第13章重积分的MATLAB实验

1、第13章 重积分的MATLAB实验,编者,Outline,13.1 二重积分 13.2 三重积分 13.3 曲线积分 13.4 曲面积分 13.5 重积分的数值计算,13.1 二重积分,1. 二重积分的定义 设函数 是有界闭区域 D 上的有界函数。将闭区域 D任意分成 n 个小闭区域 其中 表示第 个小闭区域，也表示它的面积。在每个 上任取一点 ，作乘积 ，并作和 ， 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在闭区域 D上的二重积分，记作 ，即 2.二重积分的计算法 利用直角坐标系计算二重积分： 对于二重积分 ，设其积分区域 D 可以用不等式组 来表示，

2、 其中函数 在区间 上连续。则上述二重积分可以化为如下累次积分 图 X-型（即每一条垂直于x轴的直线与区域D至多交于一条线段）积分区域,类似地，若积分区域D 可以用不等式组 来表示 图 Y-型（即每一条垂直于 轴的直线与区域 至多交于一条线段）积分区域 则上述二重积分可以化为如下累次积分 二重积分的换元法：设 在 平面上的闭区域 D上连续，变换 将 平面上的闭区域 变为 平面上的闭区域 D ，且满足 在 上具有一阶连续偏导数；在 上雅克比式 ； 变换 是一对一的，则有 上面的公式即称为二重积分的换元公式,13.2 三重积分,1.三重积分的定义 设函数 是空间有界闭区域 上的有界函数。将闭区域

3、任意分成 n 个小闭区域 其中 表示第 个小闭区域，也表示它的体积。在每个 上任取一点 ，作乘积 ，并作 和 ，如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，这和的极限总存 在，则称此极限为函数 在闭区域 上的三重积分，记作 ，即 2.三重积分的计算法 利用直角坐标系计算三重积分：对于三重积分 ，设其积分区域 可 以用不等式组 来表示 则该三重积分可以写成如下累次积分的形式： 图 三重积分积分区域,三重积分的换元法： 设 在 系的闭区域 上连续，变换 将 系中的闭区域 变为 系中的闭区域 ，且满足 在 上具有一阶连续偏导数；在 上雅克比式 变换 是一对一的，则有 上面的公式即称为三重积分的换元公

4、式。 柱面坐标系下三重积分的计算公式为 球面坐标系下三重积分的计算公式为,13.3 曲线积分,1.对弧长的曲线积分,2.对坐标的曲线积分,13.4 曲面积分,1.对面积的曲面积分 设曲面 是光滑的，函数 在 上有界。把 任意分成 n 个小块 ，设小块 的面积为 ， 是 上任意取定的一点，作乘积 ，并作和 ，如果当各小块曲 面的直径的最大值 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 ，即 其中 叫做被积函数， 叫做积分曲面。 2.对坐标的曲面积分 设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界，把 任意分成n 个小块 ，设小块 的面积为 ， 在 面上的投影

5、为 ： ， 是 上任意取定的一点，作乘积 ，并作 和 ，如果当各小块曲面的直径的最大值 时，这和的极限 总存在，则称此极限为函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分或第二类曲面积分，记作 ，即 其中 叫做被积函数， 叫做积分曲面,13.5 重积分的数值计算,1.二重积分的数值计算 矩形区域二重积分数值求解：对于二重积分 ，设其积分区域D 可以用不等式 组 来表示，则上述二重积分可以化为如下累次积分 MATLAB提供了函数dblquad来求解二重积分 一般区域二重积分数值求解：一般区域的二重积分可以写成累次积分 在MATLAB中，提供了函数quad2d来求解一般 区域二重积分的数值解 2.三重积分的数值计算 长方体区域三重积分数值求解：对于三重积分 ，若其积分区域 可以用 不等式组 来表示，则该三重积分可以写成如下累次积分 的形式： MATLAB提供了函数triplequad来求解三重积分,一般区域三重积分数值求解：对于三重积分 ，若其积分区域 可以 用不等式组 来表示，则该三重积分可以写成如下累次积分