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文档简介

1、本节内容提要 基本思想 Newton插值多项式的构造 差商 定义、计算、性质 Newton插值多项式的误差,4.2 Newton插值多项式,基本思想,缺点：增加节点时，需要计算 ，而已得的,不能被利用,为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； 由唯一性，仅是形式上的变化,期望,一般递推得,上述修改过的 可看成是由点斜式直线方程往,n+1个插值点情形的推广，而Lagrange插值多项式是 由两点式直线方程推导而来的,注,一、系数 的确定,Lagrange插值,插值条件,基函数,依此公式麻烦,二、差商,1、定义,注：为统一记号，规定,称为零阶差商,类比,导数,差商,2、差商的计算,列差商

2、表,解一,例,解二,可见，求各阶差商是方便的，且,位于差商表的对角线上,3、性质,证明：（归纳法,通分,注,对称性差商与节点的排列次序无关；（线性组合） 因而当增加节点时，只需在差商表的末尾加上一行即可,差商定义亦可变成,证明,三、Newton插值多项式,1、定义,称为 次Newton插值多项式,例,解,2、余项,带余项的Newton插值公式,比较可知， 与 的确只是形式上的不同,注,Newton插值多项式便于计算，而Lagrange插值 多项式多用于理论推导,性质2,例：(上例中)插值余项为,例,证明：（归纳法,Newton插值公式求解插值问题的算法 算法 1.初始化 xn保存n个插值点； fnn保存n个插值点的函数值和各阶差商 i-求解j阶差商的下标 j-差商的下标j=1,n 2.按差商表计算各解插商： 循环：j=1到n(按列计算1，2，,n阶) 循环：i=j,n fij=(fij-1-fi-1j-1)/xi-xi-j 3.输出fii(i=0,n,4.计算N(x): N=fnn 41循环：i=n-1;i=0;i-) N

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