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1、第一节 常数项级数的概念和性质,第十一章 无穷级数,1. 级数的定义,常数项)无穷级数,部分和数列,级数的部分和,2. 级数的收敛与发散,当 n 无限增大时, 如果级数 的部分和数列 有 极限 s , 即 则称无穷级数 收敛 , 这时极 限 s 叫做级数 的和. 并写成,如果 没有极限 , 则称无穷级数 发散,余项,即 常数项级数收敛(发散) 存在(不存在,即 误差为,例1 讨论等比级数(几何级数) 的收敛性,解,收敛,发散,发散,发散,综上可得,已知级数为等比级数,例2 判别无穷级数 的收敛性,解,解,例3 判别无穷级数 的收敛性,解,等比级数,例4 试把循环小数 表示成分数 的形式,结论:

2、 级数的每一项同乘一个不为零的常数 , 敛散 性不变,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减,3. 无穷级数的基本性质,性质1 如果级数 收敛 , 则 亦收敛,性质2 设两收敛级数 则级数 收敛 , 其和为,解,例5 求级数 的和,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数 的敛散性,性质3 若级数 收敛 , 则 也收敛 . 且 其逆亦真,证明,性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原 来的和,注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,收敛,发散,推论 如果加括弧后所成的级数发散 , 则原来级数也 发散,证明,级数收敛的必要条件是,4. 收敛的必要条件,级数收敛,注意,1. 如果级数的一般项不趋于零 , 则级数发散,发散,2. 必要条件不充分,讨论,8项,4

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