.3在单调递增的等差数列 an 中，若 a3 1， a2a43，

2、则 a1()4A 1B 011C4D2解析： 选 B由题知 ，a2 a4 2a3 2，又因为 a2a4 3，数列 an 单调递增 ，所以 a2413.所以公差 da4 a21， a42.所以 a1 a2d 0.2224设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，则“ a6 a7 0”是“ S9 S3”的 ()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充要也不必要条件解析：选 A 法一 ：将它们等价转化为a1 和 d 的关系式a6 a70? a1 5d a1 6d0? 2a1 11d0； S9 S3? 9a1 9 8 d 3a1 3 2d? 2a1 11d 0.22法二 ：a6a70? a

3、1 a120，S9 S3? a4 a5, a9 0? 3(a1 a12) 0.5在等差数列 an 中， a1 29， S10 S20，则数列 an 的前 n 项和 Sn 的最大值为 ()A S15B S16CS15 或 S16D S17解析： 选 A 设 an 的公差为 d，因为 a129， S10 S20，所以 10a110 920 19d，解得 d 2，2d20a121,名校名师推荐 ,n(n 1)22所以 Sn29n( 2) n 30n (n 15) 225.所以当 n 15 时， Sn 取得最大值6在等差数列 an 中，a3 a9 27 a6，Sn 表示数列 an 的前 n 项和，则

4、S11 _11解析： 因为 a3 a9 27 a6，2a6 a3 a9，所以 3a6 27，所以 a6 9，所以 S11 2 ( a1 a11)11a6 99.答案： 997在等差数列 an 中，公差 d1，前 100项的和 S100 45，则 a1 a3 a5, a992_解析： 因为S100100a1 a1009， a1a9922(a1 a100 ) 45，所以10 a1a100 d ，则5a1 a3a5 , a99 50(a1 a99)50 2 10.225答案： 108设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，Sm 1 2，Sm 0，Sm 1 3，则正整数m 的值为_解析： 因为等差数

5、列 an 的前 n 项和为 Sn，Sm 1 2， Sm 0，Sm 1 3，所以 am Sm Sm 1 2， am 1 Sm 1 Sm 3，数列的公差d1， am am 1 Sm 1 Sm1 5，即 2a12m 1 5，所以 a13 m.由 Sm (3 m) m m(m1) 1 0， 2解得正整数m 的值为 5.答案： 59 (2016 考全国卷高 )等差数列 an 中， a3 a4 4， a5 a76.(1)求 an 的通项公式；(2)设 bn an ，求数列 bn 的前 10 项和，其中 x 表示不超过 x 的最大整数， 如 0.9 0，2.6 2.解： (1)设数列 an 的公差为 d，由

6、题意有2a1 5d 4， a1 5d 3.2解得 a11， d .5所以 an 的通项公式为an2n 35.2n 3(2)由 (1) 知， bn 52,名校名师推荐 ,2n 3当 n1， 2， 3 时， 1 2，bn 1；2n 3当 n4， 5 时，23， bn 2；2n 3当 n6， 7， 8 时， 3 4，bn 3；2n 3当 n9， 10 时， 4 5， bn 4.所以数列 bn 的前 10 项和为 13 2 2 3 3 4 2 24.10已知数列 an 的各项均为正数，前n 项和为 Sn，且满足2Sna2n n 4(n N* )(1)求证：数列 an 为等差数列；(2)求数列 an 的

7、通项公式解： (1)证明： 当 n 1 时，有 2a1a21 1 4，即 a21 2a1 3 0，解得 a13(a1 1 舍去 )2当 n2 时，有 2Sn 1 an 1 n 5，又 2Sn a2n n 4，两式相减得2an a2na2n 1 1，22即 an 2an 1 an 1，也即 (an 1)2 a2n1，因此 an1 an 1 或 an 1 an 1.若 an 1 an 1，则 an an1 1.而 a1 3，所以 a2 2，这与数列 an 的各项均为正数相矛盾，所以 an 1an 1，即 an an 1 1，因此数列 an 是首项为3，公差为 1 的等差数列(2)由 (1) 知 a

8、1 3， d 1，所以数列 an 的通项公式an 3 (n1) 1 n 2，即 an n 2.an是一个与 n 无关的常数，则该常数的可能值的1 (2018 张掖模拟 )等差数列 an 中， a2n集合为 ()1A 1B 1， 211， 1C 2D 0， 23,名校名师推荐 ,解析： 选 B an a1 (n 1)d a1 d nd ，若 a d，则 an 1；若 a 0，d 0，a2na1 (2n1)da1 d 2nd1a2n21则anan1，12n 1.因为 a1 d 0，所以2n 0，所以该常数的可能值的集合为2 .aa2设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a4 0，a5 |

9、a4 |，则使 Sn 0成立的最小正整数n 为 ()A 6B 7C8D 97(a1a7)解析：选 C在等差数列 an 中 ，因为 a4 0，a5 |a4|，所以 a5 0，a5 a4 0，S7 7 2a4 7a4 0， S8 8(a1 a8) 8(a4 a5) 4(a4 a5) 0.222所以使 Sn 0 成立的最小正整数n 为 8，故选 C3已知在等差数列 an 中， Sn 33，S2 n44，则这个数列的前 3n 项和 S3n 为 _3n44 3333442n nS2n n 解析：由题意知 ， n， n ， 2n，2n， 3n， 3n 三点在同一条直线上 ，从而有S3n 443n 2n，解

10、得 S3n 33.所以该数列的前3n 项的和为 33.3n2n答案： 334已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S17 306，则 a7 a3 _3解析： 设等差数列 an 的公差为 d，由前 n 项和公式可得S17 17a1 1716d 306，所2以 a1 8d 18.所以 a7a3a1 2d 2a1 16d22 18 12. a1 6d3 (a1 8d)3333答案： 125已知等差数列 an 前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求数列 an 的通项公式；(2)若 a2， a3， a1 成等比数列，求数列| an| 的前 n 项和 Sn.解： (1)设等差数列 an 的公差

11、为d，则 a2 a1 d，a3 a1 2d.3a1 3d 3，由题意得a1(a1 d)(a1 2d) 8，a1 2，a1 4，解得或d 3，d3.所以由等差数列通项公式可得an 2 3(n 1) 3n 5 或 an 4 3(n 1) 3n7.4,名校名师推荐 ,故 an 3n 5 或 an 3n 7.(2)当 an 3n 5 时， a2， a3， a1 分别为 1， 4， 2，不成等比数列；当 an 3n 7 时， a2 ， a3， a1 分别为 1， 2， 4，成等比数列 ，满足条件 3n7， n 1， 2，故 |an| |3n 7|3n 7， n 3.记数列 | an| 的前 n 项和为

12、Sn.当 n1 时， S1 |a1| 4；当 n2 时， S2 |a1| |a2| 5；当 n3 时， Sn S2 |a3| |a4| , |an | 5 (3 3 7) (3 47) , (3n 7)( n 2)2 (3n 7)3211n 10. 5 n 222当 n2 时，满足此式 ，当 n 1 时，不满足此式4， n1，综上 ，Sn3 2112n 2 n 10， n 2.6 (2018 阳第一次统一考试洛)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn， an0， a1 1，且 2an an 1 4Sn 3(nN * )(1)求 a2 的值并证明： an 2 an 2；(2)求数列 an 的通项公式1解： (1)令 n1 得 2a1a2 4S1 3，又 a1 1，所以 a2 2.2anan 1 4Sn 3， 2an 1an 2 4Sn1 3 得 ， 2an1(an 2 an) 4an 1.因为 an 1 0，所以 an2 an 2.(2)由 (1)