高中数学百大经典例题——复数概念(新课标)

1、判断正误练习判断下面说法是否正确，如果并说明原因。（ 1） ai(ar) 是纯虚数；（ 2）在复平面内，原点也在虚轴上；分析：先判断正误，若错误考虑如何纠错？或直接改正或举反例试之。（ 1）错误。因为当 a 0 时，不是纯虚数。（ 2）错误。因为原点不在虚轴上。探究性问题已知关于 x 的方程 x22i1 x3mi0 有实根，求实数m 的取值。分析：注意不能用判别式 来解。如：方程有实根21 24 4m i0i错误的原因是虚数不能比较大小，因此涉及到大小问题的概念和理论如与不等式有关的判别解：设方程的实根为x0 ，则x22i1 x3m i000整理得： x02x04m2x0 1 i 1由复数相等

2、的条件知：x02x03m012 x010m2复数的分类例题例 实数 a 分别取什么值时，复数za2a 6(a22a15)i 是（ 1）实数（ 2 ）虚a3数（ 3）纯虚数。解：实部 a2a 6(a 2)(a3) ，虚部 a22a 15( a3)( a 5)a3a 3（ 1）当 a 5时，z 是实数；（ 2）当 a5 ，且 a3 时，z 是虚数；（ 3）当 a2 或 a 3时是纯虚数复数的相等例题用心爱心专心例 设 z1 ( m22m 3) (m24m 3)i （ mr ）， z25 3i ，当 m 取何值时，（ 1）z1 z2 ；（ 2） z10.分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化

3、为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法， 这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 m 的方程，求出 m 的值解：（ 1）由可得：m22m35m24m3解之得 m 4 ，3即：当 m4 时 z1 z2 .（ 2）当 z10 可得：m22m 3 0 或 m24m 30 ，即 m 3 时 z1 0复数与复平面上的点的对应关系的例题例 设复数 z a bi 和复平面的点z（ a, b ）对应， a 、 b 必须满足什么条件，才能使点z 位于：（ 1）实轴上？（ 2）虚轴上？（3）上半平面（含实轴）？（4）左半平面（不含虚轴及原点）？分析：本题主要考查复数z abi与复平面的点z（ a,

4、b ）建立一一对应的关系解：（ 1） b0（ 2） a 0 且 b 0（ 3） b 0（ 4） a 0求点的轨迹的例题例 已知关于 t 的一元二次方程 t 2(2 i )t 2xy ( x y)i 0, ( x, y r )（ 1）当方程有实根时，求点( x, y) 的轨迹方程（ 2）求方程的实根的取值范围思路分析（ 1）本题方程中有t、 x、 y 三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式，而结论是要求动点 (x, y) 的轨迹方程， 联想到解析几何知识， 求 ( x, y) 的轨迹方程就是求关于x、y 的方程，于是上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t ，问题得解（ 2 ） 由

5、 上 面 解 答 过 程 中 的 知 x y t0 可 看 作 一 条 直 线 ， 由 知用心爱心专心(x 1)2( y 1)22 是一个 ，因此求 根t的范 可 化 直 与 有公共点的 解答（ 1） 根 t ， t 2(2 i )t2xy( x y)i0即 (t 22t2xy) (t x y)i0根据复数相等的充要条件得t 22t2 xy0(1)tx y0(2)由（ 2）得 tyx 代入（ 1 ）得 ( yx)22( yx) 2xy0即 ( x1) 2( y1) 22（ 3）所求点的 迹方程 (x 1) 2( y1) 22 ， 迹是以（1， 1） 心，2 半径的 （ 2）由（ 3）得 心 （

6、1， 1），半径 r2 ，直 与 有公共点， 1(1)t2 ，2即 t2 24t0 ，故方程的 根的取 范 4,0 思 断此 涉及到复数与解析几何的知 ， 合性 ，学生往往不易入手， 不到位，且有畏惧心理，是思 受阻的主要因素，在第（2） 求 根的取 范 可由（1）（2 ）消去 y 建立关于 数x 的二次方程，用判 式求出 t 的范 同 通 本 ，同学 要 一步 ，把复数 化 数 求解的必要性， 是解决有关复数与方程 用的手法，要切 掌握好复数相等的例题2例已知 x 是 数， y 是 虚数，且 足(2 x1)i y (3 y)i ，求 x 与 y思路分析因 y 是 虚数，所以可 y bi (b

7、r ,b0)，代入等式，把等式的左、右两 都整理成 a bi 形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x 与 b 的方程 ， 求解后得 x 与 b 解答设 ybi (br且 b0) 代入条件并整理得( 2x1) ib (b3)i用心爱心专心2x1bb43 , y 4i.3 x由复数相等的条件得b 3解得1x22思维诊断一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决在2x1y解此题时， 学生易忽视y 是纯虚数这一条件，而直接得出等式进行求解， 这是审1(3y)题不细所致复数相等的例题3例 已

8、知关于 x 的方程 x2( k2i )x 2ki 0 有实根，求这个实根以及实数k 的值思路分析方程的实根必然适合方程，设x x0 为方程的实根，代入整理后得a bi0 的形式(a、 b r ) 由复数相等的充要条件，可得关于x0 与 k 的方程组，通过解方程组便可求得 x0与 k解答设 xx0 是方程的实根，代入方程并整理得( x02kx02) (2x0k)i 0由复数相等的条件得x02kx0202 x0k0解得x02,x02,或k2 2k22,方程的实根为x2 或 x2 ，相应的 k 值为 k22 或 k2 2 思维诊断学生易给出如下错解：方程有实根，(k2 ) 24(2ki)0解得 k

9、2 3 或ik 2 3 这是由于错把实系数一元二次方程根的判别式运用到了复系数一元二次方程中，事实上，在复数集内解复系数一元二次方程，判别式不能够判断方程有无实根，这一点后面还会提到因此，解关于方程有实根的问题，一般都是把实根代入方程，用复数相等条件求解复数的分类例题用心爱心专心例m 取何实数时，复数 zm2m 6(m22m 15)i （1）是实数？（ 2）是虚数？m3（ 3）是纯虚数？思路分析本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数由于所给复数z 已写成标准形式，即 zabi (a、 br ) ，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题解答（ 1）当m22m 15 0时，m 5或m3时 即 m 5m30即m3 m 5时， z 是实数（ 2）当m22m 15 0时，m 5且m 3m30即m3当 m5 且 m3 时， z 是虚数m2m60m3或 m2（