备战2021年九年级中考复习数学考点训练——几何专题：《四边形综合》（三 ）

1、备战2021年九年级中考复习数学考点训练几何专题：四边形综合（三）1如图1，在rtabc中，acb90，点p在斜边ab上，点d、e、f分别是线段pa、pb、pc的中点，易知def是直角三角形“现把def以点p为中心，顺时针旋转，其中0360连接ad、be、cf（1）操作发现如图2，若点p是ab的中点，连接pf，可以发现 ， ；（2）类比探究如图3，rtabc中，cpab于点p，请判断与的大小，结合图2说明理由；（3）拓展提高在（2）的条件下，如果cab30，且ab4，在def旋转的过程中，当以点c、d、f、p四点为顶点的四边形与以点b、e、f、p四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段

2、ad、cf、be的长2如图，点e、g是矩形abcd边ab上的两点，f是边dc上的点，ab8且cgef（1）如图1，若be2，df1，此时点e在点g右侧，求eg的长；（2）在（1）的条件下，连结ce，若ce平分bcg，求bc的长；（3）如图2，若eb1，dfk，tanefck，且满足abdf+ebab，求tanafd的范围3如图，在矩形abcd中，ab6cm，bc8cm如果点e由点b出发沿bc方向向点c匀速运动，同时点f由点d出发沿da方向向点a匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/sfqbc，分别交ac、bc于点p和q，设运动时间为t（s）（0t4）（1）连结ef、dq，若四边形eqd

3、f为平行四边形，求t的值；（2）连结ep，设epc的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；（3）若epq与adc相似，请直接写出t的值4【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图在abc中，abac，d在ab上，e在ac的延长线上，de交bc于f，且dfef，求证：bdce，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图过d点作dgac交bc于g，进而解决了该问题（不需证明）【探究】如图，在四边形abcd中，abdc，e为bc边的中点，baeeaf，af与dc的延长线相交于点f试探究线段ab与af、cf之间的数量关系，并证明你的结论【应用】如图，在正方形abcd中，e为ab边的中点，g、f分

4、别为ad，bc边上的点，若ag1，bf，gef90，则gf的长为 5【问题情境】（1）如图1，四边形abcd是正方形，点e是ad边上的一个动点，以ce为边在ce的右侧作正方形cefg，连接dg、be，则dg与be的数量关系是 ；【类比探究】（2）如图2，四边形abcd是矩形，ab2，bc4，点e是ad边上的一个动点，以ce为边在ce的右侧作矩形cefg，且cg：ce1：2，连接dg、be判断线段dg与be有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；【拓展提升】（3）如图3，在（2）的条件下，连接bg，则2bg+be的最小值为 6阅读发现如图在正方形abcd的外侧作两个等边三角形abe和adf，连接

5、ed、fc，ed与fc交于点m，则图中adedfc（不用证明），可知edfcdmc 拓展应用如图，在矩形abcd（abbc）的外侧，作两个等边三角形abe和adf，连接ed、fc，ed与fc交于点m（1）求证：edfc；（2）若ade20，直接写出dmc的度数7已知：如图，在菱形abcd中，ac2，b60点e为边bc上的一个动点（与点b、c不重合），eaf60，af与边cd相交于点f，联结ef交对角线ac于点g设cex，egy（1）求证：aef是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点o是线段ac的中点，联结eo，当egeo时，求x的值8已知abc为等边三角形点d

6、为直线bc上的一动点（点d不与b、c重合），以ad为边作菱形adef（a、d、e、f按逆时针排列），使daf60，连接cf（1）如图1，当点d在线投bc上时，求证：accf+cd；（2）如图2，当点d在线投bc的延长线上且其他条件不变时，结论accf+cd是否成立？若不成立，请写出ac、cf、cd之间存在的数量关系，并说明理由，9（1）问题发现如图1，在等腰直角三角形abc中，cab90，点d在ac上，过点d作debc于点e，以de，be为边作debf，连接ae，af填空：线段ae与af的关系为 ；（2）类比探究将图1中cde绕点c逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？并说明

7、理由（3）拓展延伸在（2）的条件下，将cde绕点c在平面内旋转，若ac5，dc3，请直接写出当点a，d，e三点共线时be的长10探究：如图，直线l1l2，点a、b在直线l1上，点c、d在直线l2上，记abc的面积为s1，abd的面积为s2，求证：s1s2拓展：如图，e为线段ab延长线上一点，beab，正方形abcd、正方形befg均在直线ab同侧，求证：deg的面积是正方形befg面积的一半应用：如图，在一条直线上依次有点a、b、c、d，正方形abij、正方形bcgh、正方形cdef均在直线ab同侧，且点f、h分别是边cg、bi的中点，若正方形cdef的面积为l，则agi的面积为 参考答案1解

8、：（1）如图2中，连接pf，beacb90，appb，pcpapb，dfe90，pdpe，pfpdpe，apcdpf，apdcpf，apdcpf（sas），adcf，1，同法可证，bpecpf，cfbe，1故答案为1，1（2）结论：理由：如图3中，连接pfpcab，pfde，apcdpf90，apcdpf，apcdpf90，apdcpf，同法可证，cpfbpe，acb90，cpab，apccpb，（3）如图41中，当pcdf时，cab30，apc90，pcac，dfac，dfpc，四边形pcfd是平行四边形，efd90，efdf，efpc，pcab，pbef，同法可证，bpefbc，四边形pb

9、ef是平行四边形，bepf，bepepf90，ab4，cab30，acb90，bcab2，cpab，abc60，cpb90，pcb30，pbpb1，epbdef60，bepbsin60，由（2）可知，cf，ad如图42中，当点d落在ac上时，四边形cdpf是矩形，四边形pebf是矩形，此时bepf，由（2）可知，cf，ad当dfcp，且df在cp的右侧，如图43中此时四边形cpfd和四边形bpef都是平行四边形设df交ab于h，过点c作cmfd，交fd的延长线于点mbfpe，cab30，bfhedf30，hfbfcos30，bhbfsin30，dhdfhf，ahabbh4，phbpbh，mfm

10、h+hf+，ad，cf，be综上所述，be，cf，ad或be，cf，ad2解：（1）过f作fhab于点h，如图1，则ahdf1，fhbc，efcg，rtefhrtgcb（hl），ehgb，hgbe2，egabahhgbe81223；（2）过e作emcg于m，如图1，则emeb2，gmcece，rtcemrtceb（hl），cmcb，设bcx，则cg，cm+gmcg，x+，解得，x2，bc2；（3）如图2，过点e作encd于点n，则enad，becn1，fncddfcn8k17k，tanefck，即，enk（7k），tanafd，abdf+ebab，解得，3解：（1）在矩形abcd中，ab6cm

11、，bc8cm，abcd6cm，adbc8cm，badadcdcbb90，由勾股定理得：ac10，fqbc，fqc90，四边形cdfq是矩形，dfqc，dcfq6cm，点e由点b出发沿bc方向向点c匀速运动，同时点f由点d出发沿da方向向点a匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，t秒后，be2t，dfqct，eqbcbeqc83t，四边形eqdf为平行四边形，fdeq，即：83tt，解得：t2；（2）fqc90，b90，fqcb，pqab，cpqcab，即，pq，sepcecpq，y（82t）2+3t（t2）2+3，即y（t2）2+3，a0，y有最大值，当x2时，y的最大值为3；（3

12、）分两种情况讨论：若e在fq左边，当epqacd时，可得：，即：，解得：t2；当epqcad时，可得：，即，解得：t若e在fq右边，当epqacd时，可得：，即：，解得：t4（舍去）；当epqcad时，可得：，即，解得：t故若epq与adc相似，则t的值为：2或或4【探究】解：abaf+cf如图1，分别延长dc、ae，交于g点，abdc，bgce，baeegc，e为bc边的中点，bece，abegce（aas），abcg，又abdc，baeg而baeeaf，geaf，afgf，abcggf+cfaf+cf【应用】解：如图2，延长ge交cb的延长线于m四边形abcd是正方形，adcm，agem，

13、在aeg和bem中，aegbem（aas），geem，agbm1，efmg，fgfm，bf，mfbf+bm1+，gffm+1故答案为：5解：（1）dgbe理由：正方形abcdcdcbbcd90正方形ecgfcgceecg90ecgbcd90dcgbce在dcg和bce中dcgbce（sas）dgbe（2）dgbe，dgbe理由如下：延长be、gd相交于点h矩形ecgf、矩形abcdecgbcd90dcgbcecd：cb2：41：2cg：ce1：2cd：cbcg：cedcgbcedcgbce，becdgcdgbe矩形ecgffecfgcf90hef+bec180fec90，fgh+dgc90，h

14、f90dgbe（3）作enbc于n，gmbc交bc的延长线于m易证ecncgm，2，enab2，cm1，点g的运动轨迹是直线mg，作点d关于直线gm的对称点g，连接bg交gm于g，此时bg+gd的值最小，最小值bg由（2）知，dgbebe2dg2bg+be2bg+2dg2（bg+dg）2bg+be的最小值就是2（bg+dg）的最小值bg2，2bg+be的最小值为4故答案为46解：如图中，四边形abcd是正方形，adabcd，adc90，adedfc，dfcdaead，fdcfda+adc60+90150，dfcdcfadeaed15，fde60+1575，mfd+fdm90，fmd90，故答案

15、为：90（1）abe为等边三角形，eab60，eaabadf为等边三角形，fda60，adfd四边形abcd为矩形，badadc90，dcabeadceadeab+bad150，cdffda+adc150，eadcdf在ead和cdf中，eadcdf（sas）edfc；（2）eadcdf，adedfc20，dmcfdm+dfcfda+ade+dfc60+20+201007（1）证明：四边形abcd为菱形，abbc，b60，abc为等边三角形，bac60，acab，bae+eac60，abcd，bacacf60，eaf60，即eac+caf60，baecaf，在aeb和afc中，aebafc（a

16、sa），aeaf，aef为等边三角形；（2）解：过点a作ahbc于点h，aef为等边三角形，aeef，aef60，abh60，bhhc1，eh|xhc|x1|，ef，aefb60，ceg+aebaeb+bae120，cegbae，bace60，baeceg，yeg（0x2），（3）解：ab2，abc是等边三角形，ac2，oaoc1，egeo，eogego，egoecg+ceg60+ceg，ceaceg+aef60+ceg，egocea，eogcea，ecaoce，coecea，ce2coca，x212，x（x舍去），即x8（1）证明：菱形afed，afad，abc是等边三角形，abacbc，b

17、ac60daf，bacdacdafdac，即badcaf，在bad和caf中，badcaf（sas），cfbd，cf+cdbd+cdbcac，即accf+cd（2）解：accf+cd不成立，ac、cf、cd之间存在的数量关系是accfcd，理由是：由（1）知：abacbc，adaf，bacdaf60，bac+dacdaf+dac，即badcaf，在bad和caf中，badcaf（sas），bdcf，cfcdbdcdbcac，即accfcd9解：（1）等腰直角三角形abc中，cab90，cabc45，abac，debc，debf，四边形debf是矩形，abf45，在rtdec中，deec，ecb

18、f，abface（sas），afae，bafcae，cae+bae90，baf+bae90，afae，afae，afae，故答案为afae，afae；（2）成立；在图1中，abc是等腰直角三角形，cba90，abac，debc，cdedceabc45，四边形debf是平行四边形，debf，debf，fbe+deb180，在图2中，bce+cbe+deb+dec180，fba+cbe+abcfbe，abc45，dec90，fbabce+45，bceacd，aceacd+45，fbaace，abac，bfdece，aceabf（sas），aeaf，fabcae，bae+cae90，bae+fab90，afae，afae；故（1）的结论成立；（3）如图1dec是等腰直角三角形，deec，dc3，ec3，在rtaec中，ac5，ae4，过点b作bhae，bae+eaceac+ace90，baeace，bh4，ah3，he1，在rtbhe中，be；如图2：延长bc与ad交于点n，过点a作agbc，过点e作embc，过点d作dkbc，由上已知ed3，ae4，ac5，ag，ad7，ace+dckdck+cdk