第五章-不定积分定义ppt课件

1、1,第五章 不定积分,5.1不定积分的概念与性质 5.2换元积分法 5.3分部积分法 5.4有理函数及三角函数有理式的积分,2,回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.,积分学包括两个基本部分: 不定积分和定积分. 本章研究不定积分的概念、 性质和基本积分方法,那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产生了积分学,3,问题: 若已知某一函数 F(x) 的导数为(x), 求这个函数,则称F(x)是已知函数(x)在该区间I上的一个原函数,一.原函数的定义,定义1 设(x)定义在区间I上, 若存在函数F(x), 使得对,5.1 不定

2、积分的概念和性质,有,例 因为,所以,因为,所以,4,定理1 若函数(x)在区间I上连续, 则(x)在区间I上的原函 数一定存在。 简言之：连续函数一定有原函数,证明略,原函数存在性定理,定理2 设F(x)是函数(x)在区间I上的一个原函数, 则对任 何常数C , F(x) + C也是函数(x)的原函数,证 因为,问题,1) 原函数是否唯一,2) 若不唯一它们之间有什么联系,所以,F(x) + C 也是函数 (x) 的原函数,5,定理3 设F(x)和G(x)都是函数(x)的原函数, 则 F(x) G(x) C (常数,证,由拉格朗日定理知,由此可见: 若 F(x)是(x)的一个原函数, 则表达

3、式 F(x) + C 可表示 (x) 的所有原函数,二.不定积分的定义,定义2 函数(x)的全体原函数称为(x)的不定积分. 记为,显然，若F(x)是函数(x)的一个原函数, 则,6,例如,7,例1 求,解,解,例2 求,8,例3 求下列不定积分,9,三.不定积分的几何意义,而 是(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族, 其特点是,1)积分曲线族中任意一条曲线可 由其中某一条(如y =F(x) 沿 y 轴平行 移动 |c| 个单位而得到,如图)当c0时, 向上移动; 当c 0时, 向下移动,o,x,y,x,y=F(x,c,10,o,x,y,x,y=F(x,

4、2,即横坐标相同点处, 每条积分曲线上 相应点的切线斜率相等, 都为(x),从而相应点的切线相互平行,注:当需要从积分曲线族中求出 过点 的一条积分曲线时, 则只须把 代入 y = F(x) + C 中解出 C 即可,11,例4 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标 的倒数, 且过点 求此曲线方程,解 设所求曲线为 y = (x) , 则,故所求曲线为 y = ln|x| + 2,12,四、 不定积分的性质,13,五、 基本积分表,14,15,导数公式表,积分公式表,以上基本积分公式是求不定积分的基础, 必须记牢,16,例5 求下列不定积分,17,直接积分法,利用基本积分公式和性质求

5、不定积分的方法称为直接 积分法.用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分,例6 求下列不定积分,18,19,例8 一种流感病毒每天以 的速率增加, 其 中t是首次爆发后的天数, 如果第一天有50个病人, 试问在 第10天有多少个人被感染,解 设在第t天有Q(t)个人被感染, 则,20,由题意知当 t = 1时, Q(t) = 50,代入上式可解出 C = 69 , 则,即在第10天有10931个人被感染,21,练习题,无穷多,常数,全体原函数,积分曲线,积分曲线族,平行,连续,22,23,能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的,一.凑微分法(第一换元法,例 计算,分析:此不定积分在积分表中查

6、不到,5.2 换元积分法,为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效的积分法,这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“x”不同,但如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与,积分变量变得相同, 那么就可用公式,求出此不定积分,u是x的函数,24,注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用,恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d(,使原积分变成可直接用积分公式来计算,这种方法称为凑微分法,其理论依据为,25,定理4,证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可,注1.定理4中,若u为自变量时,当然有,当u 换为(x)时, 就有,成立,不定积分的这一性质

7、称为积分形式的不变性,注2. 凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积函数的,中间变量变得与积分变量相同. 即,成立,26,1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如,2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x) .如,凑微分”的方法有,27,例1 求下列各不定积分,结论1,28,29,30,以下常见的凑微分公式,31,32,例2 求不定积分,结论2,同理可得,33,例3 求下列各式的不定积分,34,结论3,35,或原式,同理可得,36,例4 求下列各式的不定积分,同理可得,结论4,一般地, 对形如,这样的不定积分,

8、当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分,37,一般地,对形如,这样的不定积分,若nm，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数,若同为偶，则化为,38,对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分,39,5) 求,解,还有其他方法吗,40,练习,两次凑微分,41,例5 求,解法1,解法2,解法3,注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个常数.如,42,解,例6 设 求,令,43,二.第二换元法（作代换法,注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换,从而,注:这种经过适当选择变量代换x=(t)将积分,求出此

9、积分后回代t 的方法称为第二换元积分法,化为积分,较易积出,44,定理5 设函数(x)连续, x=(t)单调可微, 且 ,而,证明,在此方法中要注意两个问题,1. 函数 的原函数存在,2 .要求代换式x=(t)的反函数存在且唯一,则,45,注1:第二换元积分法是先换元, 再积分, 最后回代. 这与凑微分法 (先凑后换元)不一样,注2: 第二换元积分法主要用来求解被积函数为无理函数的 不定积分,换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分,分两类讲,1.根号里是一次式的,即,2.根号里是二次式的,即 等,1.被积函数含有 的因子时,可令,例1 求下列积分,化简函数后再积分,46,47,解

10、,48,但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况 作不同的三角代换,作法如下,2.被积函数含有 的因子时,可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化,例2 求下列各积分,49,t,a,x,如图,50,51,t,a,x,如图,解 x=atant,t(,则dx =a,dt,asect,因此有,52,t,a,x,则 dx=asecttantdt,atant,故,思考：求,53,例3 求,解,令,54,令,解,3.倒代换 当被积函数的分母的次数较高时，可采用倒代换,55,例5 求,56,解 由题意知,则,例6 (1) 设函数(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分,57,2) 若

11、己知,求,通过上述几种积分方法的学习,将以下几个公式补充在积分表里,58,59,定理5 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则,5.3 分部积分法 Integration by Parts,直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问,题;但对形如,等类型的不定积分,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得,分部积分法,证 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)vdu,对此式两边同时求不定积分, 得,采用这两种方法却无效,60,而不定积分 易于计算,则可采用分部积分公式, 使计算大为简化,注1:不定积分 不易计算,例1 求,解 (1) 设,由分部积分公式得,6

12、1,2). 要比 容易积出,注2:分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两种 不同类型函数乘积的积分,这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定u和v却显得非 常重要.一般说来要考虑以下两点,1). v要容易求得,后一积分更难求,62,例2 求,一般按“反对幂指三”的顺序, 后者先凑入的方法确定 u 和 v,63,比原积分更难积出,例3 求下列不定积分,否则若,64,65,练习,66,参考答案,67,例4 求,这是一个关于 的方程,移项并两边同除以2,得,注:有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用,还有不同的解法吗,68,例5 求,解 令,先换元再分部积分,先凑微分再分部积分,69,

13、3)设 f(x) 有连续的二阶导函数，求,70,是 f(x) 的一个原函数, 求,解,因为,4)已知,是f(x)的一个原函数,所以,71,求不定积分,解,综合练习题,72,求不定积分,解,73,求不定积分,解,原式,74,求不定积分,解,令,则,还有解法吗,先分部积分再换元,75,解法 1,求,先分部积分,设,则,于是,再设,则,于是,后换元,76,代入上式,得,解法 1,求,77,解法 2,先换元,求,后分部积分,设,则,再设,则,78,解,求,已知 的一个原函数是,根据题意,再注意到,两边同时对 求导,得,79,解,求不定积分,令,则,于是,原式,其中,80,解,求不定积分,先折成两个不定

14、积分,再利用分部积分法,原式,81,解,求不定积分,82,解,求,其中 为正整数,用分部积分法,当 时有,即,于是,83,解,求,其中 为正整数,用分部积分法,当 时有,于是,以此作递推公式,即可得,并由,84,解,利用分部积分计算,选,于是,85,解,利用分部积分计算,选,于是,方便,86,一、有理函数的积分,有理函数的定义,两个多项式的商表示的函数,及,都是实数,并且,假定分子与分母之间没有公因式,1,这有理函数是真分式,2,这有理函数是假分式,87,一、有理函数的积分,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一,个真分式之和,例,88,1.由代数学知, 任何多项式 在实数范围内总能分

15、解成一次因式和二次质因式的乘积, 即,其中 为常数; k, s , 为正整 数,且,2.任何一个真分式 均可唯一地分解为若干个最简 分式之和,注意,89,一、有理函数的积分,1,分母中若有因式,则分解后为,若,分解后有,2,分母中若有因式,其中,则分解后为,真分式化为最简分式之和的一般规律,90,一、有理函数的积分,则分解后为,若,分解后有,注,求有理函数积分的关键是,分式化为最简分式之和,利用待定系数法将真,91,分解有理分式,解,设,整理得,即,92,分解有理分式,解,设,代入特殊值来确定系数,*,93,分解有理分式,解,两边同乘以 得,再将上式两边求导,94,分解有理分式,解,令,得,同

16、理,两边同乘以,令,得,所以,95,一、有理函数的原函数,将有理函数化为部分分式之和后,只出现三类情况,1,多项式,2,3,而,其中,96,有理函数的原函数,而,其中,时,97,一、有理函数的原函数,上述三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,绪论,有理函数的原函数都是初等函数,时,98,求不定积分,解,根据例1的结果,原式,99,求不定积分,解,根据例2的结果,原式,100,求不定积分,解,根据例5的结果,有,101,解,根据上述方法,有,102,解,103,求不定积分,解法1,104,求不定积分,解法2,比较 同次幂的系数得,解得,故,105,求不定积分,解法2,比较 同次幂的系数得,解得,故,106,三角函数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算,成的函数称之,构,记为,令,则,107,三角函数有理式的积分,令,则,完,108,求不定积分,解,由万能置换公式,原式,109,求不定积分,解,原式,110,求不定积分,解一,利用万能置换公式,原式,111,求不定积分,解二,修改万能置换公式,令,原式,112,求不定积分,解三,不用万能置换公式,原