多元正态分布及检验

1、多变量统计描述,均数向量与离差矩阵,均数向量与离差矩阵,协方差矩阵,相关矩阵,多元正态分布及检验,多元正态分布,在许多医学问题中，当作均值的假设,检验时所依据的指标可能不止一个,例如，当比较两组风湿性与类风湿性,关节炎患者的病情程度时，就不能仅,只用一个指标，如采用血沉、抗,O,白细胞计数三个指标，则数据呈下列,格式,编号,血沉,X1,抗,O,X2,白细胞数,X3,A,1,2,3,N1,B,1,2,3,N2,这三项指标都是测得值越高病情越重，如果采用,t,检验法对每个指标作检验，则只有出现下列情,况之一时，才能作出明确判断,1,两组间三指标均有差异，且大小趋势一致,2,两组间各指标均无差别，且

2、,P,较大于,0.05,反之，如果出现下列情况之一，就难以得出,结论,1,两组指标虽有显著差别，但趋势不一。或无,显著差别，但,P,接近,0.05,2,两组间有些指标有显著差别，有些却无显著,差别,多元正态分布,定义,P,维正态分布定义：对随机变量,X=(X,1,X,2,X,P,的密度函数是,称之为多元正态分布，简记为,1,2,1,2,2,1,2,X,X,i,p,f,X,e,x,p,p,p,N,下面以二维正态分布介绍,1,1,1,1,1,n,i,i,x,E,X,X,n,2,1,2,2,2,n,i,i,x,E,X,X,n,1,2,1,2,11,1,11,1,i,i,x,x,n,D,X,S,n,2

3、,2,2,2,22,2,22,1,i,i,x,x,n,D,X,S,n,1,2,1,2,12,21,1,2,21,1,i,i,i,i,x,x,x,x,n,Corr,X,X,S,n,1,2,1,2,1,2,12,21,11,22,12,2,2,1,2,2,2,i,i,i,i,i,i,i,i,x,x,x,x,n,r,x,x,x,x,n,n,协方差阵与逆阵,11,12,21,22,22,21,1,2,12,11,11,22,12,1,12,2,2,11,22,12,11,22,1,11,12,21,22,S,S,S,S,22,21,1,2,12,11,11,22,12,1,S,S,S,S,S,S,S,

4、样本协方差阵与逆阵,二维正态分布密度函数可写成,12,12,2,11,22,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,12,2,11,22,11,22,1,2,1,1,exp,2,2,1,f,x,x,x,x,x,x,图,1,两个二元正态分布,11,22,12,0,且,11,22,12,0.75,且,多元正态分布的性质,1,有限个多元正态的线性组合为多元正,态分布,2,一个多元正态分布的所有子集分布有,一个多元正态分布,3,零协方差意味着相应的随机变量是独,立的,4,分量的条件分布是正态分布,多元正态性的判定,通常对多元正态分布的判断采用对边缘,分布的判断，即：若对多元变量,X,而言它,所有的一元

5、分布都是正态分布的话，就,认为,X,是多元正态分布，此时很少出现非,正态的多元数据集,多元正态均值检验,至少存在，使,0,H,1,2,k,L,1,H,i,j,i,j,统计量的构造,组间协方差阵,组内协方差阵,总协方差阵,1,k,B,n,X,X,X,X,1,1,1,n,k,K,j,j,j,E,X,X,X,X,A,1,1,n,k,j,j,j,T,X,X,X,X,B,E,维尔克斯,Wilks,统计量（分布,E,E,T,E,B,1,0,两两比较的统计量,2,1,ij,i,j,i,j,D,X,X,E,X,X,2,1,i,j,ij,i,j,N,k,m,n,n,D,F,N,k,m,n,n,一组资料（单样本,

6、对于单变量且服从正态分布资料的样本,与总体的比较,变形,0,0,X,n,X,t,S,S,n,m,m,2,2,0,0,t,n,X,S,X,m,m,当为多元资料时，此公式推广为,Hoteling,其中,为样本均数向量,为样本协方差阵,总体均,数向量,当,成立时,2,T,2,0,0,T,n,X,S,X,m,m,X,S,0,m,0,H,2,1,2,1,n,m,F,T,df,m,df,n,m,n,m,例,1,如随机抽取某单位,5,名有冠心病的成年男,性，测量其甘油三脂,mmol/L,，总,胆固醇,mmol/L,，和高密度脂蛋白,胆固醇,mmol/L,含量，已知某单位,正常成年男性的甘油三脂、总胆固醇,和

7、高密度脂蛋白胆固醇的均数是,1.02,mmol/L,2.73 mmol/L,和,2.04mmol/L,问该单位冠心病成年男,性的血脂与正常成年男性有无差别,1,1.02,X,2,2.73,X,3,2.04,X,样,本,号,甘油,三脂,总胆,固醇,高密度脂蛋白,胆固醇,1,2,3,4,5,1.78,0.67,0.56,0.66,0.21,0.83,0.96,0.83,1.12,0.16,1.01,0.84,0.39,1.03,0.40,计算,0,0.776,0.780,0.574,X,m,骣,桫,0.35,0.08,0.24,0.08,0.13,0.21,0.24,0.20,0.36,S,轾,犏

8、,犏,犏,犏,犏,臌,1,17.51,47.59,38.30,47.59,182.86,134.32,38.30,134.32,103.60,S,轾,犏,犏,犏,犏,犏,臌,2,0,0,17.51,47.59,38.30,0.776,5,0.776,0.780,0.574,47.59,182.86,134.32,0.780,38.30,134.32,103.60,0.574,295.743,T,n,X,S,X,m,m,轾,骣,犏,犏,鬃,犏,犏,桫,犏,臌,2,1,2,5,3,295.743,1,5,1,3,3,2,n,m,F,T,n,m,df,df,两组比较,对于单变量且服从正态分布资料的两

9、样,本的比较,变形,1,2,2,1,2,1,2,c,X,X,t,n,n,S,n,n,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,c,n,n,t,X,X,S,X,X,n,n,当为多元资料时，此公式推广为,Hoteling,其中,为样本均数向量,为样本协方差阵,为合并,样本协方差阵,2,T,2,1,1,2,1,2,1,2,1,2,c,n,n,T,X,X,S,X,X,n,n,1,2,X,X,1,2,S,S,c,S,1,1,2,2,1,2,1,1,1,2,c,S,n,S,n,S,n,n,轾,臌,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,n,n,m,F,T,n,n,m,df,m,df,n,n,m,当,

10、较大时,F,近似服从自由度为,m,的,分布,1,2,n,n,2,c,编号,实验组,编号,对照组,体重,kg,身长,cm,体重,kg,身长,cm,1,2,3,4,5,6,3.05,4.10,3.50,3.64,3.60,4.00,50,50,53,50,52,55,7,8,9,10,11,12,13,3.20,3.00,3.00,3.35,2.60,3.15,3.55,50,46,45,47,50,50,52,例,2,计算,1,2,1,2,3.65,3.15,0.50,51.67,48.57,3.10,X,X,X,X,轾,轾,轾,犏,犏,犏,犏,犏,犏,臌,臌,臌,1,2,0.142,0.245

11、,0.098,0.258,0.245,4.267,0.258,6.619,S,S,轾,轾,犏,犏,犏,犏,臌,臌,1,1,2,2,1,2,1,2,1,1,1,2,1.300,2.773,1,1,5,6,2.773,61.049,6,7,2,11,0.118,0.252,0.252,5.550,c,S,n,S,n,S,n,n,S,S,轾,臌,轾,犏,创,犏,臌,轾,犏,犏,臌,1,9.371,0.426,0.426,0.200,c,S,轾,犏,犏,臌,2,1,1,2,1,2,1,2,1,2,9.371,0.426,0.50,42,0.50,3.10,0.426,0.200,3.10,13,9.5

12、0,c,n,n,T,X,X,S,X,X,n,n,轾,轾,犏,犏,犏,犏,臌,臌,2,1,2,1,2,1,2,1,10,9.50,4.32,2,10,2,22,n,n,m,F,T,df,df,n,n,m,SAS,计算程序,proc,glm,class gr,model y1 y2=gr,contrast gr1 vs gr2 gr,1,1,0,contrast gr1 vs gr3 gr,1,0,1,contrast gr2 vs gr3 gr,0,1,1,anova h=gr,run,协方差分析,以前介绍的方差分析可用于两组或多组均数间,的比较，其处理因素一般是可以控制的。方差,分析要求各比较

13、组除了所施加的处理因素不同,外，其他对观察指标有影响得因素齐同或均衡,即要求控制对观察指标有影响的其它因素。在,实际工作中，有时有些因素无法加以控制，或,由于实验设计的疏忽、实验条件的限制等原因,造成对观察指标有影响的个别因素未加控制或,难以控制。此时用方差分析不合适，应考虑用,协方差分析,实例,为研究三种饲料,A1,A2,A3,对猪催肥效果,用每种饲料喂养,8,头猪，实验用猪的初始,体重未控制。喂养一段时间后观察小猪,的增重，所得资料如下表，试分析三种,饲料对猪催肥效果是否相同,三组小猪的初始体重与增重,kg,A1,A2,A3,x1 y1 x2 y2 x3 y3,15 85 17 97 22

14、 89,13 83 16 90 24 91,11 65 18 100 20 83,12 76 18 95 23 95,12 80 21 103 25 100,16 91 22 106 27 102,14 84 19 99 30 105,17 90 18 94 32 110,协方差分析中称需比较的因素为因子称,影响观察指标，需排除其影响的数量因,素为协变量,按方差分析的不同设计类型，相应地,有不同的协方差分析，协变量也可是一,个或多个。以下我们主要介绍最简单的,协方差分析，完全随机设计且只有一个,协变量的协方差分析,基本思想,是将线性回归与方差分析相结合的一种方法,将那些定量变量,X,未加控制或

15、难以控制的因,素）对,Y,的影响看做协变量，建立应变量,Y,随,协变量,X,变化的线性回归关系，并利用这种回,归关系把,X,值化为相等后，再进行各组,Y,修正,均数间比较地假设检验，其实质就是从,Y,的总,离差平方和中扣除协变量,X,对,Y,的回归平方和,对残差平方和作进一步分解后在进行方差分析,以更好地评价各种处理的效应,三种检验,1,检验饲料,A,与初始体重,x,间是否存在交,互作用。、因为若两者有交互作用，则,意味着在,x,的不同取值下,A,对观察值的作,用不同，即可能对,x,的某些取值,A1,的效,果最好，而对,x,的另一些取值,A2,的效果,最好，因而撇开,x,谈,A,的主效应无多大

16、意,义。相应的检验假设是,A,与,x,的交互效应,为,0,三种检验,2,若,A,与,x,间无交互作用，则进一步检验,初始体重,x,与增重,y,间是否存在线性关系,若不存在线性关系，则不能用协方差分,析比较三组均数间的差别。因为协方差,分析是利用协变量,x,与观察指标,y,间的线,性回归扣除,x,对,y,的影响。相应的检验假,设为,x,与,y,间的回归系数为,0,三种检验,3,若,x,与,y,间存在线性关系，则进一步在,扣除,x,对,y,影响的条件下，检验三组均数,差别是否有显著性。相应的检验假设为,三个总体均数相等,这三个检验中，第一、第二个检验不属,于协方差分析范围，若已知因子,A,与协变,

17、量,x,无交互作用，则第一个检验可以不作,若已知,x,与,y,间有线性关系，则第二个检,验也可不作，第三个检验真正属协方差,分析范畴，是必不可少的,4,若三组均数差别有统计意义，则需进,一步估计修正均数。所谓修正均数，是,指若三组的协变量相等（即扣除协变量,影响后），相应的,y,的均数。修正均数,Y,的计算公式为,i,i,i,Y,y,bx,bx,i,Y,i,y,i,x,其中,为第,i,组的修正均数,为第,i,组,y,的均数,为第,i,组,x,的均数,x,为所有,x,的总均数,b,为,y,与,x,的回归系数,模型,1,1,ij,ij,i,x,ij,i,y,a,i,a,j,n,L,L,i,a,0,

18、i,i,a,ij,2,0,N,其中,是,y,的总均数,描述因子,A,的第,i,水平的作用,描述协变量,x,与观察变量,y,间关系的回归系数,是误差项，服从,总,组内,公共,xx,xy,yy,l,l,l,xxk,xyk,yyk,l,l,l,xxt,xyt,yyt,l,l,l,总变异,v=N-1,总剩余误差,v=N-2,2,SS,x,X,总,2,xy,e,yy,xx,l,SS,SS,SS,l,l,总,回,组内剩余误差,消除,X,的影响,v=N-2k,公共剩余误差,v=N-k-1,修匀均数,v=k-1,2,xyk,e,yyk,xxk,l,SS,SS,SS,SS,l,l,总i,回i,组内,2,xyt,

19、yyt,e,xxt,l,SS,l,l,共,c,e,SS,SS,SS,组内,1,1,c,e,SS,K,F,SS,N,K,共,SAS,计算程序,proc,glm,class gr,model inw=weight gr weight*gr /ss3,run,proc,glm,class gr,model inw=weight gr / solution ss3,lsmeans gr /stderr pdiff,run,应用条件,注意事项,例,1,某实验鼠体重,g,与增加体重,g,的,测定值见下表，问如何分析两组增加体重是,否有差异,A,B,C,体重,g,增加体重,g,体重,g,增加体,重,g,体重,g,增加体重,g,15.00,13.00,11.00,12.00,12.00,16.00,14.00,17.00,85.00,78.00,64.0