一元高次方程解法

1、一元高次方程的解法,特殊的一元高次方程的解法 一般的高次方程及解法 数本1202 张银星,1概念辨析,二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程 一般形式： 关于x的一元n次二项方程的一般形式为 注 =0（a0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. 这里所涉及的二项方程的次数不超过6次,例（1） （2） 结论：对于二项方程 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根. 当n为偶数时，如果ab0，那么方程没有实数根,2.概念辨析,1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. 注 当常数项不是0时，规定它的次数为0. （2）一般形式： 分

2、析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 2例题分析 例：解下列方程： （1） 令,0,y1y20,y1+y20 原方程有四个实数根. 0,y1y20,y1+y20,y1y20, 原方程有两个实数根. 0 原方程没有实数根. （2） (x+x)-5x-5x=6. （3）(2x-3x+1)+4x-1=6x,因式分解法,例题. x-2x-4x8=0 解 原方程可变形为 x(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x-4)=0， (x-2)(x+2)=0 所以 x1x22，x3=-2 归纳： 当ad=bc0时，形如axbxcxd=0的方程可这样解决： 令，则a=bk,c=dk

3、,于是方程ax+bx+cx+d=0可化为 bkx+bx+dkx+d即 (kx+1)(bx+d)=0,倒数方程,例.12x4-56x+89x-56x+12=0. 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由,解方程(x-2)(x1)(x4)(x+7)=19 解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 (x2+5x-14)(x25x4)=19 设 则 (y-9)(y+9)=19， 即 y-8119,一般的高次方程及解法,一、 1判根法 例 解方程x4+2x-9x-2x+8=0 二、常数项约数求根

4、法 例1 解方程x4+2x-4x-5x-6=0 （高代第一章的方法,三、倒数方程求根法,1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，或者a= -e,b= -d 2、性质：倒数方程有三条重要性质： （1）倒数方程没有零根； （2）如果a是方程的根，则 也是方程的根； （3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。 3、倒数方程求解方法： 如果a x4+bx+cx+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x 0,所以，方程两边同除以x得：a(x+ )+b(x+

5、 )+e=0,令x+ =y, x+ =y-2,即原方程变为： ay+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+ =y，解得x的值。 例1 解方程2 x4+3x3-16x+3x+2=0,四、双二次方程及推广形式求根法,例 (x-6)4+(x-8)4=16 解：本题属于双二次标准方程ax4+bx+c=0推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的形式 (x-6)4+(x-8)4=(x-7+1)4+(x-7-1)4,设y=x-7则原方程转化为 (y4+4y+1+4y+2y+4y)+(y4+4y+1-4y+2y-4y)=16 y4+6y=0 , , y=-7 或y=1,y=-7无解；y2=1