洛必达法则完全证明

1、 料推荐洛必达法则完全证明定理 1 lim f ( x)lim g ( x)0 ， lim f ( x) 存在或为x x0x x0xx0 g ( x)，则 limf ( x) = limf (x)x x0g (x)x x0g (x)证明见经典教材。定理 2 lim f ( x)limg (x)xxt1x1证明： lim f (x)limf ( )xt 0t0， limf ( x) 存在或为x x0g ( x)1t10 ， limxg(x) lim g( )xt 0tf ( x) f ( x) ，则 lim = lim0 ，由定理 1txf (1)f (1)( 12 )f (1) xt11lim

2、f ( x)= limtlimttlimtlimf (x) 。xg( x)t 01t 011t 01xg (x)g (t )g (t )(t 2 )g (t )定理 3 limf ( x)limg (x)， limf( x) 存在或为，则 limf ( x) = limf ( x)x x0x x0x xg ( x)x xg( x)x x0 g ( x)001证明： limf ( x) = limg (x) ，由定理 1xx0g (x)xx01f ( x)1lim f ( x) = limg ( x)= limxx0 g ( x) x x01x x0f ( x)g ( x) g 2 (x)f (

3、x) f 2 (x)lim( f ( x) )2g (x) )x x0g (x)f (x)1） 设 limf (x) 存在且不为 0，则x x0 g( x)lim f ( x)lim(f ( x) )2 limg ( x)， lim f ( x)lim f ( x)x x0 g (x)x x0g( x)xx0 f ( x)xx0 g (x)xx0 g ( x)2） 设 limf (x) 存在且为0，设 k0，则x x0g( x)lim(f ( x)k) 0x x0 g (x)有 lim(f ( x)k )= limf ( x)+kg ( x)x x0g( x)x x0g( x)1 料推荐f (

4、 x)， g (x) 是不同阶无穷大，f ( x)+ kg ( x) 仍为无穷大，由1）lim(f ( x)k )= limf ( x)+ kg( x) = limf ( x)+kg ( x) = lim(f ( x) +k)x x0g( x)x x0g( x)x x0g ( x)x x0g ( x)limf ( x) = limf ( x)xx0 g( x)x x0 g ( x)3） 设 limf (x) =，则 limg ( x) =0 ，由 2）得x x0g( x)x x0 f ( x)limg (x) = limg ( x) =0 ， limf ( x) = lim f ( x) =x x0 f ( x)xx0 f ( x)x x0 g ( x)x x0 g ( x)综合 1） 2） 3）定理 3 证毕。定理 4 limf( )limg(x)， limf ( x)