函数及其图像课堂

1、第一章,函数、极限与连续,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,1,函数与极限,第一章,函数与极限,1.1,函数及其图像,1.2,函数极限,1.3,无穷小量与无穷大量,1.4,数列的极限,1.5,两个重要极限,1.6,无穷小的比较,1.7,连续函数及其性质,2,函数与极限,1.1,函数及其图像,一、集合,二、常量、变量、函数,三、函数的初等性质,四、函数的初等运算,五、基本初等函数与初等函数,六、函数关系的建立,重点,函数的概念、初等函数,难点,复合函数,3,函数与极限,1.1.1,基础知识回顾,1,集合,具有某种特定性质的对象（事物）的总体,组成这个集合的对象称为该集合的

2、元素,2,1,n,a,a,a,A,所具有的特征,x,x,M,有限集（列举表示,无限集（命题式表示,M,a,M,a,集合,A,B,C,表示；元素,a,b,c,表示,4,函数与极限,2,实数与数轴,无理数,分数,负整数,非负整数（自然数集,整数,有理数,实数,2,8,6,2,1,2,1,2,1,0,e,I,n,N,Z,Q,R,O,1,1,x,实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的,集合一一对应,5,函数与极限,例如,2,1,0,x,x,R,x,1,2,A,2,3,2,0,C,x,x,x,A,C,则,不含任何元素的集合称为空集,记作,例如,规定,空集为任何集合的子集,A,是,B,的,子集,或称,B

3、,包含,A,B,A,若,且,则称,A,与,B,相等,例如,记作,记作,定义,2,若,A,x,B,x,设有集合,A,B,必有,3,集合之间的关系,则称,6,函数与极限,A,c,A,B,B,定义,3,给定两个集合,A,B,定义下列,运算,并集,x,B,A,交集,x,B,A,且,差集,x,B,A,B,x,且,A,B,B,A,余集,A,B,B,A,B,c,A,其中,直积,y,x,B,A,A,x,B,y,R,R,记,2,R,为平面上的全体点集,或,A,B,3,R,x,y,z,x,y,z,R,7,函数与极限,4,区间,是指介于某两个实数之间的全体实数,这两个实数叫做区间的端点,b,a,R,b,a,且,b,

4、x,a,x,称为开区间,记作,a,b,b,x,a,x,称为闭区间,记作,a,b,o,x,a,b,o,x,a,b,8,函数与极限,b,x,a,x,b,x,a,x,称为半开区间,记作,a,b,称为半开区间,记作,a,b,x,a,x,x,x,b,o,x,a,o,x,b,有限区间,无限区间,区间长度的定义,两端点间的距离,线段的长度,称为区间的长度,a,b,a,b,9,函数与极限,5,邻域,x,a,a,a,a,a,a,x,点,a,的去心的,邻域，记作,U,a,o,U,a,o,0,x,x,a,a,a,a,a,U,U,a,x,x,a,a,a,设,a,和,0,数集,x,x,a,称为点,a,的,邻域,是两个实

5、数，且,点,a,叫做这邻域的中心,叫做这邻域的半径,10,函数与极限,几个逻辑符号,表示对“任意一个”、“对每一个,2,1,0,0,x,R,x,表示“存在一个”、“至少有一个,x,使得,1,1,0,x,x,表示“蕴含”，“可推出,1,1,0,x,x,sin,1,y,x,y,表示“当且仅当”、“充分必要”、“等价,1,2,x,x,2,3,2,0,x,x,满足方程,11,函数与极限,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,表示,对每一个,或“任取,或“任意给定,表示,存在,或“至少存在一个,或“能够找到,如实数的阿基米德,Archimedes,公理,任意给定两个正的实数,a,b,都存在一个,自然数,

6、n,na,b,使得,用逻辑符号,和,将阿基米德公理改写,b,na,使得,0,b,a,N,n,12,函数与极限,6,绝对值,0,0,a,a,a,a,a,0,a,运算性质,b,a,ab,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,0,a,a,x,a,x,a,0,a,a,x,a,x,a,x,或,绝对值不等式,13,函数与极限,1.1.2,函数,在某过程中数值保持不变的量称为,常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的,通常用字母,a, b, c,等表示常量,而数值变化的量称为,变量,常量与变量的表示方法,用字母,x, y, t,等表示变量,常量,变量,14,函数与极限,因变量,自变量,数集,D,叫做这个

7、函数的,定义域,y,f,x,x,D,函数,定义,x,D,设,D,R,是一个非空集合,f,是一个确定的法则,如果,通过法则,f,存在唯一的,y,R,则称由,f,确定了一个定义于,D,上，取值于,R,的,函数,记作,与,x,相对应,当,0,x,D,时，称,0,f,x,为函数在点,0,x,处的函数值,函数值全体组成的数集,W,y,y,f,x,x,D,称为函数的,值域,15,函数与极限,f,x,x,f,D,W,函数的两要素,定义域与对应法则,16,函数与极限,约定,如无特别指出，定义域是自变量所能取的,使算式有意义的一切实数值（自然定义域,2,1,y,x,例如,1,1,D,2,1,1,y,x,例如,1

8、,1,D,定义,C,x,y,y,f,x,x,D,y,f,x,点集,称为,函数,的图形,x,y,b,a,D,a,b,x,y,17,函数与极限,习惯上,x,称为自变量,y,称为因变量,也称,y,是,x,的函数,对,于,每,一,个,D,x,之对应,函数值的全体称为函数的值域,记为,W,显,然,B,W,若,D,x,0,则称函数,x,f,在,0,x,处有定义,函数,x,f,在,0,x,处的函数值记为,或,0,x,x,x,f,0,x,f,或,0,x,x,y,处的函数值,在点,称为函数,x,f,y,值与,有唯一的,按法则,y,f,说明,18,函数与极限,不同的对应法则表示不同的函数,如,x,f,y,x,g,

9、y,x,y,j,等等,函数有三种表示法,图象法,表格法,在解析法中,函数的解析式有两类,一个解析式表示的函数,例如,圆的面积,S,与半径,R,的关,系是,2,R,S,解析法,一类仅只有,另一类是由一个以上的解析式表示的函数,在定义域内的不同范围用不同的解析式表示,这种函数称,为,分段函数,这种函数,例如,某市出租车的乘车费,y,元,与里程,x,公里,之间,的关系是,3,0,6,x,y,2,1,3,6,x,x,3,注意,分段函数是一个函数,而不是几个函数,19,函数与极限,函数的定义域,1,函数中有分式,要求分母不能为零,2,函数中根式,要求负数不能开偶次方,3,函数中有对数式,要求真数必须大于

10、零,4,函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域,5,若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域,的,交集,s,vt,t,定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须,注意函数的定义域,在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义,确定定义域,例如,匀速直线运动的位移,是时间,故只能,取非负数,对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身,来确定,即使运算有意义,如,20,函数与极限,例,1,求下列函数的定义域,x,0,2,2,0,2,x,x,x,x,U,2,1,因为,4,所以,又因为,所以,因此函数定义域为,2,2,2,解,x,1,0,x,2,x,1,x,2,U,2,因为,所

11、以,或,所以函数定义域为,1,2,2,x,x,x,1,3,因为,1,1,所以,3,1,3,即,4,3,0,1,1,2,x,x,又因为,1,所以,因此函数的定义域为,x,1,3,arcsin,1,3,y,x,2,1,1,2,4,y,x,x,1,2,lg,2,y,x,1,3,arcsin,3,x,y,x,2,1,1,2,4,y,x,x,1,2,lg,2,x,y,x,1,arcsin,1,3,x,x,2,1,1,2,4,y,x,x,1,2,lg,2,x,y,x,21,函数与极限,练,2,1,1,25,arcsin,lg(2,3,3,x,f,x,x,x,设,解,2,3,0,x,2,3,1,x,f,x,

12、求,的定义域,1,1,3,x,3,1,1,4,2,U,2,25,0,x,1,5,5,x,D,2,3,2,x,D,3,1,x,D,x,x,4,2,4,x,D,定义域是,1,2,3,4,D,D,D,D,D,I,I,I,22,函数与极限,2,符号函数,0,1,0,0,0,1,sgn,x,x,x,x,y,当,当,当,几个特殊的函数举例,1,1,x,y,o,x,x,x,sgn,1,绝对值函数,0,0,x,x,y,x,x,x,x,y,O,23,函数与极限,1 2 3 4 5,2,4,4 -3 -2 -1,4,3,2,1,1,3,x,y,o,阶梯曲线,1,0,x,y,D,x,x,当,是有理数时,当,是无理数

13、时,有理数点,无理数点,1,x,y,o,4,狄利克雷函数,3,取整函数,y,x,x,表示不超过,的最大整数,x,5.3=5, -4.5= -5,24,函数与极限,5,取最值函数,max,y,f,x,g,x,min,y,f,x,g,x,1,max,1,1,1,1,0,1,0,x,x,x,x,x,x,x,y,x,o,y,x,o,min,1,1,x,x,1,2,1,2,1,1,1,1,x,x,x,x,x,25,函数与极限,2,2,1,0,1,0,x,x,f,x,x,x,例如,1,2,x,y,1,2,x,y,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为分段函数,26,函数与极限,

14、例,1,解下列各题,的定义域,求函数,x,x,x,x,f,3,1,1,1,1,0,0,3,0,3,0,x,x,x,x,x,解,或,1,0,1,1,3,0,3,x,x,U,即,2,2,1,2,1,f,x,x,x,f,x,设,求,2,1,1,1,1,2,t,t,t,f,t,x,x,t,则,解：令,t,t,3,2,4,5,1,3,1,1,3,2,2,2,x,x,x,x,x,f,x,x,x,f,27,函数与极限,例,2,3,2,1,2,1,0,1,的定义域,求函数,设,x,f,x,x,x,f,解,2,3,1,2,1,3,0,1,3,x,x,x,f,2,1,2,1,0,1,x,x,x,f,1,2,2,2

15、,3,1,x,x,故定义域是,3, -1,因为,f,x,的定义域是,0, 2,所以对,f,x,3,的有,0,x,32,即,3,x,1,故,f,x,3,的定义,域是,3, -1,28,函数与极限,例,3,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图,所示,写出电压,U,与时间,的函数关系式,0,t,t,解,U,t,o,E,2,E,0,2,2,0,时,当,t,t,E,U,2,2,t,E,单三角脉冲信号的电压,2,时,当,t,0,0,2,U,E,t,2,t,E,U,即,29,函数与极限,时,当,t,0,U,其表达式为,是一个分段函数,t,U,U,0,2,2,2,0,2,t,t,t,E,t,t,E,t,U

16、,U,t,o,E,2,E,0,2,30,函数与极限,例,4,已知函数,1,1,1,0,2,x,x,x,x,x,f,y,解,2,1,f,及,1,t,f,写出,f,x,的定义域及值域,并求,f,x,的定义域,0,D,值域,0,D,f,2,1,2,1,2,f,2,1,t,f,1,0,t,1,1,t,1,t,2,t,x,y,O,x,y,2,x,y,1,1,31,函数与极限,1.1.3,函数的几种特性,0,f,D,R,X,D,M,x,X,f,x,M,f,x,X,设,若,有,成立,则称函数,在,上有界,1,函数的有界性,bounded,0,M,M,M,x,X,f,x,M,f,x,X,若,使得,则称,在,上

17、无界,2,1,1,f,x,x,M,1,M,-1,1,1,x,y,32,函数与极限,0,M,x,X,f,x,M,f,x,X,有下,若,使得,则称,在,上,界,0,M,x,X,f,x,M,f,x,X,有上,若,使得,则称,在,上,界,有界的充分必要条件是,既有上界又有下界,1,f,x,x,x,y,o,33,函数与极限,1,sin,x,1,cos,x,2,arctan,x,cot,arc,x,arccos,x,2,arcsin,x,1,1,例,所以它们都是各自定义域上的,有界函数,34,函数与极限,注,有界的几何意义如左下图,有界,x,y,O,a,b,x,f,G,G,b,a,I,无界,1,1,0,H

18、,x,D,s,t,f,x,h,不论它多大,f,x,D,则称,在,上,无界,无界,x,y,O,2,1,x,H,x,y,1,2,0,I,1,0,2,f,x,x,如,在,上无界,见右下图,35,函数与极限,2,函数的单调性,monotonicity,x,f,y,1,x,f,2,x,f,x,y,o,I,当,2,1,I,x,x,2,1,x,x,时,恒有,1,2,f,x,f,x,称,f,x,为,I,上的单调增函数,设函数,f,x,的定义域是,D,且有区间,D,I,若,36,函数与极限,x,x,f,y,1,x,f,2,x,f,y,o,I,当,2,1,I,x,x,2,1,x,x,时,恒有,1,2,f,x,f,

19、x,称,f,x,为,I,上的单调减函数,设函数,f,x,的定义域是,D,且有区间,D,I,若,37,函数与极限,注,2,应指明单调区间,否则会产生错误,1,若定义中,改为,f,x,I,则称,在,上,单调不减,增,1,0,f,x,x,x,如,例,2,1,2,f,x,x,x,讨论函数,的单调性,解,D,1,2,1,2,x,x,D,x,x,任取,设,1,2,f,x,f,x,与,下面比较,的大小,3,3,2,1,2,1,2,1,2,2,2,1,2,1,2,1,3,3,3,f,x,f,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,0,0? 0,38,函数与极限,容易看出,2,2,1,2,1,2,2,1,2

20、,1,1,3,0,x,x,x,x,x,x,x,x,当,1,或,时,1,1,f,x,在,和,上都是单调增加的,不难验证,2,2,1,2,2,1,2,1,1,3,0,x,x,x,x,x,x,当,1,时,1,1,f,x,在,上是单调减少的,39,函数与极限,3,函数的奇偶性,关于原点对称,设,D,为偶函数,称,若,1,x,f,x,f,x,f,D,x,偶函数,y,x,x,f,x,f,y,o,x,x,x,f,轴是对称的,偶函数的图形关于,注,y,40,函数与极限,为奇函数,称,若,2,x,f,x,f,x,f,D,x,是对称的,奇函数的图形关于原点,注,x,f,y,x,x,f,o,x,x,x,f,y,奇函

21、数,41,函数与极限,如,x,y,cos,在区间,上是偶函数,如图,2.1,如,3,x,y,在,上是奇函数,如图,2.2,函数,x,x,y,2,sin,4,在,上是非奇非偶函数,如图,2.3,6,4,2,2,4,6,1,0.5,0.5,1,x,y,cos,图,2.1,3,2,1,1,2,3,0.6,0.4,0.2,0.2,0.4,0.6,3,x,y,图,2.2,3,2,1,1,2,3,2,4,6,8,10,x,x,y,2,sin,4,图,2.3,42,函数与极限,4,函数的周期性,periodicity,通常说周期函数的周期是指其最小正,周期,2,l,2,l,2,3,l,2,3,l,f,x,D

22、,T,x,D,x,T,D,f,x+T,f,x,f,x,T,f,x,设函数,的定义域为,如果存在一个不为零的,数,使得对于任意的,且,恒成立,则称,为周期函数,为,的周期,周期为,43,函数与极限,例,狄利克雷,Dirichlet,函数,x,D,y,Q,x,C,Q,x,1,0,狄利克雷,德,1805-1859,有理数点,无理数点,1,x,y,o,当,x,是有理函数时,当,x,是无理函数时,这是一个,周期函数,任何正有理数,r,都是它,的周期,因为不存在最小的正有理数,所以没有,最小正周期,44,函数与极限,1.1.4,函数的初等运算,1,函数的四则运算,0,2,1,2,1,x,g,D,x,x,g

23、,x,f,D,x,x,g,x,f,D,x,x,g,x,f,D,x,x,g,x,f,D,D,D,R,D,g,R,D,f,商,积,差,和,且,设,45,函数与极限,log,x,x,g,x,x,f,2,1,1,设,例,1,0,0,1,D,则,1,0,log,1,1,0,log,1,1,0,log,1,2,2,2,x,x,x,x,g,x,f,x,x,x,x,g,x,f,x,x,x,x,g,x,f,46,函数与极限,0,x,0,y,x,y,D,W,x,f,y,函数,o,0,x,0,y,D,x,y,W,1,y,f,x,反函数,o,2,反函数,inverse function,运算,1,2,1,2,1,2,

24、1,y,f,x,x,D,W,f,D,x,x,D,x,x,f,x,f,x,f,D,W,y,W,x,D,y,f,x,设,如果,且,则称,为,到,上,的一个一一对应,使得,1,1,W,f,f,x,f,y,y,W,由此确定了定义在,上的一个新的函数，称,其为,的反函数，记为,即,47,函数与极限,注,2,x,y,习惯上,常用,作自变量,用,表示因变量,这样将,1,x,f,y,y,f,D,反函数,改记,为,1,y,x,x,f,f,D,1,3,y,f,x,x,f,y,在同一直角坐标系中,与,表示,1,y,f,x,y,f,x,同一曲线,而,与,表示不同曲线,y,x,它们关于直线,对称,1,1,1,x,f,y

25、,f,由定义知，反函数,的对应法则,完全由,y,f,x,f,直接函数,的对应法则,所确定，并且反函数,的定义域,值域,恰好是直接函数的值域,定义域,48,函数与极限,2,1,2,x,f,x,x,例,求函数,的反函数,2,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,x,y,y,xy,y,x,x,x,y,x,y,x,x,解,由,习惯上,D,x,x,f,y,的反函数记成,1,D,f,x,x,f,y,1,反函数的求法：先由,y,f,x,解出,1,x,f,y,根据习惯,f,x,的反函数记为,1,y,f,x,x,W,49,函数与极限,2,函数与反函数的图形关于直线,对称,x,y,x,f,y,直接函数,

26、x,y,o,a,b,Q,b,a,P,x,y,j,反函数,1,D,x,x,x,f,f,即,D,I,f,f,1,1,W,y,y,y,f,f,即,W,I,f,f,1,3,反函数与函数的关系,50,函数与极限,3,的反函数,求,互为反函数,与,例：设函数,x,f,x,f,x,3,y,f,x,解：设,3,3,y,f,x,x,3,x,y,3,3,f,x,y,x,故,的反函数是,51,函数与极限,3,复合函数,u,y,设,1,2,x,u,2,1,x,y,1,D,手电筒,D,D,2,D,复合函数,52,函数与极限,复合函数也可以看作是产品的二次加工,多次加工,53,函数与极限,自变量,x,中间变量,u,因变量

27、,y,x,u,y,x,u,u,f,y,x,f,y,定义,设函数,y,f,x,的定义域是,f,D,而函数,u,x,的值域为,Z,若,f,D,Z,I,则可确定,y,为,x,的函数,称为,f,与,的复合函数，记为,f,o,即,1,f,y,f,x,x,D,x,x,D,54,函数与极限,注意,1,不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的,arcsin,u,y,例如,2,2,x,u,2,arcsin,2,x,y,2,复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,2,cot,x,y,例如,u,y,cot,v,u,2,x,v,1,log,2,2,x,f,g,x,x,g,x,x,f,则,例如，设,log,1,2,

28、2,x,无意义,但是,1,log,2,2,x,x,g,f,3,复合运算不满足交换性,即一般而言,f,g,g,f,55,函数与极限,例,2,x,f,x,x,x,x,x,x,x,x,e,x,f,x,j,j,求,设,0,1,0,2,1,1,2,解,j,j,j,j,j,1,1,x,x,x,e,x,f,x,1,1,0,时,当,j,x,0,x,或,1,2,j,x,x,2,0,x,0,x,或,1,1,2,j,x,x,1,x,56,函数与极限,综上所述,0,x,或,1,2,0,时,当,x,j,1,2,x,x,j,0,1,x,0,x,或,1,1,2,x,x,j,2,x,2,1,2,0,0,1,1,2,2,1,2

29、,2,x,x,x,x,x,e,x,e,x,f,x,x,j,x,f,x,x,x,x,x,x,x,x,e,x,f,x,j,j,求,设,0,1,0,2,1,1,2,57,函数与极限,1,幂函数,power function,是常数,x,y,x,y,O,1,1,1,1,x,y,2,x,y,x,y,1,x,y,1.1.5,基本初等函数与初等函数,基本初等函数,6,类,常数函数、幂函数、指数,函数、对数函数、三角函数、反三角函数,58,函数与极限,2,指数函数,exponential function,1,0,a,a,a,y,x,x,a,y,x,a,y,1,1,a,1,0,x,e,y,定义域为,值域为,0

30、,x,y,O,59,函数与极限,3,对数函数,logarithm function,1,0,log,a,a,x,y,a,x,y,ln,x,y,a,log,x,y,a,1,log,1,a,定义域为,值域为,0,x,y,O,0,1,60,函数与极限,4,三角函数,trigonometric function,正弦函数,x,y,sin,x,y,sin,定义域为,值域为,1,1,1,1,x,y,O,2,2,2,3,2,2,3,2,61,函数与极限,x,y,cos,x,y,cos,余弦函数,定义域为,值域为,1,1,1,1,x,y,O,2,2,2,3,2,2,3,2,5,62,函数与极限,正切函数,x,

31、y,cot,余切函数,x,y,tan,x,y,tan,x,y,cot,定义域,值域,Z,n,n,x,2,1,2,定义域,值域,Z,n,n,x,x,y,O,2,2,2,3,2,3,x,y,O,2,2,2,2,3,63,函数与极限,5,反三角函数,inverse trigonometric function,x,y,arcsin,x,y,sin,arc,定义域,值域,1,1,2,2,主值,反正弦函数,x,y,O,2,2,1,1,64,函数与极限,x,y,arccos,定义域,值域,1,1,0,主值,反余弦函数,x,y,cos,arc,x,y,O,1,1,65,函数与极限,x,y,arctan,主值

32、,定义域,值域,2,2,反正切函数,x,y,tan,Arc,x,y,O,2,2,反余切函数,x,y,Arccot,x,y,O,2,主值,x,y,cot,arc,定义域,值域,0,幂函数、指数函数、对数函数、三角,函数和反三角函数统称为,基本初等函数,66,函数与极限,2,初等函数,elementary function,及其分解,初等函数,如,1,1,ln,8,sin,3,2,2,2,x,a,x,y,x,3,ln,1,x,y,都是初等函数,7,7,5,5,3,3,7,5,3,x,x,x,x,y,不是初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,加、减、乘、除,和有限次的函数复合步骤所构,成

33、并可用一个式子表示的函数,称为,67,函数与极限,又如,2,3,2,1,x,xe,y,等都是初等函数,如,0,0,3,2,x,x,x,x,x,f,不是初等函数,2,x,如,x,sin,1,x,x,x,x,y,3,2,log,tan,4,cos,1,分段函数一般,不是初等函数,注意,是初等函数,0,0,x,x,x,x,而,y,68,函数与极限,双曲函数与反双曲函数,2,sinh,x,x,e,e,x,双曲正弦,x,y,cosh,x,y,sinh,D,奇函数,2,cosh,x,x,e,e,x,双曲余弦,D,偶函数,1,双曲函数,x,e,y,2,1,x,e,y,2,1,69,函数与极限,x,x,x,x

34、,e,e,e,e,x,x,x,cosh,sinh,tanh,双曲正切,奇函数,D,有界函数,70,函数与极限,双曲函数常用公式,sinh,cosh,cosh,sinh,sinh,y,x,y,x,y,x,sinh,sinh,cosh,cosh,cosh,y,x,y,x,y,x,1,sinh,cosh,2,2,x,x,cosh,sinh,2,2,sinh,x,x,x,sinh,cosh,2,cosh,2,2,x,x,x,71,函数与极限,反双曲函数,奇函数,D,内单调增加,在,sinh,x,y,反双曲正弦,ar,1,ln,sinh,2,x,x,x,y,ar,sinh,ar,x,y,1,内单调增加,在,1,D,y,反双曲余弦,cosh,ar,1,ln,cosh,2,x,x,x,y,ar,x,cosh,ar,x,y,72,函数与极限,1,1,ln,2,1,x,x,1,1,D,奇函数,1,1,内单调增加,在,y,反双曲正切,tanh,ar,x,y,tanh,ar,x,tanh,ar,x,y,73,函数与极限,1,内单调增加,在,1,D,y,反双曲余弦,cosh,ar,1,ln,cosh,2,x,x,x,y,ar,x,cosh,ar,x,y,74,函数与极限,1.1.6,函数关系的建立,例,1,函数的列表表示,某公