(新课程)高中数学《1.1.3导数的几何意义》教案新人教A版选修2-2

1、1.1.3 导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数=(x) 在= 0 处的瞬时变化率，反映了函数=(x) 在= 0y fx xy fx x附近的变化情况，导数f ( x0 ) 的几何意义是什么呢？二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2 ，当 pn (xn ,f (x n)( n 1,2,3,4)

2、沿着曲线f (x)趋近于点 p( x0 , f ( x0 ) 时，割线 ppn 的变化趋势是什么？图 3.1-2我们发现 , 当点 p 沿着曲线无限接近点 p 即x 0 时 , 割线 pp 趋近于确定的位置，这个nn确定位置的直线pt称为曲线在点p 处的切线 .1问题： 割线 ppn 的斜率 kn 与切线 pt的斜率 k 有什么关系？ 切线 pt的斜率 k 为多少？容易知道， 割线 ppn 的斜率是 knf (xn )f (x0 ) , 当点 pn 沿着曲线无限接近点p 时， kn 无xnx0限趋近于切线 pt的斜率 k ，即 klimf ( x0 x)f ( x0 )f (x0 )x0x说明

3、：（ 1）设切线的倾斜角为 , 那么当x 0 时 , 割线 pq的斜率 , 称为曲线在点 p 处的切线的斜率 .这个概念 : 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在xx0 处的导数 .（ 2）曲线在某点处的切线 :1) 与该点的位置有关 ;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解 . 如有极限 , 则在此点有切线 , 且切线是唯一的 ; 如不存在 , 则在此点处无切线 ;3) 曲线的切线 , 并不一定与曲线只有一个交点 , 可以有多个 , 甚至可以无穷多个 .（二）导数的几何意义：函数 y=f ( x) 在 x=x0 处的导数等于在该点( x0 , f (x0 ) 处的

4、切线的斜率，即 f ( x0 ) limf ( x0x)f (x0 )kx 0x:说明： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求出 p 点的坐标 ;求出函数在点x0 处的变化率f ( x0 )lim f ( x0x) f ( x0 )k ，得到曲线在点x 0x( x0 , f ( x0 ) 的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数 f ( x) 在 x=x0 处求导数的过程可以看到, 当时 , f (x0 )是一个确定的数，那么, 当x 变化时 , 便是 x 的一个函数 , 我们叫它为f ( x) 的导函数 . 记作： f ( x) 或 y ，即 : f ( x) ylim f

5、(xx) f ( x)x 0x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数f ( x) 在点 x0 处的导数f (x0 ) 、导函数f ( x) 、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数f ( x0 ) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的，就是函数f(x) 的导函数3）函数 f ( x) 在点 x0 处的导数f (x0 ) 就是导函数f ( x) 在 xx0 处的函数值，这也是求函2数在点 x0 处的导数的方法之一。三典例分析例 1: （ 1）求曲线 y=f ( x)= x2+1 在点 p(1,

6、2) 处的切线方程 .（ 2）求函数 y=3x2 在点 (1,3) 处的导数 .解：（ 1） y|x 1(1x)21(121)2xx2limxlimx2 ,x0x 0所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22( x1) 即 2xy0（ 2）因为 y |x 13x23 12lim3( x2 12 )lim3( x 1)6limx1x 1x 1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36( x1) 即 6xy3 0（2）求函数 f ( x)=x 2x 在 x1 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数解：y(1x) 2(1x)23xxxf( 1)limy( 1x) 2(

7、1x) 2lim (3x)3xxx0x0例 2（课本例2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h( x)4.9 x26.5x 10 ，根据图像， 请描述、 比较曲线 h(t) 在t0 、 t1 、 t2 附近的变化情况解：我们用曲线h(t) 在 t0、 t1 、 t2 处的切线，刻画曲线h(t ) 在上述三个时刻附近的变化情况（1）当 tt0 时，曲线 h(t ) 在 t0 处的切线 l 0 平行于 x 轴，所以，在 tt0 附近曲线比较平坦，几乎没有升降（2）当 tt1 时，曲线 h(t ) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h (t1 )0 ，所以，在 tt1 附近曲线下

8、降，即函数h( x)4.9 x26.5x10 在 tt1 附近单调递减（3）当 tt2 时，曲线 h(t ) 在 t2 处的切线 l2 的斜率 h (t2 )0 ，所以，在 tt2 附近曲线下3降，即函数 h( x)4.9 x26.5x10 在 tt2 附近单调递减从图 3.1-3可以看出，直线l1 的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线在t1 附近比在 t2 附近下降的缓慢例 3（课本例3）如图 3.1-4 ，它表示人体血管中药物浓度cf (t ) ( 单位： mg / ml ) 随时间 t （单位： min ）变化的图象根据图像，估计t0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1 ）解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t ) 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f (t ) 在此点处的切线的斜率如图 3.1-4 ，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作 t0.8 处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)， (1.0,0.48) ，则它的斜率为：0.480.91k1.41.00.7所以f (0.8)1.4下表给出了药物浓度瞬