扬州高三数学寒假作业及答案（8）

1、高三数学寒假作业8一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|0x19，B1，2，6，10，则AB（）A1，2B2，6C1，2，6D2，6，102若复数z满足iz2i，则|z|（）A2B3C2D53已知a0且a1，函数f(x)=logax+a，x03x+1-1，x0，若f（a）3，则f（a）（）A2B23C-23D-894已知向量a=（3，1），b=（3，1），则a与b的夹角为（）A6B3C23D565函数f（x）=cosx2x+2-x的部分图象大致为（）ABCD6已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的焦距是虚轴长

2、的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=33xBy=3xCy=12xDy2x7“sin2=45”是“tan2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）A15B25C35D459曲线y=13x3+2lnx上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A3B2C32

3、D110正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2AB，D是BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为（）A6B4C3D211已知直线l：3x+y+2=0与圆O：x2+y24交于A，B两点，与l平行的直线l1与圆O交于M，N两点，且OAB与OMN的面积相等，给出下列直线l1：3x+y-23=0，3x+y-2=0，x-3y+2=0，3x+y+23=0其中满足条件的所有直线l1的编号有（）ABCD12已知函数f(x)=Asin(x+6)-a(0aA)在区间0，73有三个零点x1，x2，x3，且x1x2x3，若x1+2x2+x3=53，则f（x）的最小正周期为（）A2B23CD43二、填空题：本题共

4、4小题，每小题5分，共20分13已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为 14已知x，y满足约束条件x0，x+y1，2x+y2，则zxy的最大值为 15已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，a=2，sinA=33，b=6，则ABC的面积为 16已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若ABF290，且ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必

5、须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an的各项均为正数，且满足an2（n+1）an2n2n0（1）求a1，a2及an的通项公式；（2）求数列2an的前n项和Sn18（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如表：“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合

6、计男4560105女554095合计100100200（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k）0.100.050.0250.010.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，AB=3，AD2，PAD为正三角形，且平面PAD平面

7、ABCD，E、F分别为PC、PB的中点（1）证明：EF平面PAD；（2）求几何体ABCDEF的体积高三数学寒假作业8（答案解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|0x19，B1，2，6，10，则AB（）A1，2B2，6C1，2，6D2，6，10【解答】解：Ax|1x10，B1，2，6，10，AB2，6故选：B2若复数z满足iz2i，则|z|（）A2B3C2D5【解答】解：iz2i，iz2+i，|iz|=|z|=|2+i|=5，故选：D3已知a0且a1，函数f(x)=logax+a，x03x+1-1，x0，若f（a）

8、3，则f（a）（）A2B23C-23D-89【解答】解：f（a）logaa+a3，a2，f（a）=f(-2)=3-1-1=-23故选：C4已知向量a=（3，1），b=（3，1），则a与b的夹角为（）A6B3C23D56【解答】解：根据题意，设a与b的夹角为，向量a=（3，1），b=（3，1），则|a|2，|b|2，ab=312，则cos=ab|a|b|=3-122=12，又由0，则=3；故选：B5函数f（x）=cosx2x+2-x的部分图象大致为（）ABCD【解答】解：f（x）=cos(-x)2-x+2x=cosx2x+2-x=f（x），f（x）为偶函数，排除选项C和D，而当x0，2时，f（x

9、）0，排除选项B，故选：A6已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=33xBy=3xCy=12xDy2x【解答】解：由已知可得c2b，c24b2a2+b2，a23b2，ba=33，所以双曲线的渐近线方程为：y=33x故选：A7“sin2=45”是“tan2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：sin2=452sincossin2+cos2=452tantan2+1=45tan=2或12，即由sin2=45不一定得到tan2，反之，由tan2一定得到sin2=45“sin2=45”是“tan

10、2”的必要不充分条件故选：B8“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）A15B25C35D45【解答】解：基本事件总数n10，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数m4，6和28不在同一组的概率P=10-410=35故选：C9曲线y=13x3+2lnx上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A3B2C32D1【解答】解：由x0

11、，f（x）=13x3+2lnx的导数f(x)=x2+2x=x2+1x+1x33x21x1x=3(x0)，当且仅当x1时等号成立，可得曲线y=13x3+2lnx上任意一点处的切线斜率的最小值为3故选：A10正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2AB，D是BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为（）A6B4C3D2【解答】解：如图，取B1C1中点E，连接A1E，CE，则A1EAD，A1EC90，CA1E即为异面直线AD与A1C所成角，设AB2，则AA1=22，A1E=3，CE3，tanCA1E=33=3，CA1E=3故选：C11已知直线l：3x+y+2=0与圆O：x2+y24交于A，B两点，

12、与l平行的直线l1与圆O交于M，N两点，且OAB与OMN的面积相等，给出下列直线l1：3x+y-23=0，3x+y-2=0，x-3y+2=0，3x+y+23=0其中满足条件的所有直线l1的编号有（）ABCD【解答】解：由已知圆O：x2+y24，圆心（0，0）到直线3x+y+2=0的距离d=|0+0+2|(3)2+12=1可求得圆心O到直线l的距离d=1=12r，所以S=12231=3圆心（0，0）到直线3x+y-23=0的距离d=|0+0-23|(3)2+12=3所以弦长为l=22-(3)2=2，所以S=1223=3，故正确：圆心（0，0）到直线3x+y-2=0的距离d=|0+0-2|(3)2

13、+12=1，所以S=12231=3，故正确直线x-3y+2=0与3x+y+2=0不平行，故错误圆心（0，0）到直线3x+y+23=0的距离d=|0+0+23|(3)2+12=3，所以弦长为l=22-(3)2=2，所以S=1223=3，故正确故选：D12已知函数f(x)=Asin(x+6)-a(0aA)在区间0，73有三个零点x1，x2，x3，且x1x2x3，若x1+2x2+x3=53，则f（x）的最小正周期为（）A2B23CD43【解答】解：当x=73时，x+6=52，由对称轴可知x1，x2满足x1+6+x2+6=22，即x1+x2=23同理x2，x3满足x2+6+x3+6=322，即x2+x

14、3=83，x1+2x2+x3=103=53，2，最小正周期为22=，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为3【解答】解：在圆柱底面圆周上任取一点A，设球心为O，圆柱的底面圆心为O，则OA2，OO1，OA=OA2-OO2=3，即圆柱底面半径为3故答案为：314已知x，y满足约束条件x0，x+y1，2x+y2，则zxy的最大值为1【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）由zxy得yxz，平移直线yxz，由平移可知当直线yxz，经过点A（1，0）时，直线yxz的截距最小，此时z取得最

15、大值，代入zxy得z101，即zxy的最大值是1，故答案为：115已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，a=2，sinA=33，b=6，则ABC的面积为2【解答】解：ab，AB，cosA=63，由余弦定理得63=b2+c2-a22bc，代入a=2，b=6，解得c2，ABC的面积S=122633=2故答案为：216已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若ABF290，且ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为22【解答】解：由已知，ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等

16、差数列，设|BF2|x，|AB|x+d，|AF2|x+2d，ABF290，据勾股定理：x2+（x+d）2（x+2d）2，可得：x22dx+3d2，解得x3d；由椭圆定义知ABF2的周长为4a，|BF2|x3d，|AB|x+4d，|AF2|x+2d5d，所以3d+4d+5d4a，所以a3d，|BF2|a|BF1|；在直角BF2F1中，由勾股定理，a2+a2（2c）2，即2a24c2，离心率e=ca=22故答案为：22三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知

17、数列an的各项均为正数，且满足an2（n+1）an2n2n0（1）求a1，a2及an的通项公式；（2）求数列2an的前n项和Sn【解答】解：（1）当n1时，a12-2a1-3=0，a13；当n2时，a22-3a2-10=0，a25；由已知可得（an+n）an（2n+1）0，且an0，an2n+1（2）设bn=2an，bn=22n+1，bn是公比为4的等比数列，Sn=23+25+22n+1=8(1-4n)1-4=83(4n-1)18（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通

18、过语音交互满足人们的部分需求某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如表：“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计男4560105女554095合计100100200（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k）0.100.050.0250.010.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）根据题意，估计购买“小爱同学”的女性有1300010055=7150