数学史周髀算经与九章算术课堂

1、1,日照东方,古代与中世纪的东方数学,一、中国传统数学,二、印度数学,三、阿拉伯数学,四、中国与印度、阿拉伯的数学交流,2,第三章,中世纪的中国数学,希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪的,欧洲湮没不彰。数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长的东,方时期。中世纪（公元,5-17,世纪）数学的主角，是中国、印度与阿,拉伯地区的数学,与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神,特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推,导,就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。从,公元前后至公元,14,世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期,魏晋南北朝时期

2、以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学,的顶峰,3,3.1,周髀算经与九章算术,3.1.1,古代背景,第一章中已涉及了中国远古数与形概念的萌芽。殷商甲骨文中,已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严,格的十进位值制筹算记数,孙子算经中记载的筹算记数法则说：“凡算之法，先识其位,一纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当,4,纵式用来表示个位、百位、万位,数字；横式用来表示,十位、千位、十万位,数字。纵、横相间，零则以空位表示,这样，数,76 031,用算筹表示出来是,这种十进位值记数法,是中国古代数学对人类文明的特殊贡献,关于几何学，史记,夏本纪”记载说：夏禹治水，“左,规

3、矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直尺，“准绳”则是,确定铅垂方向的器械,5,中国古代数学的萌芽,社会历史背景条件,相对封闭的疆域,大河背景下的农耕文化,集中的王权,中国数学的特点,形成了以计算为核心的算法理论,具有浓郁应用色彩,中国数学的成就,第一部数学著作九章算术（大约公元前,200,年左右,公元,3,世纪至,13,世纪，创造了许多领先于其它民族的众多,数学成果,形成国家数学教育的体制,6,中国古代数学的萌芽,中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数,与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻,有表示,1234,的符号。到原始公社末期，已开始用文字符

4、号取代结绳,记事了,7,中国古代数学的萌芽,西安,半坡出土的陶器有用,1,8,个圆点组成的等边三角形和分正方形,为,100,个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为,了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量,工具。据史记,夏本纪记载,夏禹,治水时已使用了这些工具,8,商代,又称殷代，约公元前,17,世,纪约前,11,世纪,1899,年在河南,安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上,所刻的象形文字,甲骨文，公元前,14,世纪,自然数的记法,10,进位制，最大,的数字是,3,万,9,中国古代数学的萌芽,与此同时,殷人,用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅,丁,卯,等

5、,60,个名称来记,60,天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构,成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示,64,种事物,10,太极八卦图,易,有,太,极,是,生,两,仪,两,仪,生,四,象,四,象,生,八,卦,图中每个阳、阴爻分别代表数,9,与,数,6,其中数字的配置依照“九六”说,是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对,称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为,45,它与洛书中,1,至,9,的数字之和相同,11,周,约公元前,11,世纪公元前,256,年,奴隶制经济获得进一步,的发展,数”作为六艺之一，开,始形成一个学科,算筹记数和四则运算已经开始,春秋战国时期：人们已经能熟,练地进行筹算,12

6、,中国古代数学的萌芽,数学”一词相当于我国古代,的“算术,数学一词，在中国最早出现,在,12,世纪宋代数学家秦九韶的著,作中。他指出,物生有象，象生,有数，乘除推阐，务究造化之源,者，是数学,13,中国古代数学的萌芽,战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命,题的争论直接与数学有关,儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以周易,象数学宇宙论为哲学依托,墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以墨经的,逻辑学为其论说的工具,名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出,矩不方，规不可以为圆”，把“大一,无穷大,定义为“至大无,外”，“小一,

7、无穷小,定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰,日取其半，万世不竭”等命题,九章算术中的名题：“女子善织，日子倍,14,名家,战国,时,诸子百家,之一。先秦时期以辩论,名实,问题为中心的,一个思想派别,重视“名,概念,和“实,事,的关系的研,究,以正名辨义为主，主要代表为,邓析,惠施,公孙龙,等,庄子,天下有名家辩辞的记录,史记,太史公自序,“名家,苛察缴绕,故曰使人,俭而善失真。,汉书,艺文志,“名家者流，盖出於礼官。,梁启超,论诸家之派别：“名家言起於郑之邓析,而,宋之惠施及,赵之,公孙龙大昌之。,15,中国古代数学的萌芽,墨家认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给,出一

8、些数学定义。例如圆、方、平、直、次,相切,端,点,等等,墨家是中国古代主要,哲学,派别之一，约产生于,战国,时期。创始人为,墨,翟,墨家是一个纪律严密的学术团体，其首领称“矩子”，其成员到,各国为官必须推行墨家主张，所得俸禄亦须向团体奉献,墨家学派,有,前后期之分，前期思想主要涉及社会政治,伦理,及认识论问题；后期,墨家在逻辑学方面有重要贡献,16,17,18,中国古代数学的萌芽,墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命,题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就,必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是,点,19,中国古代数学的萌芽,名家的命题论述了有限长度可分割

9、成一个无穷序列，墨家,的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家,的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发,展是很有意义的,20,墨经,点、线、面、方、圆等几何概念,考工记,分数比例、角度大小的区分、标准容器的计算等,荀子管子,九九”乘法口诀,春秋,初税亩”，测量田亩面积和计算的方法,庄子,天下篇,一尺之棰，日取其半，万世不竭”，朴素,的,极限观念,墨经,点：端,体之无厚而最前者也,直线：直,参也,圆：圆,一中同长也,史记,齐威王与田忌赛马,对,策论的最早例证,21,3.1.2,周髀算经,在现存的中国古代数学著作中，周髀算经是最早的,一部,作者不祥，成书年代应不晚于公元前,2

10、,世纪西汉时期,但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前,11,世纪,前,8,世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天,说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学,的密切联系。从数学上看，周髀算经主要的成就是分数,运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定,理的论述最为突出,周髀”是测,量日影的工,具,八尺长竿,22,盖天说,勾股定理,宋版书影,日高术,周髀算经,数学著作,天文学著作,盖天说”的代表,约成书于西汉时期,公元前,2,世,纪,数学内容,学习数学的方法,用勾股定理来计算高深远近和比,较复杂的分数计算等,23,周髀算经,盖天说认为大地象个平面，天象口大

11、锅扣在地上,注：到西汉时期，有盖天说、浑天说和宣夜说,浑天说认为天是球形的，大地在中间,宣夜说认为宇宙是无限的空间，天体浮生于其中，其运动需要“气”的,作用,24,25,第一卷,叙述了西周开国时期（约公元前,1100,年）周公商高的问答,26,周髀算经上卷,勾股定理的证明,昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔,者包牺立周天历度,夫天可不阶而升，地不可得尺寸而,度，请问数安从出,商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅,五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩,共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之,所生也。

12、,27,勾广三,股修四,径,隅五,商高定理,勾股定理,返回,以日下为勾,日,高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪,至日,28,古典数学的形成与发展时期,周人的测日影表,古代认为夏至时立一,8,尺高的标竿，它的影长正好是,6,尺,求邪至日者，以日下为勾，以日高为股，勾股各自乘，并而开方除,之，得邪至日从髀所旁至日所十万里。,日高公式（重差术,29,h,e,S,O,c,h,h,d,表,高,表,距,日,高,表,高,表,高,影,差,影差,d,后影长,BD,前影长,AC = b,a,表距,AB = e,日,前表,后表,前影,后影,南戴日下,日远,日高,A B,O A a C B b D,S,O,h,h

13、,h,c,日高公式（重差术,30,古典数学的形成与发展时期,第二章,叙述陈子荣方的对话,陈子是周代的天文算学家，荣方是当时天文算学的爱好者,荣方对陈子的数学才能很羡慕，十分虚心地向陈子求教,陈子教给荣方学习和研究数学的方法，同时还教给荣方具,体解决问题的方法,31,古典数学的形成与发展时期,关于数学特点,荣方请教陈子：“今者窃闻夫子之道。知日之高大，光之,所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星,之宿，天地之广，夫子之道皆能知之。其信有之乎,陈子曰：“然，引皆算术之所及。”陈子又曰,此,亦望远起高之术,夫道术，言约而用博,32,古典数学的形成与发展时期,关于学习数学的方法,陈子对荣方

14、说：“思之未熟,则子之于数，未能通,类,问一类而以万事达者，谓之知道。,夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。既博矣，患其,不习。既习矣，患其不能知。,33,古典数学的形成与发展时期,关于学习态度,夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习。,34,中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元,3,世,纪三国时期的赵爽（吴）。赵爽注周髀算经，作“勾股圆,方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了,勾股定理,考察以一直角三角形的勾和股为,边的两个正方形的合并图形，其面积,应有,如果将这合并图形所含,的两个三角形移补到图中所示的位置,将得到一个以原三角形之弦为边的正,方形，其面积应

15、为,因此,2,2,b,a,2,c,2,2,2,c,b,a,35,勾股定理的证明,弦,图,b,c,a,a,2,b,2,36,古代数学家赵爽,赵爽，又名婴，字君卿,中国,数学家。东汉末至三国时代,吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平,不详，约生活于公元,3,世纪初。赵爽的周髀算经注逐,段解释周髀经文,37,古代数学家赵爽,赵爽自称负薪余日，研究周髀，遂为,之作注，可见是一个未脱离体力劳动的天,算学家,38,3.1.3,九章算术,九章算术是中国古典数学最重要的著作。成书年代至迟,在公元前,1,世纪，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代,周礼记载,西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”）中

16、,有一门是“九数”，刘徽九章算术注,序”中就称九章算,术是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍,公元前,152,耿寿昌等人删补,九章算术采用问题集的形式，全书,246,个问题，分成九章,39,中国古代数学体系形成,九章算术是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总,结，就其数学成就来说，堪称是世界,数学名著,例如分数四则运算,今有术,西方称三率法,开平方与开立方,包括二次方程数值解法,盈不足术,西方称双设法,各种面积和,体积公式,线性方程组解法,正负数运算的加减法则、勾股形解法,特别是勾股定理和求勾股数的,方法,等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世,界数学发展上是遥遥领先

17、的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为,中心、与,古希腊数学,完全不同的独立体系,40,中国古代数学体系形成,秦汉时期,强调数学的应用性。成书于东汉初年的九章算术，排除,了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨,论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法,九章算术有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式,算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图,形性质；重视应用，缺乏理论阐述等,41,九章算术的内容是由周代的“九,数”发展而来的。刘徽称：“周公制,礼而有九数，九数之流则九章是,矣,九章算术标志着中国传统数,学的知识体系已初步形成,代,

18、表了中国传统数学体系和思想方,法的特点：注重实际问题的数值,计算方法，缺少抽象的理论和逻,辑系统性，使用算筹，形成世界,上独有的计算工具和程序化计算,方法,明代刊印的九章算术注,42,中国古代数学体系形成,九章算术在隋唐时期曾传到,朝鲜,日本，并成为这些,国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今,有术、盈不足术等还传到,印度,和阿拉伯，并通过印度、阿,拉伯传到,欧洲,促进了世界数学的发展,43,1,方田,主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界,上最早对分数进行系统叙述的著作,2,粟米,组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比,例问题,3,衰,读作“翠”,分,主要内容为分配比例的算法

19、,4,少广,主要讲开平方和开立方的方法,5,商功,主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体,积的计算为主,6,均输,计算税收等更加复杂的比例问题,7,盈不足,双设法的问题,8,方程,主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减,法，在世界数学史上是第一次出现,9,勾股,勾股定理的应用,九章算术的内容,44,一）算术方面,1,分数四则运算法则。九章算术,方田”章给出了完整,的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则,约分术：可半者半之不可半者，副置分母、子之数，以,少减多，更相减损，求其等也以等数约之,45,2,比例算法。九章算术,粟米”、“衰分”、“均输,诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为

20、解决各类比例问,题的基本算法,a: b=c: x,设从比例关系,求,x,九章算术称,a,为“所有率,b,为“所求率,c,为“所有,数,x,为“所求数”。今有术相当于,a,bc,x,今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法实如,法而一,46,以“今有术”为基础，“衰分”章处理正、反比例分配问,题，“衰分”就是按一定级差分配。“均输”章则运用比例分配,解决粮食运输负担的平均分配,3,盈不足术。“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通,过两次假设来求繁难算术问题的解的方法,47,九章算术中典型的盈亏类问题如,今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几,何,一般地假设人数为,物价为,每人出

21、钱,盈,出钱,不,足,九章算术,盈不足术”相当于给出解法,x,y,1,a,1,b,2,a,2,b,盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下令维乘所出率,并，以为实并盈、不足为法实如法而一盈、不足相与同,其买物者，置所出率，以少減多余，以约法、实实为物价,法为人数,48,2,1,1,2,2,1,b,b,b,a,b,a,x,y,分两部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒,其公式是,2,1,1,2,2,1,2,1,2,1,a,a,b,a,b,a,y,a,a,b,b,x,第二部分是求人数、物价的公式,49,任何算术问题（不一定是盈亏类问题），通过两次假,设未知量的值，都可以转换成盈亏类问题来求解。九章算

22、,术,盈不足”章就用这种方法解决了许多不属于盈亏类的,问题,盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹,算法”，即中国算法,50,二）代数方面,1,方程术。“方程术”即线性联立方程组的解法,以“方程”章第,1,题为例,今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上,禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中,禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问：上、中、下禾实一秉,各几何,答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四,分斗之一；禾一秉，二斗、四分斗之三,51,方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实,三十九斗，于右方中、左禾列如右方以右行上禾,遍乘中行而以直除又乘其次，亦

23、以直除,然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除左方下禾,不尽者，上为法，下为实实即下禾之实求中禾,以法乘中行下实，而除下禾之实,余如中禾秉数而一，即中禾之实求上禾亦以法乘,右行下实，而除下禾、中禾之实余如上禾秉数而一,即上禾之实实皆如法，各得一斗,52,题中“禾”为黍米,黍,音“署,秉”指捆，“实,是打下来的粮食。设上、中、下、禾各一秉打出的粮食分,别为,斗），则问题就相当于解一个三元一次联立,方程组,26,3,2,34,3,2,39,2,3,z,y,x,z,y,x,z,y,x,z,y,x,53,九章算术没有表示未知数的符号，而是,用算筹将,的系数和常数项排列成一个方阵,如图,其中已将筹算数码换作

24、阿拉伯数码），这,就是“方程”一词的来源,方程术”的关键算,法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下,z,y,x,用图,i,右行上禾,的系数,3,遍乘”中行和左,行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行,即连续减去右行各数，就得到图,ii,所示的新方程,x,其次以图,ii,中行中禾,的系数,5,遍乘左行各,数，从所得结果直除中行并约分，右得到图,iii,所,示的新方程。其中左行未知量系数只剩一项，以,4,除,11,即得下禾,斗,y,4,3,2,z,54,为求上禾,和中禾,重复“遍乘直除”程序。以图,iii,左,行下禾,的系数,4,遍乘中行和右行各数，从所得结果按行分别直,除左行并约分，最后得到

25、图,iv,所示的新方程。由此方程计算得,x,y,z,上禾,中禾,下禾,4,1,9,x,4,1,4,y,4,3,2,z,九章算术方程术的遍乘直除算法，实质上就是我们今天,所使用的解线性联立方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯,消去法,55,2,正负术。九章算术在代数方面的另一项突出贡献,是负数的引进,九章算术正是在“方程”章中提出了“正负术”，即,正、负数的加减运算法则,同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名,相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。,对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无,理量是演绎思维的发现，那么如前所述可以看到，中算负数则是,算法思维的产物,56

26、,3,开方术。九章算术,少广”章有“开方术”和“开,立方术”，给出了开平方和开立方的算法。九章算术开方,术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次,方程数值解之先河,九章算术开方术实际上包含了二次方程,的数,值求解程序，称为“开带从平方法,c,bx,x,2,57,稍后的刘徽在“开方术注”中明确提出了用十进制小数任,意逼近不尽根数的方法，他称之为求微数法，并指出在开方过,程中，“其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分,弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也,九章算术开方术中特别令人惊异之处，是指出了存在有,开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开”，并给这种不尽根,数起了一个专门

27、的名字,面,58,开方术,开平方和开立方的算法,本质,减根变换,过程,开方术相当于解方程,x,2,A,设解,x,是一个,k,位数,令,x,10,k,1,x,1,方程变为,10,2,k,2,x,1,2,A,仪得,x,1,的整数部分,记,为,令,则方程变为,其中,1,x,1,1,1,2,1,0,x,x,x,2,1,2,1,2,1,a,x,b,x,A,2,2,2,2,2,1,2,2,2,1,1,1,1,1,1,0,1,0,1,0,1,0,2,1,0,k,k,k,a,b,x,A,A,x,再议得,x,2,的整数部分,记为,令,则方程变,为,其中,上述过程一直下去,2,x,1,2,2,3,1,0,x,x,

28、x,2,2,3,2,3,2,ax,bx,A,2,1,21,2,1,2,1,2,1,1,2,12,1,0,2,1,0,a,a,b,a,x,b,A,A,a,x,b,x,59,二次方程的数值求解算法称为,开带从平方法,开方术,指出了开方有,开不尽,的情形,若开之不尽者，为不可开,不尽根数专门的名字,面,60,三）几何方面,九章算术,方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题,其中“方田”章讨论面积问题，“商功”章讨论体积问题，“勾股,章则是关于勾股定理的应用,各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源。如平面图形有,方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）,箕,ji,田”（梯形）、“圆田

29、”（圆）、“弧田”（弓形）、“环,田”（圆环）等；立体图形则有“仓”（长方体）、“方亭”（平,截头方锥）、“阳马”（底面为长方形而有一棱与地面垂直的锥体,以及“刍童”（上、下底面都是长方形的棱台）等等,61,第一章名为”方田“，列题,38,个，立术,21,条，主,要讲平面几何图形面积的计算方法，包括分数算,法,62,九章算术,例,有田广二里，从三里。问为田几何。,答曰：二十二顷五十亩,里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数,a,b,注：当时称长方形为方田或直田,63,九章算术,例,今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何,答曰：一百二十六步,术曰：半广以乘正从,a,h,注：当时称三角,形为圭田,64,九章算术,例,今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四。问,为田几何,答曰：九亩一百四十四步,术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩,法而一,b,h,a,注：直角梯形称为“邪,田,即斜田,65,九章算术,例,今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从十步。问为田几何,