第十章-三角形的有关证明-复习课件

1、第十章 三角形的有关证明 复习课件,知识归纳,1.等腰三角形的性质 性质（1）：等腰三角形的两个底角_。 性质（2）：等腰三角形顶角的_、底边上的_、底边上的高互相重合。 2.等腰三角形的判定 （1）定义：有两条边_的三角形是等腰三角形。 （2）等角对等边：有两个角_的三角形是等腰三角形,相等,平分线,中线,相等,相等,3.用反证法证明的一般步骤 （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 4.等边三角形的判定 （1）有一个角等于60的_三角形是等边三角形

2、,等腰,2）三边相等的三角形叫做等边三角形； （3）三个角相等的三角形是等边三角形； （4）有两个角等于60的三角形是等边三角形。 5.直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的_。 6.勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的_,一半,平方,逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_三角形。 7.线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_。 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_上。 【点拨】线段的垂直平分线可以看作和线段两个端

3、点距离相等的所有点的集合,直角,相等,垂直平分线,8.三线共点 三角形三条边的垂直平分线相交于_，并且这一点到三角形三个顶点的距离_。 9.角平分线的性质定理及判定定理 性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离_。 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边_相等的点，在这个角的平分线上,相等,相等,距离,一点,注意】角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件。 10.三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离_,相等,考点一线段垂直平分线的性质的应用,考点攻略,例1如图S11，在ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A

4、30，ACB80，则BCE_,50,解析】根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以EAEC，AACE30，又ACB80，故BCE803050,考点二全等三角形的证明,例2如图S12，在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明。 ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF,解：答案不惟一，命题一：在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，ABDE，ACDF，BECF。求证：ABCDEF。 命题二：在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，ABDE，ABCD

5、EF，BECF。求证：ACDF。 下面证明命题一： 已知：如题图，在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，ABDE，ACDF，BECF。 求证：ABCDEF,证明：在ABC和DEF中， BECF，BCEF。 又ABDE，ACDF， ABCDEF（SSS）。 ABCDEF,考点三勾股定理的应用,解析】这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题,解：将圆柱的侧面展开，如图S14，圆柱的

6、底面周长为2r24，取其一半：42，圆柱的高为2，根据勾股定理，得AC222228，所以AC2,考点四等腰三角形的判别,例4已知：在ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点。 （1）如图S15，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF，求证：DEF为等腰直角三角形； （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论,解析】要证明DEF为等腰三角形，需要证DEDF。连接AD，利用全等可得这一结论。至于在延长线上，可利用同样的方法,图S15,解：（1）证明：连接AD，如图S16： ABAC，BAC90，D为BC的中点， AD

7、BC，BDAD， BDAC45， 又BEAF， BDEADF（SAS）， EDFD，BDEADF， EDFEDAADFEDABDEBDA90， DEF为等腰直角三角形,2）若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S17所示： 连接AD， ABAC，BAC90，D为BC的中点， ADBD，ADBC， DACABD45， DAFDBE135。 又AFBE， DAFDBE（SAS,图S17,FDED，FDAEDB， EDFEDBFDBFDAFDBADB90， DEF仍为等腰直角三角形,考点五角平分线与“截长补短,例5如图S18，ADBC，点E在线段AB上，ADECDE，DCEECB。 求证：CDA

8、DBC,图S18,解析】结论是CDADBC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CFCB，只要再证DFDA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的,图S19,证明：在CD上截取CFBC，如图S19， 在FCE与BCE中， FCEBCE（SAS）， 21。 ADBC，ADCBCD180。 又ADECDE,DCECDE90， 2390，1490， 34。 在FDE与ADE中， FDEADE（ASA），DFDA。 CDDFCF，CDADBC,1.以下命题中，是真命题的是（） A.两条直线只有相交和平行两种位置关系 B.同位角相等 C.两边和一角对应相等的两个三角形全

9、等 D.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等,D,2.下列说法中，正确的是（） A.等腰三角形边上的中线也是高 B.等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 C.等边三角形每条角平分线都平分对边 D.直角三角形一边上的中线等于这边的一半,C,3.在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么它的三个内角之比为（） A.123 B.221 C.112 D.以上都不对,D,4.如图S19，ABC中，ACB90，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB10，AC5，则图中等于60的角的个数为（） A.2 B.3 C.4 D.5,D,图S110,5.如图S111，在RtABC中，C90，B

10、15，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE4，则AC_,2,图S111,6.若点P是ABC内一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且PDPEPF，则点P是ABC的（） A.三条高的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点,C,7.在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有（） A.只有一个 B.有两个 C.有三个或三个以上 D.有一个或没有,D,8.小明家有一块ABC的土地，如图S112所示，其三边长AB70米，BC90米，AC50米，现要把ABC分成面积比为579的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案,图S112,解：如图S113

11、所示，分别作ACB和ABC的平分线，相交于点D，连接AD，则SADCSADBSBDC579,图S113,9.如图S114，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连结AE，BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F。 求证：（1）FCAD； （2）ABBCAD,证明：（1）因为E是CD的中点，所以DECE。 因为ADBC，所以ADEFCE，DAECFE。所以ADEFCE。所以FCAD。 （2）因为ADEFCE，所以AEFE。又因为BEAE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以ABFB。因为FBBCFCBCAD。所以ABBCAD,10.如图S115，点C为线段AB上一点，ACM，CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E，直线BM，CN交于F点。 （1）求证：ANBM； （2）求证：CEF为等边三角形； （3）将ACM绕点C按逆时针方向旋转9