抽象函数的单调性

1、 料推荐抽象函数的单调性抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。思路：添项法。类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。一类：一次函数型函数满足： f (a b)f (a)f (b) k 或f (a b)f (a) f (b) k例 1、f ( x) 对任意 x, y R 都有： f (xy) f (x)f ( y) ，当 x0时, f (x)0 ，判断 f ( x) 在 R 上的单调性。解： x1, x2R, x1x2f x1f x2f ( x1x2x2 ) f x2f ( x1x2 )f ( x2 )f x2f ( x1x2 )x1x2x

2、1x20, f ( x1x2 ) 0f x1fx20, f ( x)在 R上是增函数例 2、 f(x)对任意实数 x 与 y 都有f (x) f ( y) f (x y) 2 , 当 x0 时,f(x)2（ 1）求证 :f(x)在 R 上是增函数；（ 2）若 f(1)=5/2,解不等式 f(2a-3) 0 的函数 , 且 f(xy) = f(x) + f(y);当 x1 时有 f(x)0 上是减函数；（ 3）解不等式 f(x) + f(2-x) 1。，（22、若非零函数 f ( x) 对任意实数 a,b 均有 f ( a b)f (a) f (b) ，且当 x0时， f (x)1；（ 1）求证

3、： f ( x) 0 ；（2）求证： f ( x) 为减函数（ 3）当 f (4)1时，解不等式f ( x 3) f (5 x2 )1；164函数满足： f (a b)f (a) f (b)af (a)四类：幂函数型或 f ()bf (b)例 1、已知函数 f ( x) 满足： 对任意 x, yR ，都有 f ( xy)f ( x) f ( y) ， f ( 1) 1, f (27) 9,且当 0x1时， f (x)0,1 。（I ）判断 f ( x) 的奇偶性，（ II ）判断 f ( x) 在 0,上的单调性，并证明。 （ III ）若 a0，且 f (a 1)3 9 ，求 a 的取值范围

4、。五类：其他类数函数型例 1、定义在1,1 上的奇函数y f ( x) 有 f (1) 1 , 且当 m,n1,1 时f (m)f (n)0,( mn) , 总有 :nm（ I ）证明 : f ( x) 在 1,1 上为增函数 ,(II) 解不等式 : f ( x1 )f (1 ) ,(III) 若 f ( x) t 22at1 对所有2x1x1,1 , a1,1 恒成立 ,求实数 t 的取值范围 .3 料推荐例 2 、定义在（）上的函数满足，对任意都有，且当时，有， （ 1）试判断的奇偶性；（ 2）判断的单调性；【专练】,1(1,)上的奇函数满足： f (3)1 ；对任意的 x2 ，均有 f

5、 (x) 0 ；： 1、已知定义在对任意的 x, yR ，均有 f (x1)f ( y1)f ( xy 1) ；（ 1 ）试求f (2)的值； （ 2 ）求证：f ( x) 在 (1,) 上是单调递增；（ 3）已知对任意的(0, )，不等式f (cos2a sin) 3 恒成立，求 a的取值范围，2、已知函数 f（ x）的定义域为 x| x k， k Z ，且对于定义域内的任何x、 y，有 f（ xy）=f (x) f(y) 1成立，f (y) f (x)且 f（ a） = 1（ a 为正常数），当 0 x 0（ I ）判断 f（ x）奇偶性；（ II ）证明 f（ x）为周期函数；（ III ）求 f （ x）在 2a， 3a 上的最小值和最大值3、已知 f (x) 是定义在 - 1,1上的奇函数，且f (1) 1，若任意的a、b 1,1 ，总有 ( ab)( f (a)f (b) 0（ 1 ）判断函数 f ( x) 在 - 1,1 上的单调性，并证明你的结论；（ 2 ）解不