无穷级数复习讲义36289

1、 第七章 无穷级数考试内容 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet）定理 函数在 上的傅里叶级数 函数在 上的正弦级数和余弦级数 考试要求 1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，

2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。 3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5。 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 arctanxxcos)ln(1?xxsi

3、n的麦克劳林（Maclaurin 10掌握 ，）展开式，会用及它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。 一.无穷级数概论 1.无穷级数定义?.?.?a?aa?aa.为无穷级数为一个数列，称设 321nn1n? ?a只是一种形式上的记法.只有讨论了收敛性，才有意义：注记1但.nn?1 2.无穷级数收敛的定义 部分和、部分和数列的定义(1) 1 n?aaS?.前项和对任意，称数列的部分和为级数aN?nnknkn1?1kk ?a的部分和数列.

4、为级数称数列 Skn1k?(2)无穷级数收敛的定义 ?aa是收敛的，并且记是收敛的，则称级数的部分和数列若级数Skknk?1k?1 ?limaS. nkn?1?k3. 无穷级数收敛的性质(1) 无穷级数收敛的必要条件I?aS有界若无穷级数.反之不然收敛，则其部分和数列. nnn?1 ?aSSS但收敛，因此，其部分和数列由于于是，.有界收敛，事实上，nnnnn?1n?1?1)?1?(1n?S1?SS，部分和数列为有界，.例如，级数却未必收敛 nnn21n?n?1?1?不收敛. 有界，但1n?1?不收敛. 例1. n1?n事实上， 1111S?1?.? n234n111111111111? ?1?

5、.?.? ?nn1loglognloglogn?2345678n2?122?12?1?2222?logn?1111141222?)?(n?.1?.? ?1?1nlog? ?2nlog222224822?1?S 不收敛，即.不收敛于是， nn1n? 2 (2)无穷级数收敛的必要条件II ?a .若收敛，则 0?limann?n1?n?a，于是，部分和为事实上，假设，则收敛，记SSSlimS?nnnnn?1n? ?limS?limS?S?S?lima?lim0S?S. 1?nnnnn?1?n?n?n?n?11?不收敛.例如，虽然，但无穷级数 但反之结论不成立0?lim nn?n1?n (3)无穷级

6、数收敛的必要条件III ?a收敛，则对其任意加括号都收敛，而且级数和不变 若无穷级数. nn?1 假设加括号后的级数写为 ?aa?a.?.?a?.a?a?a.?a?a?a.?a?aii12?1ii?i1i2i?2?i1i2i?n31?12112n?21n1?n?aSS?S0i?则其部分和为收敛，于是，由于这里，收敛，于是，其.nin0nn1?n?a?a?a.?S的一样，即级数任意子列收敛，且收敛值与Siii?1?2innnn?1?1n1n?a?a.?a?a? .收敛，且n2i?1i?inn?11n?1n?1n?(4)无穷级数收敛的充分必要条件I ?aSS) 无穷级数(收敛当且仅当且或收敛. 0

7、?limann1n2n?2n?1?n ?a收敛当且仅.至于充分性，我们利用了这样一个事实：数列必要性是显然的n?a?SS?S0?n?aalim?lima，当而而.现在，收敛了，nn2?122n122nn?nn22n?n?SSSlim?limS收敛，也是同理的若也收敛故.于是，n221?n12n?nn?n? 3 (5)无穷级数收敛的充分必要条件II ?aaa?.收敛收敛当且仅当且 无穷级数0a?limn1n22n?nn?n?1?1n ?aa?也可以.或者说 1?2n2n1n?a?a收敛，则其部分和数列 必要性是显然的.至于充分性，若n122n?1n? nn?SSa?a?是收敛的，但，因此，收敛.

8、又lim?0aa?a?n2k?1k22nn2k22k?1n?1?k1k?a?aa收敛，若则其部分和数列收敛.因此，由(4)的结论，无穷级数1n2nn?2n?1n?1 n1?n2n?Sa?a?S?a?aa，因此，也收敛.又也a?a?112k?1n2k?12k1?2n1?22kk?1k?k?11?k?a收敛. 又由于，因此，由(4)，无穷级数收敛.0lima?nn?n1?n4.无穷级数的运算性质 ?baa?b 也收敛，且和收敛，则(1)若无穷级数nnnn1?1n?n1?n?baa?b? .nnnn11nn?1?n?ba?abBA部分和为的部分和为的部分和为， ，事实上，假设nnnnnn1?n1?n

9、1n?aBA?CC?limAlimBlimC于是，由于.，存在收敛，因此，则显然有.nnnnnnnnn?n?n?1?n?baba?abB?ClimAlimlim.且且即收敛，存在，nnnnnnnnn?n?n?n1?1n?n?1n1n? ?acaaca?ca.收敛，且若则，(2)设常数收敛性与则相同，0?cnnnnnn?1n?1n?1n?1n?1 4 二.正项级数 1.正项级数的定义 每一项都非负的级数称为正项级数.2.正项级数收敛的基本定理 正项级数收敛当且仅当其部分和数列有界.?a有界，这是容易知道收敛，则其部分和事实上，若收敛，因此，SSnnn1?n?有极限，S有界，则是一个单调不减的数列

10、，如果S的。另一方面，Snnn?a 即是收敛的。n1n? 3.比较判别法及其极限形式 (1)比较判别法 ?ab都是正项级数.假设存在一个正常数，以及正整数，使得设cNnnn?1n?1?ab 收敛，则收敛，总有当.若.cba?N?nnnnn1?n1n?abBA，则对任意，的部分和为事实上，我们假设，的部分和为Nn?nnnnn?1n?1 NnNnNNNNNn?cBcbcb?a?cb?aa?cb?cbA?a?a?nkknkkkkkkkk?1?111k?k?1kk111k?k?N?1k?k?N?1k?k?N?aABb收敛.若有界。于是，有界，于是，收敛，则nnnnn?11n? (2)比较判别法的极限形

11、式 ?a?nllim?aabb收敛，则.和当为正项级数 设.如果，若 0l? nnnnb?nn?1n?1n?1n?1n?aab收敛，则.，则当收敛.当与，若的敛散性相同?l?0l?nnnn?1n?11n? 5 ?收敛. bn1n?an?1a?b.由比较判别事实上，若，存在一个，当，即，有NnN?0l?0? nnbn?a收敛.若，则存在一个法，若，使得当收敛，则，bNn?00?l?Nnnn?11n?a1313?nl?l?收敛.收敛，由比较判别法，若.，即若由ablba?lb? nnnnn2b222n?1n?1n?b?n0?limaa收敛，.则由收敛，由比较判别法，收敛.若，则b?l? nnna?

12、n11n?n?1n?n?b收敛. n1n? 4.比值判别法及其极限形式?a?1n?r?a为正项级数.若存在一个和，使得当，有(1)假设N?1nN?0?0?r nan?1n?a?1n?r?aa收敛.若存在一个和则，使得当发散.则，有N?0nN?1r? nnan?1n?1n 事实上，若，当，有 1?n?0?r?1N?3kn?22N?1ar?ra.?r?a.?a?rarrra?r?ar?aNn?k1?3?n2n3nnn?1?n2 ?1Nn?ar.是收敛的.由比较判别法，级数由于，因此，级数收敛1?0?rn1n?1?n ?1?n?N1?Nnara?r，因此，级数，当若.由于，类似地，有1N?n?1?1

13、r?r1nN?1?n?a是发散的. 是发散的.由比较判别法，级数n1n?(2)比较判别法的极限形式 ?a?1n?lim?laaa假设.则，若.则，收敛.若为正项级数发设1?l1l nnna?nn?1n?1n?1n 6 ，此法失效.散.若1?l1l?，则存在一个事实上，若，任取，当(例如)?N?1nl?0?1?Nl? 2?a?1?n有(任取.由于例如，由比值判别法，收敛.若?a1l1l1?0? na1n?n?a1l?1?n1?有，有，则存在一个，当.由比值判别法，)a?Nn?N?0 na21?nn?a11?1n?，则若，取，但级数发散.又取，则发散.lim1?a?aa?1l? nnn2ann?n

14、?1?nna111111111n?lim1?，而发散.但1n? 22an?1)n1nn(n?nn(n?1)n?1n?nn n?1111?1?1?.，因此，是收敛的.这说明当，此法失效了1l? 2nkk?1n?2k?1?k .这不难从证明过程中看出备注：比较判别法及其极限形式也适用于任意项级数 这时候，表述应该相应叙述如下：a?1?nlim?laa).它还绝对收敛收敛满足(则事实上，.若 假设数列1?lnna?n1n?n ?a ，此法失效若，则.若发散.1?l1l?n1?na?1n? lim?l?1a事实上，若，按照正项级数的比较判别法，级数是收敛的，na?n1?nnaa?a?aaaa?a?nn

15、nnnnnn ?,0a于是，收敛由于与，因此，级数.n22221?1nn? ?a?aa?a?nnnn?a? 收敛.?n22?1?1nna?1?n?这样，当，对任意若，总有常数，使得当，有.NN?0?l?11?l?nan1?2Nn? ?.aaa?a.，有这样，于是，0?aN?n11nn?nN?2n 7 ?a 级数是发散的.n1?n若，道理同上. 1l? 型7。1 判定数项级数的敛散性n111?n?(?1)(lim?1?)0u?，则级数，且（02,3）设1 。 nuuu?n?n?n1n (A)发散； (B)绝对收敛； 收敛性不能判定 (D)(C)条件收敛； ?a为正项级数，下列结论中正确的是 （0

16、4,4）设2。n1?n?analim收敛。 若=0，则级数 (A) nn?n?1n?a?limna发散。（B） 若存在非零常数，则级数，使得nn?n1?n ?20a?limna 收敛，则若级数 。 (C) nn?n1?n?a收敛，则级数（06,4）若级数 3。n1n?n a?(a1)收敛。B（A） ） （收敛。 nn1nn?1? ?a?a?1?nnaa收敛。）收敛。 ）（ D（C 1n?n2n?11?n ?b,alima?0，则 。（09,4）设有两个数列，若4nnn?n?baabbb发）当发散时， 收敛。 （）当（AB收敛时，nnnnnn1n?n1?1?1n?n 散。 ?2222 bbaab

17、b发散。发散时， 收敛时， (C)当收敛。 (D)当nnnnnn1n?1?n1?nn?1 8 题型7。2 证明数项级数的敛散性 5。 3 求幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域题型7。?n?2x?a4?0x?x?数则幂级在处发散处收6。（08,4）已知幂级数敛，在，n0n?n?3xa?。 的收敛域为n 0n? 题型7。4 求幂级数的和函数3n?x?x?)y(x?x?yy?e?y；满足微分方程（） （02,7）验证函数7。 (3n)!0n? 3n?x?)(xy的和函数 求幂级数 )!n(30?n?1?21nn?x(?1)1?)的收敛区间与和函数）求幂级数05,12f(x)8。（ n(2n?1)1?n ?nxa(?,?)内收敛，其和函数y(在x9。（07,10）设幂级数)满足 n0n?(0)?1.?0,y4y?0,yy2?xy(0)? 2a,n?a?1,2,; 证明：(I) n2n?1n?(II)求y(x)的表达式。 n?1?1)?(?n2x）求幂级数10,10。（的收敛域及和函数。 10 2n?11n?题型7。5 求数项级数的和 ?1?nn,2,.?x1ny?ax?y所围成区域的面积，记为曲线911。（09，）设与n ?a,S?S?aSS 与的值。，求122n1n?121n?n?1 题型7。6 求函数的幂级数展开式2?