空间几何体的直观图(2)

1、1.2.3空间几何体的直观图提出问题如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.探求空间几何体的直观图的画法. 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCDABCD的直观图.用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的直观图的步骤.活动： 和教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤, 让学生发表自己的见解，教师及时给予点评.根据上述画法来归纳.让学生比较两种画法的步骤.讨论结果： 画法： 1如图1（ 1），在正六边形ABCDEF中，取 AD所在直线为x 轴，对称轴 MN所在

2、直线为y 轴，两轴相交于点O.在图 1(2) 中，画相应的x轴与 y轴，两轴相交于点 O，使 xOy=45.2在图 1(2) 中，以 O为中点， 在 x轴上取AD=AD，在 y轴上取MN=1 MN.2以点 N为中点画BC平行于x轴，并且等于BC；再以 M为中点画EF平行于x轴，并且等于EF.3连接AB， CD， DE， FA，并擦去辅助线x轴和y轴，便获得正六边形 ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF图1(3) .图 1步骤是： 1在已知图形中取互相垂直的们画成对应的 x轴与 y轴， 两轴交于点定的平面表示水平面 .x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O. 画直观图时，把它O，且使 xOy=4

3、5( 或 135) ，它们确2已知图形中平行于x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或 y轴的线段 .3已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半 .画法： 1画轴 . 如图 2，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O，使 xOy=45， xOz=90.图 22画底面 . 以点 O为中点，在 x 轴上取线段MN，使 MN=4cm;在 y 轴上取线段PQ，使 PQ=3 cm.2分别过点M和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A、 B、C、 D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.3画侧棱.

4、过A、B、C、D各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA、 BB、 CC、 DD.4成图 . 顺次连接A、 B、 C、 D，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.点评： 画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感.画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系. 画几何体的直观图的步骤是：1在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、 Oy，再作Oz 轴，使 xOy=90

5、, yOz=90.2画出与Ox、 Oy、 Oz 对应的轴Ox、 Oy、 Oz，使 xOy=45，yOz=90,x Oy所确定的平面表示水平平面.3已知图形中，平行于x 轴、 y 轴和 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴和z轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.4已知图形中平行于x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.5擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.斜二测画法的作图技巧:1在已知 中建立直角坐 系，理 上在任何位置建立坐 系都行，但 作 ，一般建立特殊的直角坐 系，尽

6、量运用原有直 坐 或 形的 称直 坐 或 形的 称点 原点或利用原有垂直正交的直 坐 等.2在原 中与x 或 y 平行的 段在直 中依然与x 或 y 平行， 原 中不与坐 平行的 段可以先画出 段的端点再 ，画端点 作坐 的平行 助 .原 中的曲 段可以通 取一些关 点，利用上述方法作出直 中的相 点后，用平滑的曲 接而画出.3在画一个水平放置的平面 ，由于平面是无限延展的，通常我 只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四 形表示空 一个水平平面的直 用示例.思路1例 1用斜二 画法画水平放置的 的直 .活 ： 学生回 斜二 画法的步 ，自己画出来后再互相交流. 教 适当点 .解：（ 1）如

7、 3(1) ，在O上取互相垂直的直径AB、CD，分 以它 所在的直 x 与 y ，将 段 AB n 等分 . 各分点分 作 y 的平行 ，交O 于 E，F，G， H，画 的x 和 y ，使 xOy=45.图 3(2) 如 3(2) ，以 O 中点， 在 x 上取 AB=AB，在 y 上取 CD=1 CD，将 AB2n 等分，分 以 些分点 中点，画与y 平行的 段EF， GH，使EF= 1 EF ,GH=1 GH ，.22（3）用光滑曲 次 接A， D， F， H， B， G， E， C， A并擦去 助 ，得到 的水平放置的直 3(3) .点 ： 本 主要考 用斜二 画法画水平放置的平面 形的

8、直 . 式 1. 画水平放置的等 三角形的直 .答案： 略 .2. 关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）A. 原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变B. 原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的12C.在画与直角坐标系xOy 对应的 xOy时， xOy必须是45D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同分析： 在画与直角坐标系xOy 对应的xOy时， xOy也可以是135，所以C不正确 .答案： C例 2如图 4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.图 4活动： 让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征. 教

9、师分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合. 我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥 .解： 画法：（1）画轴 . 如图 5（1），画 x 轴、 y 轴、 z 轴，使 xOy=45, xOz=90.(1)(2)图 5（ 2）画圆柱的两底面，仿照例 2 画法，画出底面 O.在 z 轴上截取 O，使 OO等于三视图中相应高度，过 O作 Ox 的平行线 Ox,Oy 的平行线 Oy, 利用 Ox与 Oy画出底面 O（与画O 一样） .（3）画圆锥的顶点. 在 Oz 上截取点 P，使 PO等于三视图中相应的高度.（4

10、）成图 . 连接 PA，PB，AA，BB，整理得到三视图表示的几何体的直观图图 5(2) .点评：空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图 . 同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.变式训练图 6 所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？图6答案： 奖杯的几何结构是最上面是一个球，简单组合体 . 其直观图略 .中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的思路2例 1 如图 7 所示，梯形 ABCD中， ABCD， AB=4 cm， CD=2 cm， DAB=30， AD=3 cm，试画出它的直观图 .图7活动： 利

11、用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过作出该点在x 轴的垂足， 则对应地可以作出线段的直观图，进而作出整个梯形的直观图.解： 步骤是：（ 1）如图 8 所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x 轴，点 A 为原点，建立平面直角坐标系 xOy. 如图 9 所示，画出对应的x轴， y轴，使 xAy=45.（ 2 ）如图8所示，过 D 点作 DEx 轴，垂足为E. 在 x轴上取 AB=AB=4 cm，AE=AE=33 cm 2.598 cm；过 E作 ED y轴，使 ED=1 ED ，再过点 D22作 DC x轴

12、，且使 DC=CD=2 cm.图8图9图10（3）连接 AD、 BC、 CD，并擦去x轴与 y轴及其他一些辅助线，如图10 所示，则四边形ABCD就是所求作的直观图.点评：本题考查利用斜二测画法画空间图形的直观图. 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线. 本题中，关键在于点D位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E，再去确定D的位置 .变式训练1. 如图 11 所示，直角梯形 ABCD中， A

13、DBC，且 AD BC，该梯形绕边 AD所在直线 EF 旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图.图 11答案： 该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如图12 所示，三视图如图13 所示 .图 12图 132. 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（）A.16B.64C.16或 64D.都不对分析：根据直观图的画法，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段变为原来的一半，于是长为4 的边如果平行于x 轴，则正方形边长为4，面积为 16，边长为 4 的边如果平行于y 轴，则正方形边长为8，面积是64.答案： C知能

14、训练1. 利用斜二测画法画直观图时：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形.以上结论中，正确的是_.分析： 斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故正确； 但是斜二测画法中平行于y 轴的线段， 在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以错.答案： 2. 一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2 的正三角形，则原三角形的面积是（）A. 26B.4 6C.3D.都不对分析： 根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角

15、形的高是正三角形高的22 倍，而正三角形的高是3 ，所以原三角形的高为2 6 ，于是其面积为1 2 2 6 = 2 6 .2答案： A3. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）A. 12B.12C.12D.22222分析：平面图形是上底长为1，下底长为 12 ，高为 2的直角梯形 . 计算得面积为 22 .答案： D4. 斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4) 在直观图中对应点是M, 则点 M的找法是 _.分析： 在 x轴的正方向上取点M1，使 OM1=4，在 y轴上取点M2，使 OM2=2，过 M1 和 M2分别作平行于 y轴和 x轴的直线的交点就是M.答案： 在 xOy中，过点（4， 0）和 y轴平行的直线与过（0， 2）和 x轴平行的直线的交点即是 .5. 根据图 14 所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状.图 14分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔. 从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔.解： 由此可以推测该物体大致形状如图15 所示 .图15拓展提升问题：如图16 所示 , 已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.图 1