高考文科数学中地内切球和外接球问题 专题练习

1、实用标准 内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考 学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，.考查考查的一个热点既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球 .的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ . 解析：要求球的表面积，只要知道

2、球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.?27. 故表面积为24，则该球一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为2 例的体积为_. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 332.从而求出正方体的体对角线是由正方体表面积可求出棱长，所以球的半径为因此， ?34. 故该球的体积为2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三1,2,3，则此球的表面积为 条棱长分别为 . 解析：关键是求出球的

3、半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。 ?1414. 长方体体对角线长为，故球的表面积为例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. ?162420 C. A. B. ?32 D. 及解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16长方体的长、因此，可以求出长方体的底面边长为42，高C. ，故选32，4，于是等同于例2宽、高分别为 求多面体的外接球的有关问题3.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于5. 例底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 文档大全实用标准 9 8. 柱的体积为 ，底面周长为，则

4、这个球的体积为 3,x?61?,x? 2? ?392,?xh6? ?3h 48?xh ，则有 设正六棱柱的底面边长为，高为解 31?d?r 22，球心到底面的距离.正六棱柱的底面圆的半径外接球的半径?4?V球 22 1rR?d3. .222d?rR. 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式小结 )补形法二、构造法( 、构造正方体1 3，则其年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为例5 （2008_. 外接球的表面积是然后再设出球心，利用直角三角形计算球此题用一般解法，需要作出棱锥的高，解析：而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很

5、的半径.且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如快联想到长方体的一个角，马上构造长方体， 3AC=BC=CD?，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求1，则图?91) 表面积是.(如图 3 . ，则其外接球的表面积是例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为把这个三棱锥可以补成一个棱长为该三棱锥的三条侧棱两两垂直， 据题意可知，解 3. 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球9?2222?R2? 9R23?3?3 4R. .设其外接球的半径为，则有2?9R?S?4. 故其外接球的表面积cb、a、，则就一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 小结 于是长

6、方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直可以将这个三棱锥补成一个长方体， 222c?b?2Ra?R. 设其外接球的半径为径.，则有 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 文档大全 实用标准 ，则体对角线长为【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ，几何体的外接球直径为即体对角线长 共顶点的三条棱两在四面体【例题】：中， 若该四面体的四个顶其长度分别为两垂直， 点在一个球面上，求这个球的表面积。 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 的长所以：四面体外接球的直径为 即： 所以 球的表面积为 2，四个顶点在同一球面上，则例 6 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱

7、长都为 AD ） 此球的表面积为（ BC ?33?643图 D. B. A. C. 在此，.解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，BDEA?满足条件，即再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体 32AB=AD=AE=BD=DE?BE?，从，体对角线为，由此可求得正方体的棱长为1 32) ，所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图而外接球的直径也为0DAB=60?AB=2DC=2ABCDE为7例（，在等腰梯形年山东高考题）2006中， 文档大全 实用标准ECBA?BEC、PABEDADE

8、?，则三分布沿向上折起，使与、重合于点的中点，将P-DCE. ）棱锥的外接球的体积为（ 66643?242827 D. C. B. A. 0DEA=60?CBE=?DAB=AE=EB=DC=1 ，所以解析：（如图3） 因为P-DCEAD?AE=EB=BC=DC=DE=CE=16为正四面体，至此，即三棱锥这与例PC. 就完全相同了，故选C D DC BAE EABC平面DA?O，2008年浙江高考题）已知球、D、的面上四点A、BC例8 （3 图 3DA=AB=BC=OBCAB?. ， ，则球 的体积等于 而利用长方体模型很快解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.ABC?平面DA

9、BCAB?，联想长方体中的相应线段关系，便可找到球的直径，由于 3DA=AB=BC=，则此长方体为正方构造如图4所示的长方体，又因为D CDCD=3.体，所以利用直角三角形解出长即为外接球的直径，O9? O2A ）（如图故球的体积等于.4BC 图 2、构造长方体BCD平面AB?，A、B、C、D在同一个球面上，2008例9（年安徽高考题）已知点 13,AD=8?6,AC=2ABDC?BC. ，则球的体积是 ，若 AD为球心，8，构造下面的长方体，于是O为球的直径，解析：首先可联想到例ABCRt?BOCOB=OC=4?中，在两点间的球面距离，、要求为半径，BC只要求出即可，A O 文档大全BCD

10、实用标准4? 0C=60?BO=4BC3 ）（如图两点间的球面距离是5.求出，所以，故B、C 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 多面体几何性质法三. ，则这个球的表面164，体积为例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 积是?32162420 D. B. A. C. 216?4xx2?xR. ，则有，外接球的半径为解 设正四棱柱的底面边长为，解得 2226?R?26, 22R?2?42?244?R.这个球的表面积是.选C. . 这一性质来求解的 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”小结 寻求轴截面圆半径法四.S 2ABCDS?，点正四棱锥的底面

11、边长和各侧棱长都为例4 DCO1DC、B、A、S. 都在同一球面上，则此球的体积为 BA3图OO所，如图 解 设正四棱锥的底面中心为1，外接球的球心为1ABCDOO?平面1. 由球的截面的性质，可得示.ABCD?平面SOSOO1. ，球心又所在的直线上必在1ASC?. 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径 2222?，AC2SA?SC?AC?SC?SAASC?. ，得在中，由?Rt是以AC为斜边的?ASC. ?4AC?V?1球 23故. .是外接圆的半径，也是外接球的半径我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截根据题意，小结 本题提供的这种思路是探

12、求正棱锥外接球.面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径从而把立体几何问题半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，. 这种等价转化的数学思想方法值得我们学习转化为平面几何问题来研究. 确定球心位置法.五 文档大全 实用标准3BC?AB?4,ACABCDABCD折成一个直二面角中，沿将矩形例5 在矩形ABCD?DB?AC 的外接球的体积为，则四面体125125125125? 39126 D. C. A. B. DO，则由矩形对角线互相平分，可知设矩形对角线的交点为解 COAB4图ODC、A、B、OA?OB?OC?OD的点.到四面体的四个顶点5?OAR? O2故外接球的半径

13、.为四面体的外接球的球心，如图2所示距离相等，即点.12543?R?V球 63C. 选. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 ：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球【原理】 心为直角三角形斜边中点。 的球面已知三棱锥的四个顶点都在球【例题】： ，且上， ,的体积。求球 ， ，, 且，解： 所以知因为 所以 所以可得图形为： 在中斜边为 在中斜边为 ，取斜边的中点 在中 中在 文档大全 实用标准 ，即为该四面体的外接球的球心所以在几何体中 所以该外接球的体积为 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 的球面上，其中底面的三个顶点在该11. （陕西?）一个正三棱锥的四个顶点都在

14、半径为 ）球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ 33333 B D CA 12443CC?ABAB若面的上各，顶点都直三2. 棱柱在同一球112?AA?AB?AC?BAC?120? 。，则此球的表面积等于 , 1 ?CBABC?AB,A2 ，则正三棱正三棱柱3内接于半径为两点的球面距离为的球，若111 柱的体积为 32 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为表面积为4. 22221? D CA B 333332? ，那么正方体的棱长等于（ ）5.已知正方体外接球的体积是 33423422 D. C. A.2 B. 333 ) 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( 6.（20

15、06山东卷）339 1 D. . C1 3 3 B . A1 . 1 一个六棱柱的底面是正六边7.（2008海南、宁夏） 9，形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8 ，则这个球的体积为底面周长为3 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱8. （2007天津） ，的长分别为1，23，则此球的表面积为 的球面上。如果正四20079.（全国）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm2. ，那么该棱柱的表面积为棱柱的底面边长为1 cm cm 文档大全 实用标准ABCDEF?P ，则此正六棱2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥10.（ 锥的侧面积是_P C D B E A F 届高三数学上学期第一次月考）11.（辽宁省抚顺一中2009 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 . 的面积是三角形(正四面体的截面) 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为枣庄一模）12.（2009 ） （ ?23 B A?16 以上都不对 D C 3 32 ） 设正方体的棱长为13.(吉林省吉林市2008届上期末)，则它的外接球的表面积为（348? D C4 B2 A 33C 答案 B1、答案 3BC?2ABC?2?BAC