概率论与数理统计-数学期望ppt课件

1、概率论与数理统计 第十一讲,主讲教师：程维虎教授,北京工业大学应用数理学院,前面讨论了随机变量及其分布。 如果我们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关于 X 的全部概率特征也就知道了,然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了,因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的,最常用的数字特征是：期望和方差,4.1.1 离散型随机变量的数学期望,概念引入,某车间对工人生产情况进行考察，车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。如何定义 X 的平均值,4.1 数学期望,第四章 数字特征,

2、若统计了100天小张生产产品的情况，发现,可以得到这100天中每天的平均废品数为,32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品,可以想象：若另外再统计100天，其中不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，即另外100天每天的平均废品数也不一定就是1.27,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品,可以得到这n天中，每天的平均废品数为,假定每天至多出三件废品,一般来说, 若统计了n天,这是以频率为 权的加权平均,由频率与概率的关系,不难想到：求废品数X的平均值时，用概率替代频率

3、，得平均值为,这是以概率为 权的加权平均,这样，就得到一个确定的数 随机变量X的期望(均值),定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 PX=xk=pk , k=1,2,也就是说：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数和,为X 的数学期望(或均值,在 X 取可列无穷个值时，级数绝对收敛 可以保证“级数之值不因级数各项次序的改 排而发生变化”，这样E(X)与X取值的人为排列次序无关,例1： 有4只盒子，编号为1, 2, 3, 4。现有3个球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号码，E(X,解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的值是1, 2,

4、3, 4。X=i 表示i号盒中至少有一个球，i=1, 2, 3, 4,为求 PX=1，考虑 X=1 的对立事件：1号盒中没有球，其概率为 (3/4)3，因此,X=2 表示 1号盒中没有球，而2号盒中至少有一个球，类似地得到,于是,1.两点分布：X B(1, p), 0 p 1，则 E(X)= 1p + 0(1-p) = p,常用离散型随机变量的数学期望,2.二项分布：X B(n, p)，其中 0 p 1，则,例2：某种产品次品率为 0.1。检验员每天检验 4 次,每次随机抽取10件产品进行检验，如发现次品数大于 1, 就调整设备。 若各件产品是否为次品相互独立, 求一天中调整设备次数的期望,解

5、：用X 表示10件产品中的次品数，则 XB(10, 0.1)， 每次检验后需要调整设备的概率为,用 Y 表示一天中调整设备的次数，则 YB(n, p)，其中n=4, p=0.2639。所求期望,3. 泊松分布: X P()，其中 0 ，则 E(X)=,4.1.2 连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，密度函数 f(x) 在数轴上取很密的点 x0 x1 x2, 则X 落在小区间 xi , xi+1) 的概率是,在小区间xi, xi+1)上,阴影面积,小区间Xi, Xi+1,由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可用 xi 来近似地替代,这正是,的渐近和式,阴影面积

6、,该离散型r.v 的数学期望是,从该启示出发，我们给出如下定义,定义2：设X是连续型随机变量，概率密度为 f (x), 如果 有限，则称,为X的数学期望,也就是说：连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值,例3：设随机变量X 的概率密度为,求 E(X),解,若X Ua, b, 即X服从a, b上的均匀分布, 则,若X 服从参数为 的指数分布，则,由随机变量数学期望的定义，不难计算出,若X 服从 ，则,这意味着：若从该地区抽查很多成年男子，分别测量他们的身高。则这些身高的平均值近似地为1.68,已知某地区成年男子身高X,例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时, 计

7、算 P1000X1200,解：由 E(X) = 1/ = 1000，知 = 0.001，X的概率密度为,4.1.3 随机变量函数的数学期望,I. 问题的提出,设随机变量X的分布已知，需要计算的量并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说是 g(X) 的期望。那么，如何计算呢,一种方法是：由于g(X) 也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望的定义把 Eg(X) 计算出来,但使用该方法 必须先求出g(X)的分布。一般说来，这是比较复杂的事,那么, 可否不求g(X)的分布，而只根据X的分布来计算 Eg(X) 呢,答案是肯定的。且有如下公

8、式,设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,当X为离散型时, P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时, X 的密度函数为 f(x,该公式的重要性在于：当我们求 Eg(X)时, 不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布足矣。这对求 g(X) 的期望带来了极大方便,例5： 设 X N(0 , 1)，求 E(X2,解,例 6：设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位: 吨)。X服从区间2000, 4000 上的均匀分布。每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元；若销售不出, 则每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货源，才能使国家收益最大,解：设组织货源 t 吨。显然，应要求

9、2000t 4000。国家收益Y(单位:万元)是X 的函数Y=g(X)。表达式为,由已知条件, 知X的概率密度函为,可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000 达到最大值 1.55106。 因此，应组织3500吨货源,说明,前面我们给出了求g(X)的期望的方法。实际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量函数 Z = g(X,Y)的情形,设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分布为 pij, i=1, 2, ， j=1, 2, . 则,设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为 f (x, y), 则,例7：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如

10、下表所示，求Z=X2+Y的期望,E(Z)= g(1,1)0.125+g(1,2)0.25 +g(2,1)0.5+g(2,2)0.125,解,4.25,例8：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为,求 E(XY,解,因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立,所以,3.1.4 期望的性质,1). 设C是常数，则E(C)=C,4). 设 X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y,2). 若k是常数，则E(kX)=kE(X,3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立,推广,推广,诸Xi 独立时,期望性质的应用,例9: 求二项分布的数学期望,分析：若 X B(n, p)，则 X 表示n重贝努里试验中“成功”的次数,设,则 X = X1+X2+Xn,i=1,2,n,由此可见：服从参数为n, p的二项分布的随机变量X的数学期望是 np,np,因为 PXi =1= p,PXi =0= 1-p,所以 E(X),E (Xi ) = p,例10：将 n个球放入M个盒子中, 设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的期望,解：引入随机变量,则 X=X1+X2+XM .于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+ +