《利用向量法求空间角》教案Word版

1、传播优秀 Word 版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！ 3.2.33.2.3 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角 教学目标教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点教学重点 求解二面角的向量方法 教学难点教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程教学过程 一、复习引入 1用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉

2、及的点、直线、平面， 把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等 问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） 2向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义：bababa,cos| （2）两向量夹角公式： | ,cos ba ba ba （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 知识点知识点1 1：面直线所成的角：面直线所成的角（范围：） 2 , 0( （1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b，那么直线

3、 a与 b 所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线 a、b 的方向向量分别为和，ab 问题问题 1 1： 当与的夹角不大于 90时，异面直线 a、b 所成ab 的角与 和 的夹角的关系？ ab 问题问题 2 2：与的夹角大于 90时， ，异面直线 a、b 所成的角ab 与 和的夹角的关系？ ab a b O O b a O b a ba, ba, 传播优秀 Word 版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！ 结论：异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 | | |,cos|cos nm nm nm 思考：思考：在正方体中，若与分别为、

4、1111 DCBAABCD 1 E 1 F 11B A 的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？ 11D C 1 DF 1 BE （1）方法总结：几何法；向量法 （2）与相等吗？ 11, cosBEDFBEDF 11, cos （3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ 例例 1 1 如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的 111 CBAABC aa2 1 AC 1 CB 角. 解法步骤：解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解：如图建立空间直角坐标系，则xyzA )2, 0(),0 , 2 1 , 2 3 (),2, 2 1 ,

5、 2 3 (),0 , 0 , 0( 11 aaBaaCaaaCA ，)2, 2 1 , 2 3 ( 1 aaaAC)2, 2 1 , 2 3 ( 1 aaaCB 即 2 1 3 2 3 | ,cos 2 2 11 11 11 a a CBAC CBAC CBAC 和所成的角为 1 AC 1 CB 3 练习 1：在 RtAOB 中，AOB=90，现将AOB 沿着平面 AOB 的法向量方向平移到 A1O1B1的位置，已知 OA=OB=OO1，取 A1B1 、A1O1的中点 D1 、F1，求异面直线 BD1与 AF1所成的角的余弦值。 解：以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设 OA=1,

6、则 A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F1( ,0,1) ，D1( , ,1) 2 1 2 1 2 1 ) 1 , 0 , 2 1 ( 1 AF) 1 , 2 1 , 2 1 (, 1 BD 10 30 2 3 4 5 10 4 1 | ,cos 11 11 11 BDAF BDAF BDAF 所以，异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值为 A x D C B 1 A z y 1 D 1 C 1 B 1 E 1 F A y x C B 1 A D 1 B 1 C 传播优秀 Word 版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！ A y x C B 1 A D 1 B 1 C 知识点知识

7、点 2 2、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角（范围：） 2 , 0 思考：设平面的法向量为，则与的关系？nBAn, 据图分析可得：结论： 例例 2 2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和 111 CBAABC aa2 1 AC 所成角的正弦值.BBAA 11 面 分析：分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系，则xyzA), 0 , , 0(),2, 0 , 0( 1 aABaAA )2, 2 1 , 2 3 ( 1 aaaAC 设平面的法向量为BBAA 1

8、1 ),(zyxn 由 0 0 0 02 0 0 1 z y ay az ABn AAn 取，1x)0 , 0 , 1 (n 2 1 3 2 3 | ,cos 2 2 1 1 1 a a NAC nAC nAC 和所成角的正弦值. 1 ACBBAA 11 面 2 1 练习：练习：正方体的棱长为 1，点、分别为、的中点.求直 1111 DCBAABCD EFCD 1 DD 线与平面所成的角的正弦值. 11C BCAB1 A B O BAn, 2 A B O n 2 , BAn A B O n （图 1） （图 2） |,cos|sinABn 1 31 (,2 ) 22 ACaaa 传播优秀 Wo

9、rd 版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！ 知识点知识点 3 3：二面角：二面角（范围：）, 0 方向向量法：方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二 面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中l .CDlCDABlAB, 结论： 例例 3 3 、 如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面上的点 B 处.从 A，B 到直线 （库底与水坝的交线）的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b ,CD 的长为 c , AB 的长为 d .求 库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图. dABcCDbBDaAC， 根据向量的加法法则, .DBCD

10、ACAB 2 2 2 )(DBCDACABd )(2 222 DBCDDBACCDACBDCDAC DBACbca2 222 DBCAbca2 222 于是，得 2222 2dcbaDBCA 设向量与 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.CADB 因此 .cos2 2222 dcbaab 所以 . 2 cos 2222 ab dcba 库底与水坝所成二面角的余弦值是. 2 2222 ab dcba 3 3 31 010 DC B A l | ,coscos CDAB CDAB CDAB B x A D C 1 B z y 1 A 1 D 1 C A B 传播优秀 Word 版文档 ，希望对您有

11、帮助，可双击去除！ 法向量法法向量法 结论： 或 归纳：归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量 夹角的补角. 例例 4 4、如图，是一直角梯形，面，ABCD90ABCSAABCD ，求面与面所成二面角的余弦值.1BCABSA 2 1 ADSCDSBA 解：如图建立空间直角坐标系，则xyzA ) 1 , 0 , 0(), 0 , 2 1 , 0(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 0(SDCA 易知面的法向量为SBA) 0 , 2 1 , 0( 1 ADn ) 1, 2 1 , 0(), 0 , 2 1 , 1 (SDCD 设面的法向量为，则有SC

12、D),( 2 zyxn ，取，得， 0 2 0 2 z y y x 1z2, 1yx) 1 , 2 1 , 1 ( 2 n 3 6 | ,cos 21 21 21 nn nn nn 又方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 1 n 2 n 即所求二面角的余弦值为. 3 6 练习：练习：正方体的棱长为 1，点、分别为、的中点.求二 1111 DCBAABCD EFCD 1 DD 面角的余弦值。DAEF 1 n l 2 n 21,n n 21, coscosnn 21, coscosnn 1 n l 2 n 21,n n 21,n n 21,n n A BC D x z y S 传播优秀 Word 版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！ 解：由题意知，则)0 , 1 , 2 1 (), 2 1 , 1 , 0(EF) 2 1 , 1 , 0(AF)0 , 1 , 2 1 (,AE 设平面的法向量为，则AEF),(zyxn ，取，得 0 2 1 0 2 1 0 0 yx zy AEn AFn 1y2 zx )2, 1 , 2(n 又平面的法向量为AED) 1 , 0 , 0( 1 A