圆柱波函数与圆球波函数ppt课件

1、1,第六章 圆柱波函数和圆球波函数,2,6.1、标量圆柱波函数和柱面波,由Maxwell方程通过分离变量法可导出齐次标量Helmholtz方程。Helmholtz方程定量描述了正弦电磁波的传播特性，因而它的解称为波函数。在圆柱坐标系中，齐次标量Helmhotz方程表示式为,方程的基本解称为标量柱面波函数，也即标量Helmhotz方程对应算子的本征函数,用分离变量法来求解上式,3,可以得到3个独立的常微分方程,式中，n为正整数（即n0，1，2，）,而,4,第一个为标准Bessel方程，它的解为Bessel函数。通常用,来表示n阶Bessel函数。Bessel函数有多种类型,第一类Bessel函数

2、通常简称为Bessel函数，用,表示，其渐近公式为,第一类Bessel函数的物理意义为描述柱面驻波的波动特性,下图给出了第一类Bessel函数的变化特性（图中横轴为,纵轴为,5,图6.1.1 第一类Bessel函数的变化特性,6,第二类Bessel函数也称Neuman函数，用,与第一类Bessel函数的关系为,其渐近公式为,表示,第二类Bessel函数的物理意义为描述柱面驻波的波动,特性,下图给出了第二类Bessel函数的变化特性（图中横轴为,纵轴为,7,图6.1.2 第二类Bessel函数的变化特性,8,第三类Bessel函数也称为Hankel函数， Hankel函数可分为两类，分别称为第一

3、类Hankel函数和第二类Hankel函数,第一类Hankel函数用,来表示，其物理意义,是描述柱面内行波的波动特性,它的渐近公式为,第二类Hankel函数用,来表示，其物理意义,是描述柱面外行波的波动特性,它的渐近公式为,9,Hankel函数也为是第一类Bessel函数和第二类Bessel函数的线性组合。其关系为,当,时,为虚数，令,则有修正Bessel函数,其解即为修正Bessel函数,10,修正Bessel函数可分为两类。第一类修正Bessel函数用,表示，其定义为,第二类修正Bessel函数用,表示，它与第一类修正,Bessel函数的关系为,综上所述，齐次标量Helmhotz方程的解来

4、表示，即为,的类型可根据具体电磁场的特征选取,11,当 为离散谱的情况下，齐次标量Helmhotz方程的通解为,当 为连续谱的情况下，齐次标量Helmhotz方程的通解为,12,图6.1.3 圆柱波的传播,显然，等相位面是圆柱面 且波面沿 方向扩展并传 播。将这种传播方式的波 称为柱面波,左图画出了 时波函数 传播的示意图,13,6.2、圆球波函数与球面波,在球坐标中，标量波动方程为,采用分离变量法 ，令 得到,14,连带Legendre函数的表达式为,式中， 为Legendre函数。与 相应的另一 独立解为 ，方程一般解可写为,15,令 ，则,满足,这是一个半奇数的Bessel方程，其解为,

5、16,定义球Bessel函数为,17,对于球内的散射场，可取基本波函数为,对于球外的散射场，可取基本波函数为,同样，可以由基本波函数的迭加来表示任意波场,18,球Bessel函数的物理意义与Bessel函数的物理意义相似,零阶球Bessel函数有简单的表达式为,高阶球Bessel函数也有显明的初等函数表达式,19,显然，电磁场沿r方向以球的中心向外传播，是球面状传播（辐射），将这种波称为球面波,图6.2.1 球面波的传播,20,在球坐标系下讨论矢量波函数及其所对应的矢量球面波,在以点源为坐标原点的球面坐标系中，波矢量 总是与 矢径r同向，并且各场量仅与矢径大小 有关,矢量拉普拉斯算符简化为,2

6、1,Helmhotz方程简化为,矢量方程的解应具备有如下两种可能形式,前式描述的是一个自源点向外的球面波，后式描述的则是一个向源点会聚的球面波。两个球面波的复振幅（相位）互为共轭。该球面波如下图所示,22,图6.2.2 发散球面波,图6.2.3 汇聚球面波,23,6.3.1、柱坐标中光纤的波方程,光纤是圆柱状的介质光波导，它约束并引导光波在 其内部或表面附近沿着其轴线方向向前传播。光纤主要 由纤芯和包层组成。纤芯和包层由透明介质材料构成 （一般为石英玻璃），但两者的折射率不同,大多数光纤的折射率n都是轴对称的，因而使用柱坐 标系统是适合的,对于场矢量中z分量的波方程为,24,是由下式给出的拉普

7、拉斯算子,由于我们关心的是沿着波导传播，因而假设,也就是，场矢量的每个分量假设为,中都和z、t相关,25,用柱坐标分量写的Maxwell旋度方程为,26,综合上式，用z分量表示其他分量可得,这些式子揭示了只要确定了z分量，其他分量也就可以 得到了，波方程也就唯一确定了,27,波方程式可以变形为,此方程式可分离的结果为,从而上式的波方程变为,28,上面得到的波方程是Bessel微分方程，其结果称为,阶的Bessel函数,其一般结果为,式中,如果,则一般结果为,式中,29,模式是光纤中波传播的一种极为重要的形式，光纤中 的模式可以看成光场在光纤截面上的分布图。波动理论是 一种严格的分析方法。采用波

8、动方程来分析光纤中的光波 传输时，首先要求出纵向场分量，然后再求出光场的其它 分量,在 的覆盖层受约束模式的场可由如下式表示,q由此式给出,30,对于 核心中场，由以下式给出,h由此式给出,式中A和B为两个任意常数,要求 即 这是受约束模式存在的必要条件,31,利用上面的纵向场分量就能计算包层和核心区域这两 部分内的所有场分量,核心,32,6.3.2、光纤中的模式分布,33,包层,34,由场应该满足的边界条件可以得到下列方程,35,最后一个式子中， 和 的素数分别对应于 和 ，要使该式由一个非零解，由这些系数行 列式为零产生了如下的决定传播常数的色散方程,36,B/A的量是很重要的，因为它是在

9、一个模式里 和,相对大小的刻划（即,由边界条件得到的方程中，系数行列式的比率为,37,光波导的模式主要分两类，按惯例指定这两类为TE 和TM模式,通过解决传播常数的色散方程 ，可得到下式,现在使用下列Bessel函数关系式 ，上式变为,38,EH模式,HE模式,式中,39,在第一种情况下，模式条件中的TE模式变为,在第二种情况下，模式条件中的TM模式变为,40,6.3.3、模式性质和截止条件,对于,或）波的截至值,由下式给出,式中,是,的第m个零点。前三个零点为,对于较高的零点，渐近线公式为,41,对于l1的情况，两曲线代表了EH模式条件的两边 这里有两个交汇点，是 和 模式,图6.3.2 作

10、图法确定阶跃光纤 EH模（l1）的传播常数,42,下图显示了HE模式的这些曲线。在同样的V8的情况， 这里有三个交汇点分别对应于,模式,图6.3.3 作图法确定阶跃光纤HE模（l1）的传播常数,43,模式的交汇点一直存在于V的值无关。这就说,模式于没有截至条件。所有别的,和,模式都有由下,式给的 截至值,是,的第m个零零点。前三个零点为,44,对应更高介的零点由如下渐近公式给出,当,时，对于,的截至值由下式给出,式中,为,的第m个零点而,是下式的第m个根,45,6.3.4、线性极化模式,按照 和 ， 能表示为下式,以y极化为结果的电场,磁场分量为,46,根据Maxwell方程 有,为了计算 和

11、 ，需要如下关系式,r, 用xy表示，利用Bessel函数性质得到下述场分 量的表达,47,核心,48,包层,49,上式用到了 ，常数B由式子 给出得到的场结果是一个y极化波，但是对于一个 完整的场分量，也需要直交极化模式（即x极化波）。 直交模式的场分量可由下式得到,而根据麦克斯韦方程，其余分量为,50,经过一些复杂的代数计算和相关Bessel函数的运用， 可以得到场幅值表达式为,核心,51,52,覆盖层,53,已经得到了横向完全相互极化的两种类型的导行模式。 这些场表达是麦克斯韦方程的适当变换的结果，导出了场矢 量的切向分量在 的边界上是连续的,现在考虑到 在 上的连续性。因连续性的条件

12、必须满足所有的方位角，所以必须使系数相等。根据以上表 达式得到如下模式条件,54,线性极化波的模式条件也可通过图来理解。根据上式中，模式的截至相对应与条件 导致了条件,式中,接下来是 的最低秩模式，它有一个截至条件。此截 止由下式的最低根给定,55,所有这些值都是Bessel函数的零点。对于高秩模式，根 据前式给出V截止值的近似值,这个模式是给定的 组里的最高值，在 模式里标注的 相关模式都是精确的模式。 模式在核心里成放射状对称 场分布,使用线性极化模式的最重要的优点之一是大多数模式都是 横向极化与由一个横向电分量和一个横向磁分量支配,E矢量和H矢量方向是成直角的。一旦此模式选定，在第 一组

13、里就存在着E和H垂直的另一个独立模式,56,6.3.5、各向异性媒质的标量圆柱波函数,均匀各向异性媒质的的介电率和导磁率如下,这里只分析H极化波（TE波）的情况。H极化波的偏微分 方程为,57,圆内的磁场可以表示为,式中， 是待定的角谱振幅。第一式的右边是非标 准Helmhotz方程的第一类解,58,对于给定的,是标准Helmholtz方程 的第一类解,平面波的表达式如下,因此可知第一式是一个均匀媒质， 是在圆内 的一个完备基,59,则，前面两式的第一类通解可唯一写为,可以把一式看作带参变量的积分。一式的右边满足前 式提出的 所满足的解析条件,60,H极化波偏微分方程的第一类通解可以定义为,式中,是待定的角谱振幅,是第i类，第m阶,Bessel函数,61,标准Helmhotz方程的第i类解可以用,来展开，其表达式如下,代表一个任意常数而,是