热力学统计物理06 9

1、第九章,系综理论,p250-301,Ensemble theory,9.1,相空间,刘维尔定理,9.2,微正则分布,9.3,微正则分布的热力学公式,9.4,正则分布,9.5,正则分布的热力学公式,9.6,实际气体的物态方程,9.7,固体的热容量,9.8,液氦的性质和朗道超流理论,9.9,伊辛模型的平均场理论,9.10,巨正则分布,9.11,巨正则分布的热力学公式,9.12,巨正则分布的简单应用,本章重点：正则分布及其热力学公式、巨,正则分布及其热力学公式,难点：刘维尔定理、实际气体物态方程,超流理论、伊辛模型,课时安排：课内,8,学时，课外,8,学时,参考书：教材第,9,章；李楚良热力学与统,

2、计物理学,作业布置,p299-301,习题,9-1,9-3,9-5,9-7,9-9,9-11,9-14, 9-16,9-18,9-19,9.1,相空间,刘维尔定理,一,空间,1,空间的局限性：对于粒子间存在相互作用的系统,代表点在,空间的运动不独立,2,空间的概念,设系统,N,个粒子，粒子自由度数,r,则,系统自由度数,f=Nr,以,p,i,q,i,i=1,2,f,为坐标构成,2f,维正交空间,3,空间的性质：代表点,系统的一个微观态,代表点运动,系统微观态的变化,即：系统相空间,phase space of system,4,对系统力学运动规律的描述,f,i,q,H,p,p,H,q,i,i,

3、i,i,2,1,哈密顿正则方程,空间中一条相轨道,特点：过空间任一点只有一条相轨道,不同初始条件的相轨道不相交,保守系统,H,是守恒量,E,p,p,p,q,q,q,H,f,f,2,1,2,1,代表点在等能面上运动,二、统计系综,ensemble,1,概念：大量全同的、相互独立的系统的集合,其代表点在,空间独立运动并形成一个分布,2,意义：用代表点在任意时刻的分布（系综分布）来描,述系统在一段时间内的微观态变化,3,分布函数：代表点的概率密度,element,volume,the,denotes,i,i,i,dp,dq,d,N,d,N,d,1,systems,the,of,number,the,

4、4,刘维定理,系综代表点密度随时间的运动规律,1,表述,0,i,i,i,i,p,p,q,q,t,dt,d,2,说明,时间可逆，是力学规律的结果，不是统计规律,推论：若,H,不显含时间，则,3,证明：考虑固定的,d,t,时,刻，代表点数为,d,0,t,p,q,dt,时间内从,q,i,面流进,从,q,i,dq,i,面流出,i,q,i,dtdA,q,dtdA,dq,q,q,q,dtdA,q,i,i,i,i,dq,q,i,i,i,一对面的增量,dt,d,q,q,dtdA,dq,q,q,i,i,i,i,i,2f,对面的增量,dtd,t,dtd,p,p,q,q,i,i,i,i,i,0,i,i,i,i,i,

5、p,p,q,q,t,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,p,p,p,p,q,q,q,q,p,p,q,q,0,i,i,i,i,i,i,i,i,q,q,p,p,q,H,p,p,H,q,0,dt,d,ie,而,dt,时间内的增量应为,dt,d,t,dtd,p,p,q,q,i,i,i,i,i,i,i,i,i,p,p,q,q,0,p,p,q,q,t,p,p,q,q,t,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,5,三种统计系综,1,微正则系综：孤立系,N,V,E,一定,2,正则系综：与热源达到平衡的封闭系,N,V,T,一定,3,巨正则系综：与热源、粒子源达到平衡的开放系,V,T,一定,三种系综

6、的关系,从系统与外界的关系看,巨正则系综,粒子源正则系综,正则系综,热源微正则系综,从系统可能的状态数,系综包含的代表点数目,看,微正则系综在等能面上运动,状态数最少,正则系综的运动遍及,空间各种可能的能量状态,巨正则系综的运动遍及,空间各种可能的能量状态和粒子,数状态,三、几条基本假设,1,统计学原理,宏观物理量是系统相应微观量的长时间平均值,2,系综理论假设,系统的长时间平均值等于系综的统计平均值,d,q,p,t,q,p)B,t,B,q,p)d,1,1,s,s,s,s,s,B,t,B,or,3,等概率原理,对于总能量一定的系统，一切微观态等概率,9.2,微正则分布,一、分布函数,1,表达式

7、：给定孤立系的粒子数、体积、以及,求常数,C,给定能层中的微观态数,E,E,t,p,q,H,E,根据等概率原理，立即得孤立系处在微观态的概率,E,E,H,E,Nr,d,h,N,1,1,s,C,s,9.3,微正则分布的热力学公式,9.4,正则分布,1,导出分布函数,系统,外界（大热源,孤立系,达到平衡时服从微正则分布,A,reservoir,A,推导过程,设热源,E,r,系统,E,E,r,E,12,E,即近似有,E,0,E+E,r,为恒量,空间相体积元,d,0,d,d,r,分布函数满足,E,0,E+E,r,E,E,r,C,r,r,r,r,r,r,dE,E,d,E,dE,E,E,d,E,dE,E,

8、d,dE,E,E,d,分别对,E,和,E,r,求导,结果相同,E,r,r,e,E,E,E,E,E,2,配分函数：由归一化条件有,E,e,Z,E,1,l,E,l,E,l,l,s,E,s,s,l,l,s,e,Z,Z,e,or,e,Z,1,Z=Z,y,l,是系统能级的简并度,Nr,Nr,h,N,d,E,h,N,d,E,Z,e,Z,e,or,1,1,9.5,正则分布的热力学公式,1,内能,Z,U,N,h,d,Ee,Z,E,U,f,E,ln,1,2,广义外力,y,Z,Y,N,h,d,e,y,E,Z,y,E,Y,f,E,ln,1,1,3,温度与熵,0,ln,ln,1,S,Z,Z,k,S,kT,V,Z,p,

9、p,p,e,ln,1,1,Ydy,dU,T,dS,Z,Z,d,Ydy,dU,ln,ln,4,自由能,F=U-TS=-kTlnZ+F,0,2,2,2,2,2,2,2,E,E,E,E,E,E,E,E,E,E,s,s,s,s,5,能量的绝对涨落,2,2,E,E,e,e,E,E,E,s,E,s,E,s,s,s,s,s,s,2,2,E,E,E,T,E,kT,E,E,E,2,2,2,6,热平衡稳定性条件,0,0,2,2,2,V,V,C,E,C,kT,E,7,能量的相对涨落,N,E,E,E,1,2,2,意味着系统绝大部分的微观态集中在能量等于平均,值的状态附近,统计平均值与最概然值基本等价,8,导出,M-B

10、,分布,N,i,i,i,i,i,Z,Z,d,d,E,0,1,2,2,2,2,2,N,E,C,kT,E,E,E,V,9.6,实际气体的物态方程,1,配分函数,j,i,ij,N,i,i,r,m,p,E,2,3,1,2,1,1,3,3,1,Q,Z,N,h,N,dp,dq,e,Z,p,N,N,i,i,i,E,N,i,i,N,j,i,r,N,i,i,r,dV,e,dV,e,Q,ij,j,i,ij,1,1,2,2,3,2,3,1,3,2,3,1,2,N,l,N,N,i,N,i,m,p,p,V,z,h,m,h,dp,e,Z,N,i,i,2,位形积分,N,i,i,N,j,i,r,N,i,i,r,dV,e,dV

11、,e,Q,ij,j,i,ij,1,1,1,ij,r,ij,e,f,1,1,j,i,j,i,j,i,ij,j,i,ij,N,j,i,ij,N,j,i,r,f,f,f,f,e,ij,2,1,12,2,1,1,1,2,1,1,dV,dV,f,V,N,N,V,dV,f,V,dV,f,f,f,dV,e,Q,N,N,N,i,i,j,i,ij,N,N,i,i,j,i,j,i,j,i,ij,j,i,ij,N,i,i,N,j,i,r,ij,4,4,12,2,12,12,3,12,2,12,12,2,1,12,dr,r,f,V,R,d,dr,r,f,dV,dV,f,x,x,dr,r,f,V,N,V,N,Q,1,l

12、n,12,2,12,12,2,2,1,ln,ln,ln,2,1,12,2,12,12,2,dr,r,f,V,N,V,Q,N,12,2,12,12,2,2,ln,ln,dr,r,f,V,N,V,N,Q,12,2,12,12,2,2,2,ln,1,ln,1,dr,r,f,V,N,V,N,kT,Q,V,Z,V,p,2,1,12,2,12,12,dr,r,f,N,B,NkT,pV,V,B,3,状态方程,12,2,12,12,2,2,ln,ln,dr,r,f,V,N,V,N,Q,r,r,0,6,0,0,0,r,r,r,r,r,r,r,3,3,2,1,2,1,2,2,3,0,0,3,0,2,0,2,2,0

13、,12,2,12,12,0,6,0,0,0,kT,r,r,N,dr,r,e,dr,r,N,dr,r,e,N,dr,r,f,N,B,r,r,r,kT,r,kT,4,范德瓦耳斯方程,1,1,0,0,6,0,0,r,r,e,r,r,r,f,r,r,kT,3,0,0,2,3,0,0,2,3,0,3,0,3,0,0,3,0,2,3,4,4,3,2,4,3,2,16,3,2,where,3,3,2,r,V,V,N,r,N,a,NV,r,N,r,N,b,NkT,a,b,kT,r,r,N,B,particle,particle,particle,V,a,NkT,V,a,NkT,NkT,pV,V,b,V,b,V

14、,B,1,1,1,2,NkT,b,V,V,a,p,9.7,固体的热容量,9.8,液氦的性质和朗道超流理论,9.9,伊辛模型的平均场理论,1,本节目的,以单轴铁磁体为例，讨论运用配分函数,理论研究相变的方法。重点分析介质中磁感应强度的,变化,相变的特点：某些热力学量在相变点不连续,解决途径：建立能包含系统最本质特征的简化模型严,格求解,2,铁磁性的起源,电子间的交换作用,交换相互作用,自旋相同的电子在空间有互相回避,的倾向,泡利原理与库仑排斥作用的共同结果,效果：使系统能量降低,系统在基态时自旋将尽可,能平行排列,3,伊辛模型,研究对象,N,个磁性原子、定域；原子角动量,J=1/2,磁矩,eh,

15、4,m,自旋位形,1,伊辛模型：铁磁体内原子相互作用能表为,1,0,为非近邻原子,为近邻原子,ij,ij,J,J,J,E,ij,j,i,j,i,ij,in,模型说明的问题,1,自发磁化：基态所有自旋具有相同取向,T=0,低温下多数原子具有相同取向,2,系统的位形,i,i,1,2,N,决定系统能量,3,在外磁场,B,中,2,i,i,j,i,j,i,ij,B,in,B,J,E,E,E,2,i,i,j,i,j,i,ij,B,in,B,J,E,E,E,4,介质中某点的）等效磁场,由作用于自旋,i,上的广义力,3,B,J,E,Y,j,j,ij,i,i,4,1,B,J,B,j,j,ij,i,4,平均场近似

16、,分析：由于热运动，自旋取向无规则变化,B,i,涨落不定,处理：用平均值近似。设近邻原子数为,z,5,1,1,B,Jz,B,J,B,i,j,j,ij,i,讨论,1,第一项给出近邻自旋对原子,i,的磁相互作用,2,用平均场近似以后，自旋系统成为近独立粒子系统,5,1,1,B,Jz,B,J,B,i,j,j,ij,i,5,铁磁,顺磁转变,配分函数,Z=Z,l,N,B,B,l,e,e,Z,状态方程,ln,0,Jz,th,N,B,th,N,B,Z,N,m,B,l,根据定义应有,N,m,Jz,th,P287,图,9-16,对应于,Jz,1,的解为自发磁化为零的顺磁态,对应于,Jz,1,有一个自发磁化不为零

17、的铁磁态,Jz=1,相变点,9.10,巨正则分布,导出思路与正则分布一样,系统,外界（大热源和粒子源,孤立系，达到平衡时服从,微正则分布,E,0,E,E,r,N,0,N+N,r,为恒量,分布函数满足,E,0,N,0,E,N,E,r,N,r,C,对,E,和,E,r,求导,r,E,r,r,r,E,e,N,N,E,e,N,N,E,再对,N,和,N,r,求导,1,1,1,N,f,N,s,s,N,E,N,N,h,d,N,E,or,e,N,E,巨配分函数,y,N,h,d,e,or,e,N,f,E,N,N,s,E,N,s,9.11,巨正则分布的热力学公式,平均粒子数,ln,U,ln,N,内能,ln,ln,ln,k,S,广义外力,y,Y,ln,1,温度与化学势,1,kT,熵与巨热力学势,ln,kT,J,粒子数相对涨落与力学平衡的稳定性条件,y,N,kT,N,N,y,y,N,N,kT,N,N,N,N,N,N,2,2,2,2,2,2,2,0,0,2,2,1,2,T,T,T,N,V,N,T,v,N,T,N,T,v,T,v,p,T,v,V,kT,N,N,v,vdp,sdT,d,T,9.12,巨正则分布的简单应用,一、吸附现象,二、导出,M-B,分布,三、导出,B-E,分布,解：已知,s,E,N,s,e,N,E