高中数学集合与函数中的创新题

1、集合与函数中的创新题在考试中，会出现一些以考查同学们探究能力和创新能力为目的的“创新题” ，此类问题常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提炼数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体， 本文精选一些以集合与函数为背景的创新题型，并分类解析，旨在探索题型规律，供同学们参考。一、新定义型创新题新定义型信息题是指以已有知识为基础，并在此基础上进一步引申或定义新的情景，即给出一定量的新信息， 要求同学们根据新定义进行解题。新定义型信息题是试题改革的一个亮点，它能有效地考查学生独立获取信息、加工信息及继续学习的能力。例 1定义差集 a b x

2、| x a , 且 xb ，现有三个集合 a、 b、 c 分别用圆表示，则集合 ca b 可表示下列图中阴影部分的为（）分析：根据题设中的新定义， 从图形里挖掘解题的有关信息， 将图形语言向数学符号语言转化。解：根据题设中的新定义，可以得出集合 a-b 可表示如下图所示，再根据新定义可以看出集合 c-（ a-b ）表示为图 a 。故选 a 。点评：解决此类问题常分为三大步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定化归的方向；（ 2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法； （ 3）对定义中提出的知识进行转换，有效地输出，其中对定义信息的提取和化归转化是解题的关键，也是解题的难点。二、结论开放型给

3、出多个结论，需要同学们对每个备选结论判断真伪，填写出满足条件的结论。x, xp,f ( x)m ，其中例 2函数x, xp， m为实数集 r 的两个非空子集，又规定f (p) y | yf (x ), x p ， f ( m ) y | yf (x ), xm ，给出下列四个判断：若 pm，则 f ( p)f (m )；若 pm，则 f ( p)f (m )；若 pmr, 则f (p)f ( m )r ；若 pmr ，则 f (p)f ( m )r 。其中正确判断有 _。（将所有正确的序号填在空格内）解析：取特殊集合，若令p 1, 2 ， m 1,2 ， pm，而 f (p)1, 2 ，f (

4、m ) 1, 2 ，有 f ( p)f (m ) ，故不正确；若令 p x | x 0,m x | x 0 有 pmr ，而 f (p)f (m ) 0, ，故不正确。只有正确，故填。点评：结论开放型创新问题， 结论是不确定或不唯一的， 解题时要注意运用相应的解题策略，如举反例、特殊值法、 排除法、等价转化、数形结合等。直觉、联想、较好的洞察力，有助于解决开放型创新题。三、存在型创新题对于结论没有明确给出，常常以“是否存在” ，“是否有”的形式进行设问，结论有待判断的这类问题称之为是否存在型开放性创新题。例 3已知二次函数 f ( x )ax 2bxc ，若 ab c 且 f(1) 0 ，是否

5、存在实数m，使得 f ( m) =a 成立时， f (m 3) 为正数？若存在， 则证明你的结论； 若不存在， 则说明理由。解：由 f (1)abc =0 及 abc 有 a0 ， c0 。c又 1 是 f (x )0 的一个根，记另一个根为0 ，则a。c0而 abc ， bac ，所以 aac2ac ，即2a。假设存在实数m，使 f (m)a 成立，cf ( x)a xc则由 a ， 1 是 f ( x)x 10 的两个根，有a。f (m)cm1a0a m从而a。cm1c3m3所以 a，从而 a，c2c3 1c31因为 am 3，即 a，所以a。又因为 a0， 1 是 f(x )0 的一个大根，所以f ( x) 在 1,) 上单调递增。所以 f (m3)f (1)0 ，即