八年级数学下册反比例函数知识点归纳

1、新人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1 理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式k y 尢（k为常数，上芒）,能判断一个给定函数是否为反比例函数.2 能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理 解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.ky 3 能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数盂（k为常数，无）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.4 对于实际问题，能 找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实 际问题”的过程，体会函数是

2、刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.5 进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认 识数形结合的思想方法.（三）重点难点1 重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握 和运用.2 难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.二、基础知识（一）反比例函数的概念ky 1. x （上峯o）可以写成y = （上工。）的形式，注意自变量 x的指数为一1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数上工这一限制条件；k严二2. 尤（七註 ）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式；y =3反比例

3、函数誥的自变量盘工。，故函数图象与 x轴、y轴无交点.（二）反比例函数的图象ky=在用描点法画反比例函数尢的图象时，应注意自变量 x的取值不能为0,且x应对称取点（关于原点对称）.（三）反比例函数及其图象的性质严二1 .函数解析式：（上M ）2 .自变量的取值范围：3 .图象：（1 ）图象的形状：双曲线.阳越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.阳越小，图象的弯曲度越大.（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当疋时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当疋时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大.（3） 对称性

4、：图象关于原点对称，即若（a, b）在双曲线的一支上，卩（一口，一山）在双曲线的另一支上.图象关于直线y=X对称，即若（a, b）在双曲线的一支上，则（色，左）和（- ,曲）在双曲线的另一支上.4. k的几何意义如图1,设点P (a , b)是双曲线-上任意一点，作 PA丄x轴于A点，PB丄y轴于B点，则矩形PBOA的面积是-(三角形PAO和三角形PBO的面积都是 ).如图2,由双曲线的对称性可知， P关于原点的对称点 Q也在双曲线上，作QC丄PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为 Jz11图1图25 说明：(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个当心灯时，两图象

5、没有交点；当俎忑：川时，两图象必有两个交点，且这两 个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.(四) 实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：(1) 待定系数法；(2 )根据实际意义列函数解析式.2 .注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.(五) 充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析1 反比例函数的概念(1)下列函数中，y是x的反比例函数的是().A. y=3xB. -3=C. 3xy=1(2) 下列函数中，y是x的反比例函数的是().1B .-二答案：(1) C; (2) A .2 .图象和性质(1 )已知函数；1 +是反比例函数, 若它的图象在第二

6、、四象限内，那么k=若y随x的增大而减小，那么k=(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数ahy -工的图象位于象限.(3)若反比例函数卩兀经过点(一1 , 2)，则一次函数一&+2的图象一定不经过第象限.(4)已知 a b v 0,ay 点P (a, b)在反比例函数亠的图象上,则直线1-不经过的象限是().A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限dy =(5)若P (2 , 2)和Q ( m ,)是反比例函数人图象上的两点,则一次函数y=kx+m的图象经过().A .第一、二、三象限C 第一、三、四象限B 第一、二、四象限D 第二、三、四象限（6）已

7、知函数丿二k（f-l）和 工（k和），它们在同一坐标系内的图象大致是（）.x（1）在反比例函数(3)四；(4) C; ( 5) C; (6) B .的图象上有两点，且2范沁，则H 耳的值为（).A .正数B .负数C .非正数D .非负数71y =(2)在函数.（a为常数）的图象上有三个点则函数值 戸、必、用的大小关系是（).D .兀（3 ）下列四个函数中：丁 ;5y = - 1y随x的增大而减小的函数有（).D.k（4 ）已知反比例函数L的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填增大”或减小”）.A .此 乙门答案：(1) A; (2)

8、D ; (3) B.注意，（3）中只有是符合题意的，而是在每一个象限内”y随x的增大而减小.A .正比例函数卞与亠：成正比例，则y是z的（）.B 反比例函数C .一次函数D .不能确定F 二（2） 若正比例函数y=2x与反比例函数咒的图象有一个交点为（2, m）,贝Um= , k=，它们的另一个交点为 .3?_ m（3） 已知反比例函数. 讥 的图象经过点、： ：，反比例函数-的图象在第二、四象限，求喇的值.抨3 +1y 二1（4） 已知一次函数 y=x+m与反比例函数：（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0, 3）.求x0的值；求一次函数和反比例函数的解析式.贺套克）（5）为了预防非典”

9、某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题： 药物燃烧时y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范围是 ;药物燃烧后y关于x的函数关系式为 . 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室；研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效

10、？为什么?答案：（1）B ；(2) 4, 8 , (一；，一4 );(3)依题意:1 且，解得=-(4)依题意,U =1-；解得皿2；一次函数解析式为，反比例函数解析式为(5)“尸一（心可U兰忑兰詁工., ,30 ;消毒时间为-3x2= 13.25 10-(分钟)，所以消毒有效.面积计算/ 二（1）如图，在函数（2）如图，A、B是函数 -的图象上关于原点C O对称的任意两点，AC/y轴，BC/X的图象上有三个点 A、B、C,过这三个点分别向 x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为 $、禺、耳,则（）轴， ABC的面积S，则（）A S=1B. 1v S v

11、2C S=2m(3)如图，Rt AOB的顶点A在双曲线一 i上，且 2 AOB=3，求m的值.O B第(3)题图第(4)题图4y (4) 已知函数 工的图象和两条直线 y=x , y=2x在第一象限内分别相交于 P1和P2 两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为 Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为 Q 2，R 2，求矩形 O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R2的周长，并比较它们的大小.17 =(5) 如图，正比例函数 y=kx ( k0)和反比例函数亠的图象相交于 A、C两点,则S=过A作x轴垂线交x轴于B ,连接B

12、C ,若 ABC面积为S,第(5)题图(6) 如图在Rt ABO中，顶点A是双曲线-与直线在第四象限3的交点，AB丄x轴于B且SA ABO=二. 求这两个函数的解析式； 求直线与双曲线的两个交点 A、C的坐标和 AOC的面积.(7) 如图，已知正方形OABC的面积为9，点0为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数 -(k 0 , x 0)的图象上，点P (m , n)是函数 无(k0,x0)的图象上任意一点， 过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、 F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为 S . 求B点坐标和k的值； =- 当2时，求点P的坐标； 写出S关于m的函数关系

13、式.答案：(1) D ；(2) C ; (3) 6 ;(4) 丘(工，“返)，矩形o Q 1P1 R 1的周长为8 , O Q 2P2 R 2的周长为M，前者大.(5) 1 .3(6) 双曲线为雄，直线为直线与两轴的交点分别为(0, 2 )和(2 , 0)，且A (1 , )和C (弓,1),S =- 一时，E (6 , 0),因此面积为4.综合应用（1）若函数y=k1x （k1 M0）和函数（k2老）在同一坐标系内的图象没有公共则 k1 和 k2（）.C.绝对值相等D .符号相反A 互为倒数B 符号相同m y =（2）如图，一次函数的图象与反比例数工的图象交于 A、B 两点：A （一2 ,

14、1） , B （1, n）. 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.（3）如图所示，已知一次函数上（k老）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数只（m老）的图象在第一象限交于 C点，CD垂直于x轴，垂足为 D，若0A=0B=0D=1. 求点A、B、D的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式. *n的图象与反比例函数 “的图象交于第一象限 C、D两点，坐标轴交于 A、B两点，连结OC, OD ( O是坐标原点).利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值;双曲线上是否存在一点 P，使得 POC和厶POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(5 )不解方程，判断下列方程解