高中数学《函数及其表示》文字素材(2)新人教A版必修1

1、函数及其表示三角函数是中学阶段所学初等函数中重要的一个，除给出三角函数定义外， 最重要的是研究三角函数所具备的函数的通性及其三角函数的特性在第一单元： 任意角的三角函数中已经给出了三角函数定义，第二单元又为研究三角函数所需变形作好了准备所以本单元在第四章中的地位可理解为：第一、二两个单元是本单元的预备知识本单元是前两个单元的应用与归宿、最终为三角函数应用科学技术作好理论准备三角函数性质的研究方法和研究二次函数，指数函数、 对数函数一样是用数形结合的方法，由简单到复杂，特殊到一般，由具体到抽象的方法逐步深入“数”与“形”是数学研究的两类不同的对象，它们既是对立的， 又是统一的， 每一个几何图形中

2、的都蕴含着反映该图形性质的数量关系；反之，数量关系及其性质又常常可以通过几何图形的性质来反映，来描述所以本单元在三角函数定义，特别是三角函数的向量定义单位圆中的三角函数线为基础，推出ysin x, ycos x 的定义域、值域，从而确定了ysin x, ycos x 图象的存在范围；同样的定义和单位圆发现y 随 x 变化时的一些特殊点最大值点、最小值点，零点以正弦值在2k,2(1)上变化顺次地重复了在区间0,2上的变化，从而找到了用列表描点和单位圆描点的“十三点”法画出了ysin x和 ycosx 的图象反过来用图 象 进 一 步 研 究 了 y sin x, ycos x 的 性 质 ， 接

3、 下 来 用 变 量 代 换 的 方 法 研 究 了y asin x, ysinx 图象的画法及 y sin x 图象的关系， 进一步研究 yasinx 图象的 画 法 与 ysin x 图 象 的 关 系 最 后 研 究 用 变 量 代 换 的 方 法 和 化 归 的 思 想 画 出y asin( x)的图象并讨论了与 ysin x 图象的关系其知识系统及其结构如下面框图所示：用心爱心专心1三坐标定义特殊角三角正切函数图函数值象法及性质角函数定义几何定义一单位圆中的三角函数线应用已知三角函y a sin( x)y sin x, y cos x数值求角的图象的基本性质ya sin(x)的性质在

4、建立上述体系中不仅告诉我们本单元知识发生发展的过程及其逻辑结构，更重要的是让我们体会到：(1) 正、余弦函数图象是本单元的核心，只要掌握了正、余弦函数图象的画法、并画出其图象， 正、余弦函数的性质就一目了然， y=asin( x+ ) 图象用换元的方法也就可以转化为 y=asin x 的图象；根据y=sinx的基本性质很容易讨论y=asin( x+) 的性质这里体现了特殊与一般的关系同时也告诉我们复杂的问题总是转化为简单的问题来研究，并获得解决这体现了数学中的转化能力和数学变式能力(2) 在由 y=sin x 的图象转化为 y=asin( x+ )+ k 的图象过程中反复， 使用了由“数”“形

5、”或由“形”“数”的转化，使我们由函数式= sin( + )+k想到正弦曲线的图y ax形，由正弦曲线的图形可以求出三角函数表达式这是数形结合的典范用心爱心专心2正余弦 象和性 概念辨析1. 函数的增减性 与 像的升降形 是一个事物的两种不同的表 形式，当函数 增 ， 反映到 像是上升的 ， 当函数 减 ， 反映到 像是下降 ， “增”“减”用到函数上， “升”“降”用到 像上2. 函数的 性可以看作函数的 “局部” 性 ，它在定 域的某一个子区 上 增（减），因此正弦函数 y sin x 的 增区 有无数多个，可以 写 ：2k, 2k( kz ) ，22就是 ， k 每取一个整数 ，就得到一个 增区 ，而不能写成：,32, 2 ，22 里并集符号“”用 了3. 周期通常指最小正周期4. 并不是所有周期函数都有最小正周期（如f x 1）5. 不只三角函数才是周期函数，如yf (x)( x2k )2 ， x2k1,2k1（ kz ）也是周期函数，