北师大版高中数学直接证明与间接证明名师精编单元测试(1)

1、名校名 推荐题组层级快练 (四十六 )1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()A 充分条件B必要条件C充要条件D等价条件答案A2要证明 3 72 5，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A 综合法B分析法C反证法D归纳法答案B解析从要证明的结论 比较两个无理数大小出发， 证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法，故选B.3要证 a2 b2 1 a2b20 只要证明 ()2 222 1a4 b4A 2ab1 a b 0B a b 022C.（ a b） 1 a2b2 0D (a2 1)(b2 1) 02答案D4下列不等式不成立的是()1A. 22 2C

2、233cos1答案B5若实数 a， b 满足 a b0 ，则 ()A a， b 都小于 0B a， b 都大于 0C a， b 中至少有一个大于0D a， b 中至少有一个小于 0答案D解析假设 a， b 都不小于0，即 a 0，b 0，则 a b 0，这与 a bQB P QC PQD由 a 的取值确定答案C解析要比较 P，Q 的大小关系，只要比较P2，Q2 的大小关系，只要比较2a 7 2a（a 7）与 2a 7 2（ a3）（ a 4）的大小，1名校名 推荐只要比较a（ a 7）与（a 3）（ a4）的大小，即比较 a2 7a 与 a2 7a 12 的大小，只要比较0 与 12 的大小，

3、 012， P0， b0， a b 1 则下列不等式不成立的是()A a2 b2 1B ab124C.114D. a b 1ab答案D解析222a b 21成立；a b (a b) 2ab1 2ab 1 2() ， A22a b 21， B 成立；ab (2)41 1 a b 1 1 4， C 成立；a babab（ ab）22( a b)2ab 2ab 12 ab1， a b1 ，故 D 不成立8命题“ a， b 是实数，若|a 1| (b 1)2 0，则a b 1”，用反证法证明时应假设_答案a 1 或 b 19用反证法证明命题：“a， b N ，ab 可被 5 整除，那么a，b 中至少有

4、一个能被5 整除”时，假设的内容应为_答案a， b 都不能被5 整除10设 a， b 是两个实数，给出下列条件：a b2 ； a2 b22. 其中能推出：“ a， b 中至少有一个大于1”的条件是 _ (填上序号 )答案解析取 a 2， b 1，则 a2 b2 2，从而 推不出能够推出，即若 ab2 ，则 a， b 中至少有一个大于1.用反证法证明如下：假设 a 1，且 b 1，则 a b2 与 a b2 矛盾因此假设不成立，所以a， b 中至少有一个大于 1.22211 (2017 江苏盐城一模 )已知 x1， x2， x3 为正实数，若x1 x2 x3 1，求证： x2 x3 x1x1x2

5、x31.2名校名 推荐答案略22 x2 x1222解析 x2 x1 x3 x3 2x22 2x322x12 2(x 1 x2 x3) 2， x2 x3 x1x2x3x1x2x12 1.x312 (1)设 x 是正实数，求证：(x2331)(x 1)(x1)8x .(2) 若 xR ，不等式 (x 1)(x 2 1)(x 3 1) 8x3 是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值答案(1)略(2) 成立，证明略解析(1)证明： x 是正实数，由均值不等式，得x 1 2x， x2 1 2x， x3 12x3.故(x 1)(x 2 1)(x 3 1) 2x 2x

6、 2x3 8x 3(当且仅当x 1 时等号成立 )233( 2) 解：若 xR ，不等式 (x 1)(x 1)(x 1) 8x 仍然成立当 x 0 时， 8x3 0，而 (x 1)(x 2 1)(x3 1) (x 1)2(x2 1)(x 2 x 1) (x 1)2(x21)(x 123) 0，此时不等式仍然成立24113设 a0，b0 ，求证： lg(1 ab) 2lg(1 a) lg(1 b)答案略证明要证 lg(1 11ab （ 1 a）（ 1b），ab) lg(1 a) lg(1 b) ，只需证2即证： (1 ab)2 (1 a)(1b)，即证： 2ab a b，而 2ab a b 成立

7、，1lg(1 ab) 2lg(1 a) lg(1 b) 14 (2017 北武汉调研湖)已知等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn， a3 5， S8 64.(1) 求数列 a n 的通项公式；(2) 求证： 1 1 2 (n 2， n N * )Sn 1 Sn 1 Sn答案(1)an 2n 1(2) 略解析(1)设等差数列 a n 的公差为 d，a3 a1 2d 5，则解得 a1 1， d 2.S8 8a1 28d 64，故所求的通项公式为an 2n 1.(2) 证明：由 (1) 可知 Sn n2，112要证原不等式成立，只需证（ n1） 2（ n1） 2n2，3名校名 推荐只需证 (n 1)2 (n 1)2222n 2(n 1).2221)2只需证 (n 1)n(n.只需证 3n21.而 3n21 在 n1 时恒成立，从而不等式1 12*)恒成立n1n 1Sn(n 2， n NSS15 (2015 湖南，理 )设 a0， b0，且 ab11.证明：ab(1)a b2；(2)a2 a2 与 b2 b0， b0 ，得 ab 1.ab ab(1)